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2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份）
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这是一份2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《中国好声音》
B．上学路上经过十字路口遇上红灯
C．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
D．从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0
3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
4．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
5．（3分）抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
6．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（3分）如图，直线y＝n交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线y＝n向下平移4个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．6 C．2 D．5
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）若反比例函数y＝的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 ．
13．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
14．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示．对称轴为x＝1，图象过点A，且9a+3b+c＝0，以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3；④c＞﹣3a；⑤若点B（m，y1），C（2﹣m，y2）在此函数图象上，则y1＝y2．其中正确的结论是 ．
16．（3分）已知：如图AB是⊙O的直径，AB＝4，点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，求线段CD的最大值为 ．
三、解答题（共有8小题，共72分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．
19．（8分）如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA＝PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）连接OB、DP交于点E．若CD＝2，CB＝4，求的值．
22．（10分）某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象关系y＝﹣2x+160，设日销售利润为w元．
（1）当日销售利润为1600时，求售价x值．
（2）当售价为多少元/千克时，日销售利润w最大，最大利润为多少元？
（3）由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克（m＞0），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变．若日销售最大利润是1280元，请求出m的值．
23．（10分）如图1，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD．
（1）求证：∠ACB＝90°．
（2）如图2，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I交AB于H．若tan∠ABC＝，求的值；
（3）如图3，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB于F．若EF＝4，CE＝3.2，直接写出AB的值．
24．（10分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《中国好声音》
B．上学路上经过十字路口遇上红灯
C．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
D．从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放《中国好声音》是随机事件；
B、上学路上经过十字路口遇上红灯是随机事件；
C、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
D、从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0是必然事件，
故选：D．
3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】根据两根和与系数的关系，直接可得结论．
【解答】解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
4．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．
【解答】解：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：
点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故选：C．
5．（3分）抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣5，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
6．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数为5，
所以一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率＝．
故选：D．
7．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】设BD＝x，则AD＝4x，证明Rt△ADC∽Rt△CDB，利用相似三角形的性质即可求出CD＝2x，则可得出答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴．
设BD＝x，则AD＝4x，
∴CD2＝AD•BD＝4x2，
∴CD＝2x，
∴．
故选：C．
9．（3分）如图，直线y＝n交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线y＝n向下平移4个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．6 C．2 D．5
【分析】先根据平移的性质求出平移后直线的解析式，由于，故可得出设B（a，n），D（3a，n﹣4），再根据反比例函数中k＝xy为定值求出n．
【解答】解：∵将直线y＝n向下平移4个单位长度后，
∴平移后直线的解析式为y＝n﹣4，
∵，
∴CD＝3AB，
设B（a，n），D（3a，n﹣4），
∵B、D在反比例函数的图象上，
∴an＝3a•（n﹣4）
∴n＝6
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
12．（3分）若反比例函数y＝的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 k＞3 ．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣3＞0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：由于反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，
则k﹣3＞0，解得：k＞3．
故答案为：k＞3．
13．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 105（1﹣x）2＝88 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：105（1﹣x）2＝88．
故答案为：105（1﹣x）2＝88．
