2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷

这是一份2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
2．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（　　）

A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9
5．（3分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）

A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
6．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
7．（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）

A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（　　）

A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣4） D．（0，﹣4）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝　 　．
12．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　 　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为　 　．
14．（3分）如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为　 　．

15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当时BE＝a，G是线段AD的中点．其中正确的结论是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)
16．（8分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣1．
17．（9分）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　 　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为　 　°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%，2.75%，3.5%，10%，20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
18．（9分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行34km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

19．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

20．（9分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而　 　，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而　 　，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而　 　．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0

1

2

3
…
y
0



1


…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是　 　．

21．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

22．（10分）希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系中，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于R点；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为　 　；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB．

23．（11分）请完成下面的几何探究过程：
（1）观察填空
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则
①∠CBE的度数为　 　；
②当BE＝　 　时，四边形CDBE为正方形．
（2）探究证明
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则：
①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；
②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形
（3）拓展延伸
如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．


2021年河南省驻马店市、天宏大联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：A．
2．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（　　）

A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出答案．
【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故选：A．
3．（3分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
观察图可得：第一次选择，它有3种路径；第二次选择，每次又都有2种路径；
两次共6种等可能结果，其中获得食物的有2种结果，
∴获得食物的概率是＝，
故选：C．
4．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．
故选：B．
5．（3分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）

A．从点P向北偏西45°走3km到达l
B．公路l的走向是南偏西45°
C．公路l的走向是北偏东45°
D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB＝6km，
如图所示，过P点作AB的垂线PC，
则PC＝3km，
则从点P向北偏西45°走3km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后到达BP中点D，此时CD为△PAB的中位线，故CD＝AP＝3，故再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．

6．（3分）如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】观察函数y1＝x+1与函数的图象，即可得出当y1＞y2时，相应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．

7．（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）

A．π×（）2x＝π×（）2×（x﹣5）
B．π×（）2x＝π×（）2×（x+5）
C．π×82x＝π×62×（x+5）
D．π×82x＝π×62×5
【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：π×（）2x＝π×（）2×（x+5）．
故选：B．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
9．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为，
故选：D．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（　　）

A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣4） D．（0，﹣4）
【分析】依据轴对称的性质可得OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，），
∴AB＝1，OB＝，
∴OA＝＝＝2，
∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，
∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，
∴A'（﹣，﹣1），
∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，
∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，
∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，
∴∠A′CO＝∠A′OB′，
∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，
∴△A′OB′∽△OCA′，
∴＝，即，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知：﹣＝a﹣＝b，则ab＝　6　．
【分析】直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，
故a＝3，b＝2，
则ab＝6．
故答案为：6．
12．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当10.0mm时，最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝　　mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小．
【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，
∵a＝3＞0，当10.0mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2最小，
∴当x＝﹣＝10.0时，y有最小值，
设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣xn）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+（x12+x22+…+xn2），
∵n＞0，
∴当x＝﹣＝时，w有最小值．
故答案为：．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为　0　．
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解答】解：方法一、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴联立方程组得：，
解得：，，
∴y1+y2＝0，
方法二、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
14．（3分）如图，已知△ABC≌△DCE≌△GEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BG，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝3，则图中三个阴影部分的面积和为　39　．

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥GF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出GF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△GEF，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠GFE，BC＝CE＝EF，
∴AC∥DE∥GF，
∴，，
∴KE＝2PC，GF＝3PC，
又∵DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，
∴△DQK≌△CQP（相似比为1）
设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，
则xh＝3，整理得xh＝6，
S△BPC＝x•2h＝xh＝6，
S四边形CEKQ＝×3x•2h﹣3＝3xh﹣3＝3×6﹣3＝18﹣3＝15，
S△EFH＝×3x•2h＝3xh＝18，
∴三个阴影部分面积的和为：6+15+18＝39．
故答案为：39
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当时BE＝a，G是线段AD的中点．其中正确的结论是　①④⑤　．

