2021年湖北省黄石市大冶市三校联考中考数学模拟试卷

这是一份2021年湖北省黄石市大冶市三校联考中考数学模拟试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省黄石市大冶市三校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
2．（3分）京剧脸谱、剪纸等图案一般蕴含着对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝
5．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2，且m≠2 B．m≠2 C．m≥﹣2 D．m≥2
6．（3分）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB＝30°，OB＝，将Rt△AOB绕原点顺时
针旋转60°，则A的对应点A1的坐标为（　　）

A．（1，） B．（﹣，1） C．（，1） D．（﹣1，）
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为（　　）

A． B．4 C．6 D．
10．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A．0＜＜1 B．＞1 C．0＜＜1 D．＞1
二、填空题（11至14题每小题3分，15至18题，每题4分，共28分）
11．（3分）计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°＝　 　．
12．（3分）因式分解：x3y﹣4xy3＝　 　．
13．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为　 　．
14．（3分）数据2，4，6，x，3，9的众数为3，则这组数据的中位数为　 　．
15．（4分）如图，测高仪CD距建筑物底部5m，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测
高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为　 　m．（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

16．（4分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝12，则这个圆锥的侧面积为　 　．
17．（4分）如图，点A在y＝（k＞0）图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于C．若＝，△AOB的面积为15，则k＝　 　．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕O点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，K，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标是　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷（），其中m＝tan60°+3．
20．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．

21．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12+x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
22．（9分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　 　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　 　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
23．（9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
24．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．

25．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线上A，B之间的一个动点（不与A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出当S取最大值时D点到AB的距离；
（3）利用图2在抛物线的对称轴上求点Q，使△ABQ为直角三角形．


2021年湖北省黄石市大冶市三校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B． C．﹣2021 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）京剧脸谱、剪纸等图案一般蕴含着对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A．正方体 B．圆柱
C．圆锥 D．球
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式和同底数幂的乘法运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（ab2）2＝a2b4，故此选项错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、﹣＝，故此选项正确．
故选：D．
5．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2，且m≠2 B．m≠2 C．m≥﹣2 D．m≥2
【分析】根据立方根及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：B．
6．（3分）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+2y＝3，
解得：y＝，
则方程组的解为．
故选：B．
7．（3分）如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB＝30°，OB＝，将Rt△AOB绕原点顺时
针旋转60°，则A的对应点A1的坐标为（　　）

A．（1，） B．（﹣，1） C．（，1） D．（﹣1，）
【分析】如图，过点A′作A′H⊥x轴于H．解直角三角形求出OH，A′H即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A′作A′H⊥x轴于H．

∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝，
∴OA＝＝2，
∵∠AOA′＝60°，
∴∠A′OH＝30°，
∴A′H＝OA′＝1，OH＝A′H＝，
∴A′（，1），
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ADC中，∠C＝45°，AC＝4，
∴AD＝DC＝AC＝2，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBE＝30°，
∴DE＝BE，BE＝AE，
∴AE＝AD＝，
故选：C．
9．（3分）如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为（　　）

A． B．4 C．6 D．
【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，

∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝4，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝4，
∴MN最大＝2．
故选：A．
10．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A．0＜＜1 B．＞1 C．0＜＜1 D．＞1
【分析】根据题意画出关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）的图象以及直线y＝﹣2，根据图象即可判断．
【解答】解：由题意关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣4，
∴x3＜x1＜﹣4，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：A．
二、填空题（11至14题每小题3分，15至18题，每题4分，共28分）
11．（3分）计算：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°＝　　．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（﹣π）0+（）﹣1﹣sin60°
＝1+2﹣×
＝3﹣
＝．
故答案为：．
12．（3分）因式分解：x3y﹣4xy3＝　xy（x+2y）（x﹣2y）　．
【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3y﹣4xy3，
＝xy（x2﹣4y2），
＝xy（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：xy（x+2y）（x﹣2y）．
13．（3分）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法表示为　1.64×10﹣6　．
【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：0.00000164＝1.64×10﹣6，
故答案是：1.64×10﹣6．
14．（3分）数据2，4，6，x，3，9的众数为3，则这组数据的中位数为　3.5　．
【分析】先根据众数的定义求出x的值，再将数据从小到大重新排列，继而利用中位数的概念求解即可．
【解答】解：∵数据2，4，6，x，3，9的众数为3，
∴x＝3，
则这组数据为2、3、3、4、6、9，
所以这组数据的中位数为＝3.5，
故答案为：3.5．
15．（4分）如图，测高仪CD距建筑物底部5m，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测
高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为　7.5　m．（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5．

16．（4分）一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝12，则这个圆锥的侧面积为　65π　．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：∵圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，
∴圆锥的母线长为＝13，
∴圆锥的侧面积为π×13×5＝65π，
故答案为：65π．
17．（4分）如图，点A在y＝（k＞0）图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于C．若＝，△AOB的面积为15，则k＝　10　．

