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浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷三含解析
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这是一份浙江专用2021届高考数学二轮复习预测提升仿真模拟卷三含解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考仿真模拟卷(三)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{－1，1，2}，B＝{x∈N|－1
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．已知i是虚数单位，复数z＝(－i)(1＋i)，则复数z的实部为( )
A. B．2
C．0 D．2
3．已知α∈[0，π]，则“α＝”是“sin α＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．5 D．
5．函数y＝cos 2x·ln|x|的图象可能是( )
6．已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
－a
a
当a增大时，( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
7．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2＝＋且||＝||，则向量在向量方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．6 B．6
C．14 D．14
9．已知a∈R，函数f(x)满足：存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)－a|≤|f(x0)－a|，则f(x)可以为( )
A．lg x B．－x2＋2x
C．2x D．sin x
10．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A．10 B．15
C．20 D．25
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝________，a·b＝________．
12．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是________，最短弦长为________．
13．设(2x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，其中ai(i＝0，1，…，8)是常数，则a3＝________，a1＋a3＋a5＋a7＝________．
14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则φ的值为________，此时函数f(x)在区间(0，)上的值域是________．
15．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足：＝＋，则·＝________．
16．设函数f(x)＝若函数y＝2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________．
17．如图，已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，AF⊥平面ABC，且AF＝3.E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则三棱锥M－BCF体积的最小值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本题满分14分)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos ∠ACB＝，BC＝13.
(1)求cos B的值；
(2)求CD的长．
19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.
(1)证明：平面AMC′⊥平面ABD；
(2)求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．
20．(本题满分15分)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．
21.(本题满分15分)如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.
(1)设A(x0，x)(x0≠0)，求直线AB的方程；
(2)求的值．
22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)证明：f(x)＜(e为自然对数的底数)．
高考仿真模拟卷(三)
1．解析：选D.因为A＝{－1，1，2}，B＝{x∈N|－1
3．解析：选A.若α＝，则sin α＝，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α＝，则α＝或α＝，故必要性不成立．故“α＝”是“sin α＝”的充分不必要条件．
4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由解得故A(，)．作出直线2x＋3y＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(，)时，z＝2x＋3y取得最大值，故zmax＝2×＋3×＝.
5．解析：选D.由于函数y＝cos 2x·ln|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，因此可以排除A，B两个选项；当0
D(ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a2＋a＋
＝－＋，
当a∈时，a增大，D(ξ)增大．故选A.
7．解析：选A.因为＋＝2，所以点O为BC的中点，因为O是三角形的外心，所以△ABC是直角三角形， 且A是直角，OA＝BO，因为||＝||，所以△ABO是正三角形，所以在方向上的投影等于||·cos 60°＝.
8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥ABCDE所示，故S四边形BCDE＝×4×4－×2×2＝6，四棱锥ABCDE的高h＝3，故该几何体的体积V＝
S四边形BCDEh＝×6×3＝6，故选A.
9．解析：选D.对于选项A，由于f(x)＝lg x在x>0上是增函数，值域是R，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项B，f(x)＝－x2＋2x在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项C，f(x)＝2x在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项D，f(x)＝sin x在x>0时的值域为[－1，1]，总存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)－a|≤|f(x0)－a|，故选D.
10．解析：选C.由题意可得，a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.选C.
11．解析：由|a＋2b|2＝|a|2＋4|a|·|b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝4＋4|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos〈a·b〉＝1.
答案：1 1
12．解析：直线l过定点(0，1)，圆C可化为(x－1)2＋y2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，易知此时k＝1，故直线l的方程为y＝x＋1.所以圆心到直线的距离为d＝＝，故最短弦长为2＝2.
答案：y＝x＋1 2
13．解析：(2x－1)8展开式的通项Tr＋1＝C(2x)8－r·(－1)r，当8－r＝3，即r＝5时，a3＝C×23×(－1)5＝－448.令x＝1，得a8＋a7＋a6＋…＋a1＋a0＝1，令x＝－1，得a8－a7＋a6－…－a1＋a0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－6 560，得a1＋a3＋a5＋a7＝－3 280.
