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2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一）
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这是一份2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一），共33页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一）
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）绥化市总面积约35000平方千米，35000用科学记数法可表示为（ ）
A．35×103 B．35×104 C．3.5×104 D．0.35×105
2．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（xy）2＝xy2 C．（m3）5＝m8 D．a7÷a3＝a4
4．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+3的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2﹣6x+9
C．x（x﹣1）+3（x﹣1） D．x2+6x+9
6．（3分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
8．（3分）为了更好地开展阳光大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都买），该班级的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
10．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数中x的取值范围是 ．
13．（3分）计算：（2x2）3﹣x2•x4＝ ．
14．（3分）如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 ．
15．（3分）当时，计算＝ ．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．
18．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 ．
19．（3分）某厂要在规定时间完成庆祝“建国七十周年国庆”制作15000面国旗的任务，实际每天比计划多制作500面国旗，结果在规定时间超额完成3000面国旗，实际每天制作 面国旗．
20．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
21．（3分）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）求点A在旋转过程中的运动路径长．
23．（6分）为倡导“低碳出行”，环保部门对我市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是多少度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
24．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
25．（6分）关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2﹣x12x22＝1，求k的值．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
27．（7分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
28．（9分）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
（1）求证：BD＝DG；
（2）猜想线段BE，BF和DB之间的数量关系，并说明理由．
（3）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
29．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）绥化市总面积约35000平方千米，35000用科学记数法可表示为（ ）
A．35×103 B．35×104 C．3.5×104 D．0.35×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35000＝3.5×104．
故选：C．
2．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（xy）2＝xy2 C．（m3）5＝m8 D．a7÷a3＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（xy）2＝x2y2，故此选项错误；
C、（m3）5＝m15，故此选项错误；
D、a7÷a3＝a4，故此选项正确；
故选：D．
4．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
【分析】根据三视图解答即可．
【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
5．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+3的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2﹣6x+9
C．x（x﹣1）+3（x﹣1） D．x2+6x+9
【分析】直接提取公因式法以及完全平方公式、平方差公式分别分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），结果中含因式x+3，不合题意；
B、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，结果中不含因式x+3，符合题意；
C、x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（x﹣1）（x+3），结果中含因式x+3，不合题意；
D、x2+6x+9＝（x+3）2，结果中含因式x+3，不合题意；
故选：B．
6．（3分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的结果有4个，
∴两次摸出的小球颜色不同的概率为，
故选：C．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
故选：B．
8．（3分）为了更好地开展阳光大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都买），该班级的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设购买x个跳绳，y个呼啦圈，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买x个跳绳，y个呼啦圈，
依题意得：8x+12y＝120，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x为3的倍数，
∴或或或，
∴该班级共有4种购买方案．
故选：B．
9．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
【分析】先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+6，4+a）在第二象限，
∴，
解得﹣4＜a＜﹣3，
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】①由正方形的性质可以得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE＝DE；
②在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE＝EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC＝﹣；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG＝CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得＝＝+1．
【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC＝，
由面积公式得：AD×DC＝AC×DM，
∴DM＝，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝，EM＝，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣
∴S△DEC＝CE×DM＝﹣，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE＝2ME＝，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG＝CE＝﹣，
