全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十七理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷十七理含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高考仿真模拟卷(十七)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥1}，B＝{x|x>0}，则(∁UA)∩(∁UB)(　　)
A．(－1，1) B．(0，1]
C．(－1，0) D．(－1，0]
2．已知复数z满足z(1＋i)＝(3＋i)2，则|z|＝(　　)
A. B.
C．5 D．8
3．要从编号为1～50的50名学生中用系统抽样的方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是(　　)
A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，32
4．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对(p，p＋2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．已知圆C过点A(2，4)，B(4，2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为(　　)
A．－6±2 B．6±2
C．2±6 D．6±4
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果s＝132，则判断框中可以填(　　)
A．i≥10? B．i≥11?
C．i≤11? D．i≥12?
　　　
第6题图　　　　　　　　第7题图
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)
A. B.
C．2＋ D．4＋
8．已知x＝是函数f(x)＝(asin x＋cos x)cos x－的图象的一条对称轴，则下列结论中正确的是(　　)
A.是f(x)的图象的一个对称中心
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)是最小正周期为π的奇函数
D．先将函数y＝2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位长度即可得函数f(x)的图象
9.已知定义在R上的函数f(x)＝log2(ax－b＋1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0<<<1
B．0< C．0 D．0< 10．过双曲线－＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB的内切圆半径为，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B.
C. D.
11.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：EF＝，用类比的方法，推想出下面问题的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是(　　)
A．S0＝
B．S0＝
C.＝
D.＝
12．已知函数f(x)＝(x2＋x)(x2＋ax＋b)，若对∀x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，则f(x)的最小值为(　　)
A．－ B．－
C．－2 D．0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案













第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是{an}的前n项和，则S12的值为________．
14．为了考察两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s，t.
①直线l1和l2一定有公共点(s，t)；
②直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)；
③必有直线l1∥l2；
④l1和l2必定重合．
其中，说法不正确的是__________(只填序号)．
15．如果定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1·f(x1)＋x2·f(x2)＞x1·f(x2)＋x2·f(x1)，则称函数f(x)为“T函数”．
给出下列函数：①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sin x；④y＝
其中是“T函数”的为__________(把所有满足条件的序号都填上)．
16．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝AD＝2，AD⊥BC，则四面体ABCD的外接球的体积为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)如图，点A、B、C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．
(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；

(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1)
(本题参考数据：sin 97°≈1，cos 53°≈0.6，≈1.4，3≈5.2)




18．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝BF＝EF＝2，DE＝CF＝2.将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M­CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．

(1)求证：EM⊥CN；






(2)求直线GH与平面NFC所成角的大小．




19．(本小题满分12分)2015年中国汽车销售遇到瓶颈，各大品牌汽车不断加大优惠力度，某4S店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠．
(1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；
(2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X的分布列及数学期望E(X)．









20.(本小题满分12分)已知圆E：x2＋＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ(λ≠0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．


21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－x2－bln(x＋1)(a>0)，g(x)＝ex－x－1，曲线y＝f(x)与y＝g(x)在原点处有公共的切线．
(1)若x＝0为函数f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用a表示)；
(2)若∀x≥0，g(x)≥f(x)＋x2，求a的取值范围．









请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
设函数f(x)＝＋的最大值为M.
(1)求实数M的值；
(2)求关于x的不等式|x－|＋|x＋2|≤M的解集．
