14．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为 ．
【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，即可得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴，
∴＝，
故答案为：．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示．对称轴为x＝1，图象过点A，且9a+3b+c＝0，以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3；④c＞﹣3a；⑤若点B（m，y1），C（2﹣m，y2）在此函数图象上，则y1＝y2．其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据题中条件得出b＝﹣2a，c＝﹣3a即可判断②④；根据抛物线与x则的交点情况即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵9a+3b+c＝0，
∴9a﹣6a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＜0，故②正确；
∵当x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c＝a+2a﹣3a＝0，
∴抛物线与x轴的一个交点横坐标为﹣1，
∵9a+3b+c＝0，
∴关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3，故③正确；
∵c＝﹣3a，故④错误；
∵＝1，
∴点B（m，y1），C（2﹣m，y2）关于对称轴直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确；
综上，正确结论的有①②④⑤，
故答案为①②③⑤．
16．（3分）已知：如图AB是⊙O的直径，AB＝4，点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，求线段CD的最大值为 +1 ．
【分析】连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≤CG+GD，再求出答案即可．
【解答】解：∵直径AB＝4，
∴CO＝AO＝2，
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，
∵D为AP的中点，OD过O，
∴OD⊥AP，
即点D在⊙G上，GD＝OA＝1，
∴OG＝1，
∵点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），
∴∠AOC＝60°，
∴∠FGO＝30°，
∴OF＝OG＝，GF＝＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝，
由勾股定理得：CG＝＝＝，
∵CD≤CG+GD，
∴CD≤+1，
∴CD的最大值是+1，
故答案为：+1．
三、解答题（共有8小题，共72分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
【分析】先化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．然后把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）结合图象得到＞kx+b的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，
∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），
把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；
（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，
所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．
19．（8分）如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
【分析】由相似三角形的性质可知：，∠BAC＝∠DAE，然后可证明∠BAD＝∠CAE，最后依据相似三角形的判定定理进行证明即可．
【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵且∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
【分析】（1）取格点T，作直线BT交AC的延长线于H．取格点W，R，Q，连接WR，AQ交于点J，连接CJ交AB于点P，点P即为所求．
（2）取格点O，连接AO交BC于点D，取网格线与AC的交点E，连接DE，线段AD，点E即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段BH即为所求，点P即为所求．
（2）线段AD即为所求，点E即为所求．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA＝PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）连接OB、DP交于点E．若CD＝2，CB＝4，求的值．
【分析】（1）连接OB，OP，利用SSS证明△OAP与△OBP全等，进而利用切线的判定即可证得结论；
（2）连接BD，AB交OP于G，在Rt△OBC中，由勾股定理求得圆的半径OB，OD，由切线长定理得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO，由等腰三角形的性质OP⊥AB，AG＝BG，由勾股定理求出PA，OP，根据三角形的面积公式求出AG，由勾股定理求出OG，由三角形的中位线定理证得OG∥BD，且求出BD，再证得△POE∽DBE，根据相似三角形的性质可求出结果．
【解答】证明：（1）连接OB，OP，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在△OAP与△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，AB交OP于G，
设OA＝OD＝r，
在Rt△OBC中，BC2+OB2＝OC2，
∴42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴OB＝OD＝3，
∴AC＝8，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∴OP⊥AB，AG＝BG，
设PA＝PB＝x，
在Rt△PAC中，AC2+PA2＝PC2，
∴82+x2＝（x+4）2，
∴x＝6，
∴PA＝PB＝6，
在Rt△PAO中，OP＝＝3，
∵S△AOP＝AG•OP＝OA•AP，
∴AG＝，
在Rt△AOG中，OG＝＝，
∵AO＝DO，
∴OG∥BD，OG＝BD，
∴BD＝，△POE∽DBE，
∴＝＝．
22．（10分）某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象关系y＝﹣2x+160，设日销售利润为w元．
（1）当日销售利润为1600时，求售价x值．
（2）当售价为多少元/千克时，日销售利润w最大，最大利润为多少元？
（3）由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克（m＞0），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变．若日销售最大利润是1280元，请求出m的值．
【分析】（1）依题意列方程，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（2）根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，w＝（﹣2x+160）（x﹣20）＝1600，
解得：x1＝40，x2＝60；
（2）设当该商品的售价是x元/件时，日销售利润为w元，
根据题意得：w＝（﹣2x+160）（x﹣20）＝﹣2x2+200 x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800；
∴当x＝50时w有最大值，最大值为1800（元），
答：当该商品的售价是50元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣m）（﹣2x+160）＝﹣2x2+（200+2m）x﹣3200﹣160m，