∵∠DEF＝∠EGC＝60°，
∴DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴＝＝＝+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）计算：＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质和有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）函数中x的取值范围是 x＞﹣2且x≠1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
13．（3分）计算：（2x2）3﹣x2•x4＝ 7x6 ．
【分析】根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可．
【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4
＝8x6﹣x6
＝7x6．
故答案为：7x6．
14．（3分）如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 2 ．
【分析】先根据平均数的定义列算式求出a的值，再由方差的定义计算即可．
【解答】解：根据题意知＝a，
解得a＝6，
所以这组数据为5、8、6、7、4，
则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
15．（3分）当时，计算＝ ．
【分析】先UAN括号内的加法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：＝
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝30°，得到DO＝DB，根据直角三角形的性质得到BD＝AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD＝S△AOD＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，
∴BD＝AD，
∵S△AOD＝×6×＝6，
∴S△BOD＝S△AOD＝3，
∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形BOC﹣S△BOD
＝6+﹣3
＝3+3π．
故答案为3+3π．
17．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ 40 °．
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝35°+35°＝70°，∠ADB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝110°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
18．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 16 ．
【分析】要求k的值，求出点C坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．
19．（3分）某厂要在规定时间完成庆祝“建国七十周年国庆”制作15000面国旗的任务，实际每天比计划多制作500面国旗，结果在规定时间超额完成3000面国旗，实际每天制作 3000 面国旗．
【分析】设实际每天制作x面国旗，则计划每天制作（x﹣500）面国旗，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合在规定时间超额完成3000面国旗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设实际每天制作x面国旗，则计划每天制作（x﹣500）面国旗，
依题意得：＝，
解得：x＝3000，
经检验，x＝3000是原方程的解，且符合题意．
故答案为：3000．
20．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 16或8 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝8，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×2＝8，
如图3，过B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝4﹣x，
∵∠A＝30°，BE＝x，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴42＝（x）2+（4﹣x）2，
∴x＝2，x＝4（不合题意舍去），
∴BE＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝2×4＝8，
如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝16，
解法二：解：过D作DE如图1，当点B在E的右边时，
∵∪A＝30°AD＝4，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝DE＝6，
∴BE＝＝2，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴S四边形ABCD＝8×2＝16，
如图2，点B在E的作边时，
同理AE＝6，BE＝2，DE＝2，
∴S四边形ABCD＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
21．（3分）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ 2n﹣1，0 ）．
【分析】依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【解答】解：∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）求点A在旋转过程中的运动路径长．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）根据弧长的计算公式即可求点A在旋转过程中的运动路径长．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；C1的坐标（﹣1，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；C2的坐标（2，3）；
（3）从图形可知：OA＝5，
所以点A在旋转过程中的运动路径长为：＝π．
23．（6分）为倡导“低碳出行”，环保部门对我市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是多少度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
【分析】（1）根据坐公交车的人数是80人，占总人数的40%，即可求得总人数；
（2）先算出骑自行车、电动车和开私家车所占的比例，然后求其他所占的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）求出“骑自行车、电动车”和“坐公交车”所占的百分比，计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生数是：80÷40%＝200（人），即本次调查共收回200张问卷；
（2）开私家车对应的百分比为×100%＝12.5%，
“骑自行车、电动车”对应的百分比为162÷360×100%＝45%，
∴“其他”对应的百分比为1﹣40%﹣45%﹣12.5%＝2.5%，
∴“其他”对应的人数为200×2.5%＝5（人），
“骑自行车、电动车”对应的人数为200×45%＝90（人），
补全图形如下：
在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是360°×2.5%＝9°；
（3）估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有32×（40%+45%）＝27.2（万人）．
24．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
25．（6分）关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2﹣x12x22＝1，求k的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，代入x1+x2﹣x12x22＝1，即可求出k值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝25+8k≥0，
解得k．
又∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴k≠0．
∴实数k的取值范围是k且k≠0．
（2）由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，
∵x1+x2﹣x12x22＝1，
∴﹣﹣（﹣）2＝1．
整理，得k2+5k+4＝0．
