高考数学二轮复习练习：专题限时集训12《圆锥曲线中的综合问题》（含答案详解）

高考数学二轮复习练习：专题限时集训12

《圆锥曲线中的综合问题》

1.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋=0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求·的取值范围；

(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.

2.如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆P过定点B(1,0)，直线l是圆P在点B处的切线，过A(－1,0)作圆P的两条切线分别与l交于E，F两点.

(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；

(2)设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.

3.已知F1，F2为椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，

且|PF1|＋|PF2|=4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，

使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

4.已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)设A，B是轨迹C上的两点，且·=－4，F(1,0)，记S=S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.

0.答案详解

1.解：(1)由题意知=，=b，即b=.

又a2=b2＋c2，所以a=2，c=1.故椭圆C的方程为＋=1.

(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

由消去y可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12=0.

则Δ=322k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，解得0≤k2＜.

易知x1＋x2=，x1x2=，

所以·=x1x2＋y1y2=x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)

=(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2

=(1＋k2)·－4k2·＋16k2=25－.

因为0≤k2＜，

所以－≤－＜－，所以－4≤25－＜，

所以·的取值范围为.

(3)因为点B，E关于x轴对称，所以E(x2，－y2)，

所以直线AE的方程为y－y1=(x－x1).

令y=0，可得x=x1－.

因为y1=k(x1－4)，y2=k(x2－4)，

所以x=x1－===1.

所以直线AE与x轴交于定点(1,0).

2.解：(1)设AE切圆P于点M，直线x=4与x轴的交点为N，

故|EM|=|EB|.

从而|EA|＋|EB|=|AM|=====4.

所以|EA|＋|EB|为定值4.

(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|=4，故E，F均在椭圆＋=1上.

设直线EF的方程为x=my＋1(m≠0).

令x=4，求得y=，即Q点纵坐标yQ=.

由得，(3m2＋4)y2＋6my－9=0.

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1＋y2=－，y1y2=－.

因为E，B，F，Q在同一条直线上，

所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)=(y2－yB)(yQ－y1)，

即－y1·＋y1y2=y2·－y1y2，等价于2y1y2=(y1＋y2)·.

将y1＋y2=－，y1y2=－代入，知上式成立.

所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.

3.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|=4，

∴2a=4，a=2.∴椭圆E：＋=1.将P代入可得b2=3，

∴椭圆E的方程为＋=1.

(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋=＋=；

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k(x＋1)，

代入椭圆方程＋=1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12=0.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，

则x1＋x2=－，x1·x2=.

|AC|=|x1－x2|==.

∵直线BD的斜率为－，∴|BD|==.

∴＋=＋=.

综上，2λ=＋=，∴λ=.

故存在常数λ=，使得，λ，成等差数列.

4.解：(1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)，则|PN|=2，MN⊥PQ，

∴|MN|2＋|PN|2=|PM|2.

又|PM|=|EM|，∴|MN|2＋|PN|2=|EM|2，

∴x2＋4=(x－2)2＋y2，整理得y2=4x.

∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.

(2)设A，B，不妨令y1＞0，则S△OFA=·|OF|·y1=y1，

∵·=－4，∴x1x2＋y1y2=＋y1y2=－4，解得y1y2=－8，　①

当y1=－y2时，AB⊥x轴，A(2,2)，B(2，－2)，

S△AOB=4，S△OFA=，S=5.

当y1≠－y2时，直线AB的方程为=，即y－y1=，令y=0，得x=2，

∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E，

∴S△OAB=|OE|·|y1－y2|=y1－y2，

由①可得S△OAB=y1＋，∴S=S△OFA＋S△OAB=y1＋=y1＋≥2

=4.

综上，Smin=4.