高考仿真模拟卷(十七)
1．解析：选D.由题意得，A＝{x|x≥1或x≤－1}，
∁UA＝{x|－1 所以(∁UA)∩(∁UB)＝(－1，0]．
故选D.
2．解析：选C.因为z(1＋i)＝(3＋i)2，
所以z＝＝＝＝(4＋3i)(1－i)＝7－i，所以|z|＝＝＝5.故选C.
3．解析：选B.根据系统抽样的方法可把样本的编号按照由小到大的顺序分为5组，在第一组1～10中抽取一个号码，然后加10，得到第2个号码，依次类推，结合选项可知，只有选项B符合．
4．解析：选A.10以内的所有的素数有：2，3，5，7；随机选取两个不同的数，其中能组成孪生素数的个数有2个，即(3，5)和(5，7)；则在10以内的素数中，随机选取两个不同的素数，能选的个数为C，所以，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为＝.
故选A.
5．解析：选B.因为圆C过点A(2，4)，B(4，2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立解得x＝y＝2，即圆心C(2，2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2.
6．解析：选B.第一次循环s＝12，i＝11；第二次循环s＝12×11＝132，i＝10；结束循环，输出s＝132，所以判断框中应填i≥11？，选B.
7．解析：选A.设半圆柱体体积为V1，半球体体积为V2，由题得几何体体积为
V＝V1＋V2＝π×12×2×＋×π×13×＝.
故选A.
8．解析：选B.易知函数f(x)＝asin xcos x＋cos2x－＝asin 2x＋cos 2x，因为x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，所以f(0)＝f，即＝sin＋cos，所以a＝，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称中心为(k∈Z)，故A错误．当－≤x≤时，－≤2x＋≤，故B正确．f(x)的最小正周期为π，但f(x)不是奇函数，故C错误．先将函数y＝2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，故D错误．
9．解析：选D.由题图可知，a>1，f(0)＝log2(1－b＋1)，故0 即0 所以log2(a－1－b＋1)<0，故 所以0< 10．解析：选C.因为a＞b＞0，所以双曲线的渐近线如图所示，
设内切圆圆心为M，则M在∠AOB的平分线Ox上，过点M分别作MN⊥OA于点N，MT⊥AB于点T，
由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得FA＝b，又OF＝c，所以OA＝a，|NA|＝|MN|＝a，
所以|NO|＝a，
所以＝tan∠AOF＝＝，
得e＝.
故选C.
11．解析：选C.在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质．故由EF＝类比到关于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是＝，故选C.
12．解析：选A.由f(x)＝f(2－x)得f(0)＝f(2)，f(－1)＝f(3)，则2a＋b＝－4，3a＋b＝－9，解得a＝－5，b＝6，则f(x)＝(x2＋x)(x2－5x＋6)＝x(x－2)(x＋1)(x－3)＝(x2－2x)(x2－2x－3)，令x2－2x＝t，t∈[－1，＋∞)，则f(x)＝(x2－2x)(x2－2x－3)＝t2－3t＝－，当t＝时，f(x)取得最小值－，选项A正确．
13．解析：由题意得，a＝a3a11, 即(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10)，a1＝－1，所以S12＝12×(－1)＋×1＝54.
答案：54
14．解析：他们仅仅是测得的数据平均值相等，而不是对应值都相等，所以认为这两条直线是相交的，而且交点也能够确定，就是点(s，t)．这是因为线性回归直线方程为＝x＋，而＝－，因为变量x和y的数据的平均值相等且分别都是s，t，所以(s，t)一定在回归直线上，所以直线l1与l2一定有公共点(s，t)．
答案：②③④
15．解析：将x1·f(x1)＋x2·f(x2)＞x1·f(x2)＋x2·f(x1)变形得[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0在R上恒成立，所以“T函数”必须在R上是增函数．y＝x2在(－∞，0)上单调递减，故①不是“T函数”；y＝ex＋1在R上是增函数，故②是“T函数”；由y′＝2－cos x＞0知，函数y＝2x－sin x在R上是增函数，故③是“T函数”；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝0，故④不是“T函数”．综上，是“T函数”的序号为②③.
答案：②③
16．解析：由题意知，AB2＋BC2＝AC2，
所以BC⊥BA，因为DA⊥BC，
所以BC⊥平面DAB，
所以BC⊥BD，所以CD＝2.
在△ACD中，AC2＋AD2＝CD2，
所以四面体ABCD的外接球的球心为DC的中点，则其半径R＝，
故球的体积为πR3＝4π.
故答案为：4π.
答案：4π
17．解：(1)因为CD为铅垂线方向，点D在顶端，所以CD⊥AB.
又α＝45°，所以CD＝AC，所以CD＝4.
(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10.
所以∠ADB＝180°－83°＝97°.
所以由＝，得AD＝＝＝≈5.
在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos α＝52＋42－2×5×4×cos 53°≈17.