解得k＝﹣4或k＝﹣1．
又由（1）知，k且k≠0．
∴k＝﹣1．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
【分析】（1）连接OF，根据切线的性质可得∠OFG＝90°，可得OF∥DB，根据等腰三角形的性质可得DC＝DB，再根据直角三角形两个锐角互余可证得DA＝DC，进而可得结论；
（2）连接DF，根据勾股定理可得AC，再根据直径所对圆周角是直角可得∠DFC＝90°，再根据锐角三角函数列出等式即可求出结果．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OF，
∵FG与⊙O相切，
∴∠OFG＝90°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGF+∠OFG＝180°，
∴OF∥DB，
∴∠OFC＝∠B，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴DC＝DB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴DA＝DB，
∴点D为AB的中点；
（2）如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵CD为直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴BF＝BC＝4，
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，
∴FG＝．
27．（7分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得y1与x之间的函数表达式；
（3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义．
【解答】解：（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，
慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，
答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，
则点E的坐标为（3.5，180），
快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），
则点C的坐标为（5.5，360），
设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，
，得，
即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝90x﹣135（3.5≤x≤5.5）；
（3）设点F的横坐标为a，
则60a＝90a﹣135，
解得，a＝4.5，
则60a＝270，
即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，快车与慢车行驶的路程相等．
28．（9分）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
（1）求证：BD＝DG；
（2）猜想线段BE，BF和DB之间的数量关系，并说明理由．
（3）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
【分析】（1）根据旋转的性质解答即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）证明：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，
由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°，
∴DB＝DG；
（2）BF+BE＝BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，
∴△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
∴CD＝CG＝CB，
∵DG＝BD＝BC，
即BF+BE＝2BC＝BD；
（3）①如图2，BF+BE＝BD，
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，
由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，
在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD＝DG，
∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，
BM＝a，
∴BG＝2a，
∴，
∴BG＝BD，
∴BF+BE＝BG＝BD；
②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，
Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，
∴AN＝1，BN＝，
∴BD＝2BN＝2，
∵DC∥BE，
∴，
∵CM+BM＝2，
∴BM＝，
Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，
∴BP＝3，
由旋转得：BD＝DF，
∴BF＝2BP＝6，
∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．
29．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求得二次函数的解析式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt△CHO中，可求得tan∠COH＝4，推出∠ACO＝∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，可推出S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．
【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则H（﹣1，0），
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4，
∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，
tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴＝，
∵AC＝＝2，AO＝1，
∴＝，
∴AD＝20，
∴OD＝19，
∴D（﹣19，0）；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝﹣1的对称点D'的坐标为（17，0），
∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），
将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，
∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，
当x＝0时，y＝a+3，
∴N（0，a+3），
如图2，
∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN
＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）
＝﹣2a2﹣a
＝﹣2（a+）2+，
由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，
∴m﹣n的最大值为．
2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一）
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）绥化市总面积约35000平方千米，35000用科学记数法可表示为（ ）
A．35×103 B．35×104 C．3.5×104 D．0.35×105
2．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（xy）2＝xy2 C．（m3）5＝m8 D．a7÷a3＝a4
4．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+3的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2﹣6x+9
C．x（x﹣1）+3（x﹣1） D．x2+6x+9
6．（3分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
8．（3分）为了更好地开展阳光大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都买），该班级的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
10．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）函数中x的取值范围是 ．