【分析】过点A作AD⊥y轴于D，则AD∥OC，由线段的比例关系求得△AOD的面积，再根据反比例函数的k的几何意义得结果．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于D，则AD∥OC，
∴＝＝，
∵△AOB的面积为15，
∴△AOD的面积＝5，
根据反比例函数k的几何意义得，|k|＝5，
∴|k|＝10，
∵k＞0，
∴k＝10．
故答案为：10．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕O点按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，K，OPn（n为正整数），则点P2022的坐标是　（﹣22021，0）　．

【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OPn＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；
∴OP1＝1，OP2＝2，
∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，
∴OPn＝2n﹣1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2022÷8＝252…6，
∴点P2022的坐标与点P6的坐标在同一直线上，正好在x轴的负半轴上，
∴点P2022的坐标是（﹣22021，0）．
故答案为：（﹣22021，0）．
三、解答题（本大题共7小题，共62分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
19．（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷（），其中m＝tan60°+3．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷（）
＝
＝，
当m＝tan60°+3＝+3时，原式＝＝．
20．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．

【分析】（1）利用等边三角形的性质得到AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE；
（2）先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．
21．（8分）关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12+x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；
（2）根据根与系数的关系，以及x12+x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；

（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22﹣4x1x2＝1，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝1，
∴（）2+＝1，
解得：k＝9或k＝﹣1．
22．（9分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　60　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　108　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为＝．
23．（9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
24．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．

【分析】（1）连接OB、OE，由SSS证得△ABO≌△EBO，得出∠BAO＝∠BEO，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC＝2，再由△CEO∽△CAB，得出，求出OE长即可．
（3）连接AE，DE，证明△EDC∽△AEC，得出比例线段，则可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO＝∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠BAO＝90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE＝3，BC＝7，
∴AB＝BE＝3，CE＝4，
∵AB⊥AD，
∴AC＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝∠BAC＝90°，
∠ECO＝∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴，
即，
解得：OE＝，
∴⊙O的半径长为．
（3）证明：连接AE，DE，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵BA是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠DEC＝∠EAD，
∴△EDC∽△AEC，
∴，
∴CE2＝CD•CA．

25．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线上A，B之间的一个动点（不与A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出当S取最大值时D点到AB的距离；
（3）利用图2在抛物线的对称轴上求点Q，使△ABQ为直角三角形．

【分析】（1）令x＝0，得y＝，由二次函数的对称性可得其对称轴，则可得出b与a的关系，将A（﹣1，0）代入抛物线解析式，结合b与a的关系，可得抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求得直线AB的解析式，为y＝kx+b，由点D的横坐标为m，可设D（m，），C（m，），从而可用含m的式子表示出S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质可得S的最大值；过点D作DE⊥BA，过点B作BF⊥x轴，判定△DEC∽△AFB，由相似三角形的性质可得比例式，从而解得当S取最大值时D点到AB的距离；
（3）设点Q的坐标为（2，n），在Rt△ABQ中，AB2＝（4+1）2+＝，AQ2＝+4，BQ2＝n2+9，再分三种情况：①当∠QAB＝90°时，BQ2＝AQ2+AB2，即n2+9＝+4+；②当∠ABQ＝90°时，AQ2＝BQ2+AB2，即+4＝n2+9+；③当∠AQB＝90°时，AB2＝AQ2+BQ2，即＝n2+9++4．分别解方程，求得n的值，则可得点Q的坐标．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+中，令x＝0，得y＝，
又∵B（4，），
∴抛物线的对称轴为：x＝，
∴，即b＝﹣4a，
将A（﹣1，0）代入抛物线解析式得：0＝a﹣b+，
将b＝﹣4a代入得：a＝，
∴b＝2，
∴抛物线解析式为：y＝；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（4，）代入得，
，
∴，
∴AB的解析式为：y＝，
设D（m，），C（m，），
S＝
＝，
∵a＝＜0，
∴当x＝﹣时，S取最大值，
∴D（），C（），
过点D作DE⊥BA，过点B作BF⊥x轴，
∴∠DCE＝∠ACH，∠ACH＝∠ABF，
∴∠DCE＝∠ABF，
又∵∠DEC＝∠BFA＝90°，
∴△DEC∽△AFB，
∴，
∵AF＝4﹣（﹣1）＝5，BF＝，
∴AB＝，
∴，
∴；
∴S关于m的函数解析式为S＝，当S取最大值时D点到AB的距离；

（3）∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴设点Q的坐标为（2，n），

由两点间的距离公式得：AB2＝（4+1）2+＝，
AQ2＝+4，
BQ2＝n2+9，
∴当∠QAB＝90°时，BQ2＝AQ2+AB2，即n2+9＝+4+，
解得n＝，
∴点Q的坐标为（2，）；
当∠ABQ＝90°时，AQ2＝BQ2+AB2，即+4＝n2+9+，
解得n＝﹣6，
∴点Q的坐标为（2，﹣6）；
当∠AQB＝90°时，AB2＝AQ2+BQ2，即＝n2+9++4，
解得n＝4或n＝﹣，
∴点Q的坐标为（2，4）或（2，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣6）或（2，4）或（2，﹣）．