答案：－448 －3 280
14．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数的最小正周期T＝2×＝π，即＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．由题意可得g(x)＝f(x＋)＝2sin[2(x＋)＋φ]＝2sin[2x＋(＋φ)]，因为g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以k＝0，φ＝－，所以f(x)＝2sin(2x－)．设t＝2x－，因为x∈(0，)，所以t∈(－，)，故sin t∈(－，1)，所以函数f(x)在区间(0，)上的值域为(－1，2)．
答案：－ (－1，2)
15．解析：通解：如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(，3)，所以＝(2，0)，＝(，3)，所以＝(，3)＋(2，0)＝(，)，所以M(，)，＝(，－)，＝(－，)，所以·＝×(－)＋(－)×＝－2.
优解：·＝(－)·(－)＝(－)·(－)＝·－2－2＝×2×2cos60°－×(2)2－×(2)2＝－2.
答案：－2
16．解析：作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，若函数y＝2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个零点，则关于f(x)的一元二次方程2[f(x)]2＋2bf(x)＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t＝f(x)，则方程转化为2t2＋2bt＋1＝0，设两个根分别为t1，t2，则由根与系数的关系知，
即
所以得－
17．解析：三棱锥MBCF的底面三角形BCF是固定的，又AF⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AF⊥BC.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，所以BC⊥平面ABF.又BF⊂平面ABF，所以BF⊥BC，所以S△BCF＝BC·BF＝，所以要求三棱锥MBCF体积的最小值，只需求点M到平面BCF的距离h的最小值即可．因为M为BD′的中点，所以点M到平面BCF的距离是点D′到平面BCF的距离h′的一半．因为E为DC上的动点．且AD′＝1，所以D′的轨迹为以A为球心，1为半径的球面的一部分．作AG⊥BF交BF于点G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG－AD′＝－1＝，所以VMBCF≥×××＝.
答案：
18．解：(1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝＝.
同理可得，sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]
＝－cos(A＋∠ACB)
＝sin Asin∠ACB－cos Acos∠ACB
＝×－×
＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB＝×sin ∠ACB＝×＝20.
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝＝
＝9.
19．解：(1)由题意知AM⊥BD，
又因为AC′⊥BD，
所以BD⊥平面AMC′，
因为BD⊂平面ABD，
所以平面AMC′⊥平面ABD.
(2)在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.
由(1)知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．
设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2－，
DC＝DC′＝3－2，AD＝－.
在Rt△C′MD中，MC′2＝C′D2－MD2
＝(3－2)2－(2－)2＝9－4.
设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，
即4－x2＝(9－4)－(x－1)2，
解得，x＝2－2，即AF＝2－2.
所以C′F＝2.
故直线C′D与平面ABD所成角的正弦值为＝.
20．解：(1)由an＝f得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2，
所以{an}是首项为1，公差为的等差数列．
所以an＝1＋(n－1)＝，n∈N*.
(2)因为an＝，所以an＋1＝，
所以＝＝.
则Sn＝＋＋＋…＋
＝＝.
故Sn≥恒成立等价于≥，即t≤恒成立．
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝>0，
所以g(x)＝(x>0)为单调递增函数．
所以当n＝1时，取得最小值，且＝.
所以t≤，即实数t的取值范围是.
21．解：(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0，
所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，所以AB中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋x0.
由，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝.
所以＝，
解得mx0＝－3±2，
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
22．解：(1)f′(x)＝.
(2)设g(x)＝－ln x＝＋－ln x，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g()>0，g(e)<0，
所以存在x0∈(，e)，使g(x0)＝0，
即－ln x0＝0，
所以x0＋1－(2x0＋1)ln x0＝0，
所以f′(x)＝0，且f(x)在区间(0，x0)上单调递增，在区间(x0，＋∞)上单调递减．
所以f(x)≤f(x0)＝＝<.