13．（3分）计算：（2x2）3﹣x2•x4＝ ．
14．（3分）如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 ．
15．（3分）当时，计算＝ ．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．
18．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 ．
19．（3分）某厂要在规定时间完成庆祝“建国七十周年国庆”制作15000面国旗的任务，实际每天比计划多制作500面国旗，结果在规定时间超额完成3000面国旗，实际每天制作 面国旗．
20．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
21．（3分）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）求点A在旋转过程中的运动路径长．
23．（6分）为倡导“低碳出行”，环保部门对我市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是多少度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
24．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
25．（6分）关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2﹣x12x22＝1，求k的值．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
27．（7分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
28．（9分）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
（1）求证：BD＝DG；
（2）猜想线段BE，BF和DB之间的数量关系，并说明理由．
（3）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
29．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
2021年黑龙江省绥化市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）绥化市总面积约35000平方千米，35000用科学记数法可表示为（ ）
A．35×103 B．35×104 C．3.5×104 D．0.35×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35000＝3.5×104．
故选：C．
2．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（xy）2＝xy2 C．（m3）5＝m8 D．a7÷a3＝a4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（xy）2＝x2y2，故此选项错误；
C、（m3）5＝m15，故此选项错误；
D、a7÷a3＝a4，故此选项正确；
故选：D．
4．（3分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
【分析】根据三视图解答即可．
【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
5．（3分）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+3的是（ ）
A．x2﹣9 B．x2﹣6x+9
C．x（x﹣1）+3（x﹣1） D．x2+6x+9
【分析】直接提取公因式法以及完全平方公式、平方差公式分别分解因式得出答案．
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），结果中含因式x+3，不合题意；
B、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，结果中不含因式x+3，符合题意；
C、x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（x﹣1）（x+3），结果中含因式x+3，不合题意；
D、x2+6x+9＝（x+3）2，结果中含因式x+3，不合题意；
故选：B．
6．（3分）一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别．先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的结果有4个，
∴两次摸出的小球颜色不同的概率为，
故选：C．
7．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9
【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
故选：B．
8．（3分）为了更好地开展阳光大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都买），该班级的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设购买x个跳绳，y个呼啦圈，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买x个跳绳，y个呼啦圈，
依题意得：8x+12y＝120，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x为3的倍数，
∴或或或，
∴该班级共有4种购买方案．
故选：B．
9．（3分）已知点P（2a+6，4+a）在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞﹣3 D．a＞﹣4
【分析】先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．
【解答】解：∵点P（2a+6，4+a）在第二象限，
∴，
解得﹣4＜a＜﹣3，
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【分析】①由正方形的性质可以得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE＝DE；
②在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE＝EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC＝﹣；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG＝CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得＝＝+1．
【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC＝，
由面积公式得：AD×DC＝AC×DM，
∴DM＝，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝，EM＝，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣
∴S△DEC＝CE×DM＝﹣，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE＝2ME＝，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG＝CE＝﹣，
∵∠DEF＝∠EGC＝60°，
∴DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴＝＝＝+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．（3分）计算：＝ 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质和有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）函数中x的取值范围是 x＞﹣2且x≠1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．
故答案为：x＞﹣2且x≠1．
13．（3分）计算：（2x2）3﹣x2•x4＝ 7x6 ．
【分析】根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可．
【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4
＝8x6﹣x6
＝7x6．
故答案为：7x6．
14．（3分）如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 2 ．
【分析】先根据平均数的定义列算式求出a的值，再由方差的定义计算即可．
【解答】解：根据题意知＝a，
解得a＝6，
所以这组数据为5、8、6、7、4，
则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2，