∵对称轴x＝，
∴①当x＝＜40时（舍），
②当x＝≥40时，x＝40时，w取最大值为1280，
解得：m＝4，即﹣2×402+（20+2m）×40﹣3200﹣160m＝1280，
∴m＝4．
23．（10分）如图1，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD．
（1）求证：∠ACB＝90°．
（2）如图2，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I交AB于H．若tan∠ABC＝，求的值；
（3）如图3，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB于F．若EF＝4，CE＝3.2，直接写出AB的值．
【分析】（1）只要证明△ADC∽△CDB即可解决问题；
（2）如图2中，作AE∥BC交直线CH于E，由tan∠ABC＝＝，可以设AC＝2x，BC＝3x，CN＝x，由tan∠ACE＝tan∠NBC＝＝，推出AE＝AC＝x，由△AEH∽△BCH，可得＝＝；
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H．首先证明EF＝EH，理由相似三角形的性质求出AE、AB即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵CD2＝DA•DB，
∴＝，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°．
（2）如图2中，作AE∥BC交直线CH于E，
∵tan∠ABC＝＝，
∴设AC＝2x，BC＝3x，CN＝x，
tan∠ACE＝tan∠NBC＝＝，
∴AE＝AC＝x，
∵△AEH∽△BCH，
∴＝＝．
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H．
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴＝，＝，
∴＝，
∵DM＝CM，
∴HE＝EF＝4，
在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，
∵△AEF∽△HEC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝5，
∴AC＝AE+EC＝8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝．
24．（10分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；
（2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；
（3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑：
①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，
解得：a＝2，a＝3（舍去），
∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2，
∴a＝，a＝﹣（舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4﹣5），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2，
整理得：a2＝1+（a﹣1）2，
解得a＝1．
∴P（1，0）．
综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又∵AC＝＝，
∴AE＝＝，
∵DE∥BC，设D（m，0），
∴，
∴＝，
∴m＝，
∴D（，0）．
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《中国好声音》
B．上学路上经过十字路口遇上红灯
C．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
D．从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0
3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
4．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
5．（3分）抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
6．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（3分）如图，直线y＝n交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线y＝n向下平移4个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．6 C．2 D．5
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）若反比例函数y＝的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 ．
13．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
14．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为 ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示．对称轴为x＝1，图象过点A，且9a+3b+c＝0，以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3；④c＞﹣3a；⑤若点B（m，y1），C（2﹣m，y2）在此函数图象上，则y1＝y2．其中正确的结论是 ．
16．（3分）已知：如图AB是⊙O的直径，AB＝4，点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，求线段CD的最大值为 ．
三、解答题（共有8小题，共72分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．
19．（8分）如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA＝PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）连接OB、DP交于点E．若CD＝2，CB＝4，求的值．
22．（10分）某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象关系y＝﹣2x+160，设日销售利润为w元．
（1）当日销售利润为1600时，求售价x值．
（2）当售价为多少元/千克时，日销售利润w最大，最大利润为多少元？
（3）由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克（m＞0），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变．若日销售最大利润是1280元，请求出m的值．
23．（10分）如图1，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD．
（1）求证：∠ACB＝90°．
（2）如图2，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I交AB于H．若tan∠ABC＝，求的值；
（3）如图3，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB于F．若EF＝4，CE＝3.2，直接写出AB的值．
24．（10分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
2021年湖北省武汉市江夏区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放《中国好声音》
B．上学路上经过十字路口遇上红灯
C．掷一枚均匀的硬币，正面朝上
D．从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、打开电视机，正在播放《中国好声音》是随机事件；
B、上学路上经过十字路口遇上红灯是随机事件；
C、掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；