高考仿真模拟卷(三)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{－1，1，2}，B＝{x∈N|－1
C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}
2．已知i是虚数单位，复数z＝(－i)(1＋i)，则复数z的实部为( )
A. B．2
C．0 D．2
3．已知α∈[0，π]，则“α＝”是“sin α＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．5 D．
5．函数y＝cos 2x·ln|x|的图象可能是( )
6．已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
－a
a
当a增大时，( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大
C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
7．已知△ABC外接圆圆心为O，半径为1，2＝＋且||＝||，则向量在向量方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．6 B．6
C．14 D．14
9．已知a∈R，函数f(x)满足：存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)－a|≤|f(x0)－a|，则f(x)可以为( )
A．lg x B．－x2＋2x
C．2x D．sin x
10．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A．10 B．15
C．20 D．25
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．
11．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝________，a·b＝________．
12．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是________，最短弦长为________．
13．设(2x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，其中ai(i＝0，1，…，8)是常数，则a3＝________，a1＋a3＋a5＋a7＝________．
14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)为偶函数，则φ的值为________，此时函数f(x)在区间(0，)上的值域是________．
15．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足：＝＋，则·＝________．
16．设函数f(x)＝若函数y＝2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是________．
17．如图，已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，AF⊥平面ABC，且AF＝3.E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则三棱锥M－BCF体积的最小值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．(本题满分14分)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos ∠ACB＝，BC＝13.
(1)求cos B的值；
(2)求CD的长．
19.(本题满分15分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.
(1)证明：平面AMC′⊥平面ABD；
(2)求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．
20．(本题满分15分)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．
21.(本题满分15分)如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.
(1)设A(x0，x)(x0≠0)，求直线AB的方程；
(2)求的值．
22．(本题满分15分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)证明：f(x)＜(e为自然对数的底数)．
高考仿真模拟卷(三)
1．解析：选D.因为A＝{－1，1，2}，B＝{x∈N|－1
3．解析：选A.若α＝，则sin α＝，故充分性成立；因为α∈[0，π]，所以若sin α＝，则α＝或α＝，故必要性不成立．故“α＝”是“sin α＝”的充分不必要条件．
4．解析：选D.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由解得故A(，)．作出直线2x＋3y＝0并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点(，)时，z＝2x＋3y取得最大值，故zmax＝2×＋3×＝.
5．解析：选D.由于函数y＝cos 2x·ln|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，因此可以排除A，B两个选项；当0
D(ξ)＝Eξ2－(Eξ)2＝－a2＋a＋
＝－＋，
当a∈时，a增大，D(ξ)增大．故选A.
7．解析：选A.因为＋＝2，所以点O为BC的中点，因为O是三角形的外心，所以△ABC是直角三角形， 且A是直角，OA＝BO，因为||＝||，所以△ABO是正三角形，所以在方向上的投影等于||·cos 60°＝.
8．解析：选A.将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥ABCDE所示，故S四边形BCDE＝×4×4－×2×2＝6，四棱锥ABCDE的高h＝3，故该几何体的体积V＝
S四边形BCDEh＝×6×3＝6，故选A.
9．解析：选D.对于选项A，由于f(x)＝lg x在x>0上是增函数，值域是R，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项B，f(x)＝－x2＋2x在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，值域是(－∞，1]，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项C，f(x)＝2x在(0，＋∞)上是增函数，值域是(1，＋∞)，所以不满足|f(x)－a|≤|f(x0)－a|恒成立；对于选项D，f(x)＝sin x在x>0时的值域为[－1，1]，总存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)－a|≤|f(x0)－a|，故选D.
10．解析：选C.由题意可得，a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.选C.
11．解析：由|a＋2b|2＝|a|2＋4|a|·|b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝4＋4|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos〈a·b〉＝1.
答案：1 1
12．解析：直线l过定点(0，1)，圆C可化为(x－1)2＋y2＝4.当过定点(0，1)和圆心(1，0)的直线与l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短，易知此时k＝1，故直线l的方程为y＝x＋1.所以圆心到直线的距离为d＝＝，故最短弦长为2＝2.
答案：y＝x＋1 2
13．解析：(2x－1)8展开式的通项Tr＋1＝C(2x)8－r·(－1)r，当8－r＝3，即r＝5时，a3＝C×23×(－1)5＝－448.令x＝1，得a8＋a7＋a6＋…＋a1＋a0＝1，令x＝－1，得a8－a7＋a6－…－a1＋a0＝(－3)8＝6 561，两式相减可得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－6 560，得a1＋a3＋a5＋a7＝－3 280.