故答案为：2．
15．（3分）当时，计算＝ ．
【分析】先UAN括号内的加法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：＝
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA＝30°，得到DO＝DB，根据直角三角形的性质得到BD＝AD，根据三角形的面积公式得到S△BOD＝S△AOD＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA＝30°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
∴∠BOD＝30°，
∴DO＝DB，
在Rt△AOD中，OD＝OA＝，OD＝AD，
∴BD＝AD，
∵S△AOD＝×6×＝6，
∴S△BOD＝S△AOD＝3，
∴阴影部分的面积＝S△AOD+S扇形BOC﹣S△BOD
＝6+﹣3
＝3+3π．
故答案为3+3π．
17．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝35°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ 40 °．
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝35°+35°＝70°，∠ADB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝110°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40．
18．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 16 ．
【分析】要求k的值，求出点C坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出k的值．
【解答】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
易证△ADF≌△BCE，
∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），
∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝，
∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，
∴C（4，4）
∴k＝4×4＝16
故答案为：16．
19．（3分）某厂要在规定时间完成庆祝“建国七十周年国庆”制作15000面国旗的任务，实际每天比计划多制作500面国旗，结果在规定时间超额完成3000面国旗，实际每天制作 3000 面国旗．
【分析】设实际每天制作x面国旗，则计划每天制作（x﹣500）面国旗，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合在规定时间超额完成3000面国旗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设实际每天制作x面国旗，则计划每天制作（x﹣500）面国旗，
依题意得：＝，
解得：x＝3000，
经检验，x＝3000是原方程的解，且符合题意．
故答案为：3000．
20．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 16或8 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，解直角三角形得到AB＝8，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，AD＝4，
∴DE＝AD＝2，AE＝AD＝6，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴BE＝＝＝2，
如图1，∴AB＝8，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝8×2＝16，
如图2，AB＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×2＝8，
如图3，过B作BE⊥AD于E，
在Rt△ABE中，设AE＝x，则DE＝4﹣x，
∵∠A＝30°，BE＝x，
在Rt△BDE中，∵BD＝4，
∴42＝（x）2+（4﹣x）2，
∴x＝2，x＝4（不合题意舍去），
∴BE＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD•BE＝2×4＝8，
如图4，当AD⊥BD时，平行四边形ABCD的面积＝AD•BD＝16，
解法二：解：过D作DE如图1，当点B在E的右边时，
∵∪A＝30°AD＝4，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝DE＝6，
∴BE＝＝2，
∴AB＝AE+BE＝8，
∴S四边形ABCD＝8×2＝16，
如图2，点B在E的作边时，
同理AE＝6，BE＝2，DE＝2，
∴S四边形ABCD＝4×2＝8，
故答案为：16或8．
21．（3分）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ 2n﹣1，0 ）．
【分析】依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【解答】解：∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）求点A在旋转过程中的运动路径长．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）根据旋转的性质即可画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出C2的坐标；
（3）根据弧长的计算公式即可求点A在旋转过程中的运动路径长．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；C1的坐标（﹣1，2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；C2的坐标（2，3）；
（3）从图形可知：OA＝5，
所以点A在旋转过程中的运动路径长为：＝π．
23．（6分）为倡导“低碳出行”，环保部门对我市居民日常出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查共收回多少张问卷？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是多少度；
（3）若该城市有32万居民，通过计算估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有多少人？
【分析】（1）根据坐公交车的人数是80人，占总人数的40%，即可求得总人数；
（2）先算出骑自行车、电动车和开私家车所占的比例，然后求其他所占的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）求出“骑自行车、电动车”和“坐公交车”所占的百分比，计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生数是：80÷40%＝200（人），即本次调查共收回200张问卷；
（2）开私家车对应的百分比为×100%＝12.5%，
“骑自行车、电动车”对应的百分比为162÷360×100%＝45%，
∴“其他”对应的百分比为1﹣40%﹣45%﹣12.5%＝2.5%，
∴“其他”对应的人数为200×2.5%＝5（人），
“骑自行车、电动车”对应的人数为200×45%＝90（人），
补全图形如下：
在扇形统计图中，“其他”对应扇形的圆心角是360°×2.5%＝9°；
（3）估计该城市日常出行“骑自行车、电动车”和“坐公交车”的共有32×（40%+45%）＝27.2（万人）．
24．（6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．
∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝∠A＝30°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AF＝FB，
∴∠A＝∠FBA＝30°，
∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．
25．（6分）关于x的一元二次方程kx2+5x﹣2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2﹣x12x22＝1，求k的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，代入x1+x2﹣x12x22＝1，即可求出k值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝25+8k≥0，
解得k．
又∵该方程是关于x的一元二次方程，
∴k≠0．
∴实数k的取值范围是k且k≠0．
（2）由根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，