18．解：(1)证明：连接MH，因为ME＝EF＝MF，所以△MEF是等边三角形，
因为H是EF的中点，所以MH⊥EF，取CD的中点P，连接PH，则PH∥DE，
因为DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF＝E，
所以DE⊥平面MEF，
所以PH⊥平面MEF.
以H为坐标原点，HM，HF，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则E(0，－1，0)，M(，0，0)，C(0，1，2)，N.
所以＝(，1，0)，
＝.
因为·＝×＋1×＋0×1＝0.
所以⊥，即EM⊥NC.
(2)易知F(0，1，0)，H(0，0，0)，G，
所以＝，
＝(0，0，2)，＝.
设平面NFC的法向量为n＝(x，y，z)，则，
即.
令y＝1得平面NFC的一个法向量为n＝(，1，0)，
所以cos〈n，〉＝＝.
所以直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，所以直线GH与平面NFC所成的角为.
19．解：(1)个位数字为4的“三位递减数”有：984，974，964，954，874，864，854，764，754，654，共10个．
(2)由题意，不同的“三位递减数”共有C＝120个．
小明得到的优惠金额X的取值可能为5，3，1.
当X＝5时，三个数字之和可能为20或10，
当三个数字之和为20时，有983，974，965，875，共4个“三位递减数”；
当三个数字之和为10时，有910，820，730，721，640，631，541，532，共8个“三位递减数”，
所以P(X＝5)＝＝.
当X＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，
故P(X＝3)＝＝＝.
故P(X＝1)＝1－P(X＝5)－P(X＝3)＝1－－＝.
所以他得到的优惠金额X的分布列为
X
5
3
1
P



数学期望E(X)＝5×＋3×＋1×＝2.2(万元)．
20．解：(1)因为F1，E，A三点共线，
所以F1A为圆E的直径，
所以AF2⊥F1F2.
由x2＋＝，
得x＝±，所以c＝，
|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，
2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，所以a＝2.
因为a2＝b2＋c2，所以b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题知，点A的坐标为(，1)，
因为＝λ(λ≠0)，
所以直线的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋m，
联立得，x2＋mx＋m2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，
Δ＝2m2－4m2＋8>0，
所以－2 又|MN|＝|x2－x1|
＝
＝，
点A到直线l的距离d＝，
所以S△AMN＝|MN|·d
＝×|m|
＝≤×＝，
当且仅当4－m2＝m2，
即m＝±时等号成立，
此时直线l的方程为y＝x±.
21．解：(1)由题意知，f(x)的定义域为x∈(－1，＋∞)，且
f′(x)＝a－x－，g′(x)＝ex－1，
因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在原点处有公共的切线，故f′(0)＝g′(0)，
解得a＝b，
所以f(x)＝ax－x2－aln(x＋1)，
f′(x)＝a－x－＝＝，
当a＝1时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域上是减函数，故不满足题意；
当a≠1时，因为x＝0为函数f(x)的极大值点，故由y＝－x2＋(a－1)x的图象可知a－1<0，由f′(x)<0得x∈(－1，a－1)∪(0，＋∞)，由f′(x)>0得x∈(a－1，0)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(a－1，0)，单调递减区间为(－1，a－1)，(0，＋∞)．
(2)因为g′(x)＝ex－1，
且当－10时，g′(x)>0，
故当x＝0时，g(x)取得最小值0，
所以g(x)≥0，即ex≥x＋1，
从而x≥ln(x＋1)．
设F(x)＝g(x)－f(x)－x2＝ex＋aln(x＋1)－(a＋1)x－1，
则F′(x)＝ex＋－(a＋1)，
①当a＝1时，因为x≥0，所以F′(x)≥x＋1＋－(a＋1)＝x＋1＋－2≥0，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而F(x)≥F(0)＝0，即ex＋ln(x＋1)－2x－1≥0，所以g(x)≥f(x)＋x2.
②当0 所以g(x)＝ex－x－1≥x－ln(x＋1)≥a[x－ln(x＋1)]，故F(x)≥0，
即g(x)≥f(x)＋x2.
③当a>1时，
令h(x)＝ex＋－(a＋1)，
则h′(x)＝ex－.
显然h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，又h′(0)＝1－a<0，h′(－1)＝e－1－1>0，
所以h′(x)在(0，－1)上存在唯一零点x0，
当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，
所以h(x)在(0，x0)上单调递减，
从而h(x) 所以F(x)在(0，x0)上单调递减，
从而当x∈(0，x0)时，F(x) 即g(x) 综上，实数a的取值范围为(0，1]．
22．解：(1)由ρ＝4cos θ得其直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)将代入圆C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，
化简得t2－2tcos α－3＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝，
所以4cos2α＝2，故 cos α＝±，
即α＝或.
23．解：(1)f(x)＝＋≤2 ＝3，当且仅当x＝时等号成立．故函数f(x)的最大值M＝3.
(2)由(1)知M＝3.由绝对值三角不等式可得|x－|＋|x＋2|≥|(x－)－(x＋2)|＝3.
所以不等式|x－|＋|x＋2|≤3的解集就是方程|x－|＋|x＋2|＝3的解，
由绝对值的几何意义得，当且仅当－2≤x≤时，|x－|＋|x＋2|＝3，
所以不等式|x－|＋|x＋2|≤M的解集为{x|－2≤x≤}．