D、从1、2、3、4、5这五个数中任取一个数，取到的数一定大于0是必然事件，
故选：D．
3．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】根据两根和与系数的关系，直接可得结论．
【解答】解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
4．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．
【解答】解：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：
点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故选：C．
5．（3分）抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（ ）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣5，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
6．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数为5，
所以一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率＝．
故选：D．
7．（3分）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】设BD＝x，则AD＝4x，证明Rt△ADC∽Rt△CDB，利用相似三角形的性质即可求出CD＝2x，则可得出答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴．
设BD＝x，则AD＝4x，
∴CD2＝AD•BD＝4x2，
∴CD＝2x，
∴．
故选：C．
9．（3分）如图，直线y＝n交y轴于点A，交双曲线于点B，将直线y＝n向下平移4个单位长度后与y轴交于点C，交双曲线于点D，若，则n的值（ ）
A．4 B．6 C．2 D．5
【分析】先根据平移的性质求出平移后直线的解析式，由于，故可得出设B（a，n），D（3a，n﹣4），再根据反比例函数中k＝xy为定值求出n．
【解答】解：∵将直线y＝n向下平移4个单位长度后，
∴平移后直线的解析式为y＝n﹣4，
∵，
∴CD＝3AB，
设B（a，n），D（3a，n﹣4），
∵B、D在反比例函数的图象上，
∴an＝3a•（n﹣4）
∴n＝6
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：＝ 4 ．
【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
12．（3分）若反比例函数y＝的图象位于一、三象限内，则k的取值范围是 k＞3 ．
【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k﹣3＞0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：由于反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，
则k﹣3＞0，解得：k＞3．
故答案为：k＞3．
13．（3分）某药品经过两次降价，每盒零售价由105元降到88元，已知再次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 105（1﹣x）2＝88 ．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：105（1﹣x）2＝88．
故答案为：105（1﹣x）2＝88．
14．（3分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为 ．
【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，即可得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，
∴，
∴＝，
故答案为：．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示．对称轴为x＝1，图象过点A，且9a+3b+c＝0，以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3；④c＞﹣3a；⑤若点B（m，y1），C（2﹣m，y2）在此函数图象上，则y1＝y2．其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据题中条件得出b＝﹣2a，c＝﹣3a即可判断②④；根据抛物线与x则的交点情况即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵9a+3b+c＝0，
∴9a﹣6a+c＝0，即c＝﹣3a，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＜0，故②正确；
∵当x＝﹣1时，函数y＝a﹣b+c＝a+2a﹣3a＝0，
∴抛物线与x轴的一个交点横坐标为﹣1，
∵9a+3b+c＝0，
∴关于x不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3，故③正确；
∵c＝﹣3a，故④错误；
∵＝1，
∴点B（m，y1），C（2﹣m，y2）关于对称轴直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确；
综上，正确结论的有①②④⑤，
故答案为①②③⑤．
16．（3分）已知：如图AB是⊙O的直径，AB＝4，点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上的一个动点，取弦AP的中点D，求线段CD的最大值为 +1 ．
【分析】连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，求出OC＝OA＝2，求出OG、OF、CF长，根据勾股定理求出CG，再根据两点之间线段最短得出CD≤CG+GD，再求出答案即可．
【解答】解：∵直径AB＝4，
∴CO＝AO＝2，
连接OD，以AO为直径作圆G，过G作GF⊥OC于F，
∵D为AP的中点，OD过O，
∴OD⊥AP，
即点D在⊙G上，GD＝OA＝1，
∴OG＝1，
∵点C为弧AB的三等分点（更靠近A点），
∴∠AOC＝60°，
∴∠FGO＝30°，
∴OF＝OG＝，GF＝＝，
∴CF＝OC﹣OF＝2﹣＝，
由勾股定理得：CG＝＝＝，
∵CD≤CG+GD，
∴CD≤+1，
∴CD的最大值是+1，
故答案为：+1．
三、解答题（共有8小题，共72分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
【分析】先化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．然后把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A（﹣3，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再求出B点坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）结合图象得到＞kx+b的解集即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，
∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），
把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；
（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，
所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．
19．（8分）如图所示，△ABC∽△ADE，试说明△ABD∽△ACE．
【分析】由相似三角形的性质可知：，∠BAC＝∠DAE，然后可证明∠BAD＝∠CAE，最后依据相似三角形的判定定理进行证明即可．
【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵且∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
【分析】（1）取格点T，作直线BT交AC的延长线于H．取格点W，R，Q，连接WR，AQ交于点J，连接CJ交AB于点P，点P即为所求．