∵x1+x2﹣x12x22＝1，
∴﹣﹣（﹣）2＝1．
整理，得k2+5k+4＝0．
解得k＝﹣4或k＝﹣1．
又由（1）知，k且k≠0．
∴k＝﹣1．
26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是AB上一点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，FG与⊙O相切于点F，且FG⊥AB于点G．
（1）求证：点D为AB的中点．
（2）若BC＝8，CD＝5，求FG的长．
【分析】（1）连接OF，根据切线的性质可得∠OFG＝90°，可得OF∥DB，根据等腰三角形的性质可得DC＝DB，再根据直角三角形两个锐角互余可证得DA＝DC，进而可得结论；
（2）连接DF，根据勾股定理可得AC，再根据直径所对圆周角是直角可得∠DFC＝90°，再根据锐角三角函数列出等式即可求出结果．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OF，
∵FG与⊙O相切，
∴∠OFG＝90°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠DGF+∠OFG＝180°，
∴OF∥DB，
∴∠OFC＝∠B，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠DCB，
∴∠B＝∠DCB，
∴DC＝DB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴DA＝DB，
∴点D为AB的中点；
（2）如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵CD为直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴BF＝BC＝4，
∵sin∠ABC＝＝，
∴＝，
∴FG＝．
27．（7分）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y1千米，慢车行驶的路程为y2千米．如图中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系，线段OD表示y2与x之间的函数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得y1与x之间的函数表达式；
（3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义．
【解答】解：（1）快车的速度为：180÷2＝90千米/小时，
慢车的速度为：180÷3＝60千米/小时，
答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：2+1.5＝3.5，
则点E的坐标为（3.5，180），
快车从点E到点C用的时间为：（360﹣180）÷90＝2（小时），
则点C的坐标为（5.5，360），
设线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝kx+b，
，得，
即线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式是y1＝90x﹣135（3.5≤x≤5.5）；
（3）设点F的横坐标为a，
则60a＝90a﹣135，
解得，a＝4.5，
则60a＝270，
即点F的坐标为（4.5，270），点F代表的实际意义是在4.5小时时，快车与慢车行驶的路程相等．
28．（9分）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
（1）求证：BD＝DG；
（2）猜想线段BE，BF和DB之间的数量关系，并说明理由．
（3）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．
【分析】（1）根据旋转的性质解答即可；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（3）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．
【解答】解：（1）证明：∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，
由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°，
∴DB＝DG；
（2）BF+BE＝BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，
∴△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
∴CD＝CG＝CB，
∵DG＝BD＝BC，
即BF+BE＝2BC＝BD；
（3）①如图2，BF+BE＝BD，
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，
由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，
在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，
∵BD＝DG，
∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
设DM＝a，则BD＝2a，
BM＝a，
∴BG＝2a，
∴，
∴BG＝BD，
∴BF+BE＝BG＝BD；
②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，
Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，
∴AN＝1，BN＝，
∴BD＝2BN＝2，
∵DC∥BE，
∴，
∵CM+BM＝2，
∴BM＝，
Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，
∴BP＝3，
由旋转得：BD＝DF，
∴BF＝2BP＝6，
∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．
29．（10分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；
（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求得二次函数的解析式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt△CHO中，可求得tan∠COH＝4，推出∠ACO＝∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，求出直线PA的解析式，求出点N的坐标，由S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，可推出S△BPM﹣S△EMN＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．
【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；
（2）∵抛物线顶点C（﹣1，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，
则H（﹣1，0），
在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，
∴tan∠COH＝＝4，
∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO＝∠CDO时，
tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，
∴△AOC∽△ACD，
∴＝，
∵AC＝＝2，AO＝1，
∴＝，
∴AD＝20，
∴OD＝19，
∴D（﹣19，0）；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x＝﹣1的对称点D'的坐标为（17，0），
∴点D的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；
（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），
将P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k＝﹣a﹣3，b＝a+3，
∴yPA＝（﹣a﹣3）x+a+3，
当x＝0时，y＝a+3，
∴N（0，a+3），
如图2，
∵S△BPM＝S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN
＝S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
＝×4×（﹣a2﹣2a+3）﹣×3×3﹣×1×（a+3）
＝﹣2a2﹣a
＝﹣2（a+）2+，
由二次函数的性质知，当a＝﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，
∴m﹣n的最大值为．
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