答案：－448 －3 280
14．解析：由函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数的最小正周期T＝2×＝π，即＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．由题意可得g(x)＝f(x＋)＝2sin[2(x＋)＋φ]＝2sin[2x＋(＋φ)]，因为g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以k＝0，φ＝－，所以f(x)＝2sin(2x－)．设t＝2x－，因为x∈(0，)，所以t∈(－，)，故sin t∈(－，1)，所以函数f(x)在区间(0，)上的值域为(－1，2)．
答案：－ (－1，2)
15．解析：通解：如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(，3)，所以＝(2，0)，＝(，3)，所以＝(，3)＋(2，0)＝(，)，所以M(，)，＝(，－)，＝(－，)，所以·＝×(－)＋(－)×＝－2.
优解：·＝(－)·(－)＝(－)·(－)＝·－2－2＝×2×2cos60°－×(2)2－×(2)2＝－2.
答案：－2
16．解析：作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，若函数y＝2[f(x)]2＋2bf(x)＋1有8个零点，则关于f(x)的一元二次方程2[f(x)]2＋2bf(x)＋1＝0在(0，1)上有2个不相等的实根．设t＝f(x)，则方程转化为2t2＋2bt＋1＝0，设两个根分别为t1，t2，则由根与系数的关系知，
即
所以得－
17．解析：三棱锥MBCF的底面三角形BCF是固定的，又AF⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AF⊥BC.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，所以BC⊥平面ABF.又BF⊂平面ABF，所以BF⊥BC，所以S△BCF＝BC·BF＝，所以要求三棱锥MBCF体积的最小值，只需求点M到平面BCF的距离h的最小值即可．因为M为BD′的中点，所以点M到平面BCF的距离是点D′到平面BCF的距离h′的一半．因为E为DC上的动点．且AD′＝1，所以D′的轨迹为以A为球心，1为半径的球面的一部分．作AG⊥BF交BF于点G，当D′为AG与球面的交点时，h′最小，此时h′＝AG－AD′＝－1＝，所以VMBCF≥×××＝.
答案：
18．解：(1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝＝.
同理可得，sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]
＝－cos(A＋∠ACB)
＝sin Asin∠ACB－cos Acos∠ACB
＝×－×
＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得，AB＝×sin ∠ACB＝×＝20.
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝＝
＝9.
19．解：(1)由题意知AM⊥BD，
又因为AC′⊥BD，
所以BD⊥平面AMC′，
因为BD⊂平面ABD，
所以平面AMC′⊥平面ABD.
(2)在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD.
由(1)知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角．
设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2－，
DC＝DC′＝3－2，AD＝－.
在Rt△C′MD中，MC′2＝C′D2－MD2
＝(3－2)2－(2－)2＝9－4.
设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，
即4－x2＝(9－4)－(x－1)2，
解得，x＝2－2，即AF＝2－2.
所以C′F＝2.
故直线C′D与平面ABD所成角的正弦值为＝.
20．解：(1)由an＝f得，an－an－1＝，n∈N*，n≥2，
所以{an}是首项为1，公差为的等差数列．
所以an＝1＋(n－1)＝，n∈N*.
(2)因为an＝，所以an＋1＝，
所以＝＝.
则Sn＝＋＋＋…＋
＝＝.
故Sn≥恒成立等价于≥，即t≤恒成立．
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝>0，
所以g(x)＝(x>0)为单调递增函数．
所以当n＝1时，取得最小值，且＝.
所以t≤，即实数t的取值范围是.
21．解：(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0，
所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x.
(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，所以AB中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋x0.
由，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝.
所以＝，
解得mx0＝－3±2，
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
22．解：(1)f′(x)＝.
(2)设g(x)＝－ln x＝＋－ln x，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且g()>0，g(e)<0，
所以存在x0∈(，e)，使g(x0)＝0，
即－ln x0＝0，
所以x0＋1－(2x0＋1)ln x0＝0，
所以f′(x)＝0，且f(x)在区间(0，x0)上单调递增，在区间(x0，＋∞)上单调递减．
所以f(x)≤f(x0)＝＝<.
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