（2）取格点O，连接AO交BC于点D，取网格线与AC的交点E，连接DE，线段AD，点E即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段BH即为所求，点P即为所求．
（2）线段AD即为所求，点E即为所求．
21．（10分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA＝PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）连接OB、DP交于点E．若CD＝2，CB＝4，求的值．
【分析】（1）连接OB，OP，利用SSS证明△OAP与△OBP全等，进而利用切线的判定即可证得结论；
（2）连接BD，AB交OP于G，在Rt△OBC中，由勾股定理求得圆的半径OB，OD，由切线长定理得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO，由等腰三角形的性质OP⊥AB，AG＝BG，由勾股定理求出PA，OP，根据三角形的面积公式求出AG，由勾股定理求出OG，由三角形的中位线定理证得OG∥BD，且求出BD，再证得△POE∽DBE，根据相似三角形的性质可求出结果．
【解答】证明：（1）连接OB，OP，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在△OAP与△OBP中，
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，AB交OP于G，
设OA＝OD＝r，
在Rt△OBC中，BC2+OB2＝OC2，
∴42+r2＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴OB＝OD＝3，
∴AC＝8，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，
∴OP⊥AB，AG＝BG，
设PA＝PB＝x，
在Rt△PAC中，AC2+PA2＝PC2，
∴82+x2＝（x+4）2，
∴x＝6，
∴PA＝PB＝6，
在Rt△PAO中，OP＝＝3，
∵S△AOP＝AG•OP＝OA•AP，
∴AG＝，
在Rt△AOG中，OG＝＝，
∵AO＝DO，
∴OG∥BD，OG＝BD，
∴BD＝，△POE∽DBE，
∴＝＝．
22．（10分）某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y（千克）与售价x（元/千克）的函数图象关系y＝﹣2x+160，设日销售利润为w元．
（1）当日销售利润为1600时，求售价x值．
（2）当售价为多少元/千克时，日销售利润w最大，最大利润为多少元？
（3）由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克（m＞0），物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价的函数关系不变．若日销售最大利润是1280元，请求出m的值．
【分析】（1）依题意列方程，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（2）根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，w＝（﹣2x+160）（x﹣20）＝1600，
解得：x1＝40，x2＝60；
（2）设当该商品的售价是x元/件时，日销售利润为w元，
根据题意得：w＝（﹣2x+160）（x﹣20）＝﹣2x2+200 x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800；
∴当x＝50时w有最大值，最大值为1800（元），
答：当该商品的售价是50元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣m）（﹣2x+160）＝﹣2x2+（200+2m）x﹣3200﹣160m，
∵对称轴x＝，
∴①当x＝＜40时（舍），
②当x＝≥40时，x＝40时，w取最大值为1280，
解得：m＝4，即﹣2×402+（20+2m）×40﹣3200﹣160m＝1280，
∴m＝4．
23．（10分）如图1，CD是△ABC的高，CD2＝AD•BD．
（1）求证：∠ACB＝90°．
（2）如图2，BN是△ABC的中线，CH⊥BN于点I交AB于H．若tan∠ABC＝，求的值；
（3）如图3，M是CD的中点，BM交AC于E，EF⊥AB于F．若EF＝4，CE＝3.2，直接写出AB的值．
【分析】（1）只要证明△ADC∽△CDB即可解决问题；
（2）如图2中，作AE∥BC交直线CH于E，由tan∠ABC＝＝，可以设AC＝2x，BC＝3x，CN＝x，由tan∠ACE＝tan∠NBC＝＝，推出AE＝AC＝x，由△AEH∽△BCH，可得＝＝；
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H．首先证明EF＝EH，理由相似三角形的性质求出AE、AB即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵CD2＝DA•DB，
∴＝，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°．
（2）如图2中，作AE∥BC交直线CH于E，
∵tan∠ABC＝＝，
∴设AC＝2x，BC＝3x，CN＝x，
tan∠ACE＝tan∠NBC＝＝，
∴AE＝AC＝x，
∵△AEH∽△BCH，
∴＝＝．
（3）如图3中，延长BC交FE的延长线于H．
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴＝，＝，
∴＝，
∵DM＝CM，
∴HE＝EF＝4，
在Rt△CEH中，CH＝＝＝2.4，
∵△AEF∽△HEC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝5，
∴AC＝AE+EC＝8.2，
∵△HEC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝．
24．（10分）如图，已知抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），C三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BC上方抛物线上一点，作PQ⊥x轴交BC于Q点．请问是否存在点P使得△BPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，点D是线段AB上一点，作DE∥BC交AC于E点，连接BE，若△BDE∽△CEB，求D点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得抛物线的表达式；
（2）先求出直线BC的解析式，分三种情况：当PB＝QB，PQ＝BQ，PQ＝PB时，设P（a，﹣a2+4a﹣3），可表示出三条线段长，则解方程可求出P点坐标；
（3）证得△ABE∽△ACB可得比例线段求出AE长，当△BDE∽△CEB时可求出D点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线经y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P使得△BPQ为等腰三角形，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：k＝1，b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设P（a，﹣a2+4a﹣3），则Q（a，a﹣3），可分三种情况考虑：
①当PB＝BQ时，由题意得P、Q关于x轴对称，
∴﹣a2+4a﹣3+a﹣3＝0，
解得：a＝2，a＝3（舍去），
∴P（2，1），
②当PQ＝BQ时，（﹣a2+3a）2＝2（a﹣3）2，
∴a＝，a＝﹣（舍去），a＝3（舍去），
∴P（，4﹣5），
③当PQ＝PB时，有（﹣a2+3a）2＝（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2，
整理得：a2＝1+（a﹣1）2，
解得a＝1．
∴P（1，0）．
综上所述：P点坐标为P1（1，0），P2（2，1），P3（，4﹣5）；
（3）∵△BDE∽△CEB，
∴∠ABE＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴，
又∵AC＝＝，
∴AE＝＝，
∵DE∥BC，设D（m，0），
∴，
∴＝，
∴m＝，
∴D（，0）．
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