【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．


三、解答题（本大题共8个小题，满分75分)
16．（8分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝4cos30°﹣1．
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把x的值代入得出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
∵x＝4cos30°﹣1＝4×﹣1＝2﹣1，
∴原式＝＝．
17．（9分）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　20　万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为　72　°；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%，2.75%，3.5%，10%，20%，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【分析】（1）由60﹣79岁人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以40﹣59岁感染人数所占比例即可；
（2）根据各年龄段人数之和等于总人数求出20﹣39岁的人数，从而补全图形；
（3）用患者年龄为60岁或60岁以上的人数除以总人数即可；
（4）根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人），
扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×＝72°，
故答案为：20、72；
（2）20～39岁的人数为20﹣（0.5+4+9+4.5）＝2（万人），
补全折线图如下：

（3）该患者年龄为60岁或60岁以上的概率为＝；
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为×100%＝10%．
18．（9分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行34km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．
（1）直接写出∠C的度数；
（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝34，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得：
∠ACB＝20°+42°＝62°；
（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝34，
过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB＝34，
∴AE＝BE＝AB＝17，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，
∴CE＝＝，
∴AC＝AE+CE＝17+，
∴A，C两港之间的距离为（17+）km．

19．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z＝﹣x+19，
∴z关于x的函数解析式为z＝
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（﹣x+19﹣10）（5x+40）
＝﹣x2+35x+360
＝﹣（x﹣14）2+605，
因为﹣＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
20．（9分）小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而　减小　，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而　减小　，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而　减小　．
（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0

1

2

3
…
y
0



1


…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是　　．

【分析】（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大．
【解答】解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小．

（2）函数图象如图所示：


（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，
观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，
故答案为：．
21．（10分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【分析】（1）连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB＝DO，再由圆的半径相等，可得DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，按照切线的判定定理可得结论；
（2）连接OP，先由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．
【解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，
∴DB＝DO，OE＝BE．
解法一：
∵在⊙O中，DO＝OB，
∴DB＝DO＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO＝∠DBO＝60°，
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．
∵∠DBO＝60°，
∴∠CDB＝30°．
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
解法二：
∵BC＝OB，OB＝OD，
∴＝＝＝，
又∵∠DOE＝∠COD，
∴△EOD∽△DOC，
∴∠CDO＝∠DEO＝90°，
∴CD为圆O的切线；
（2）答：这个确定的值是．
连接OP，如图2中：

由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．
∴＝＝，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴＝＝．
22．（10分）希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：
①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在平面直角坐标系中，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于R点；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；
⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．
根据以上材料解答下列问题：
（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为　（b，）　；
（2）求证：点Q在直线OM上；
（3）求证：∠MOB＝∠AOB．

【分析】（1）由PM∥x轴，MR∥y轴，P（a，），R（b，），即可得出M点的坐标；
（2）先求出直线OM解析式和点Q的坐标，将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；
（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PM∥x轴，MR∥y轴，P（a，），R（b，），
∴M（b，），
故答案为：（b，）；
（2）由（1）得：Q（a，），
设OM的解析式为y＝kx，
∴，
∴k＝，
∴直线OM的解析式为：y＝x，
当x＝a时，y＝，
∴点Q在直线OM上；
（3）连接PR，交M于点D，
∵过P，R作x，y轴的平行线，
∴四边形PQRM为矩形，
∴PD＝MD，PM∥QR∥OB，PR＝2PD，
∴∠MOB＝∠PMO，∠PDO＝2∠PMO，
∴∠PDO＝2∠MOB，
又∵PR＝2PO，
∴OP＝PD，
∴∠POM＝∠PDO，
∴∠POM＝2∠MOB，
∴∠MOB＝∠AOB．

23．（11分）请完成下面的几何探究过程：
（1）观察填空
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则
①∠CBE的度数为　45°　；
②当BE＝　2　时，四边形CDBE为正方形．
（2）探究证明
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则：
①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；
②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形
（3）拓展延伸
如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．

【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，证明△BCE≌△ACD，即可得出结果；
②由①得∠CBE＝45°，求出∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，作EM⊥BC于M，则△BEM是等腰直角三角形，证出△CME是等腰直角三角形，求出∠BEC＝90°，证出四边形CDBE是矩形，再由垂直平分线的性质得出BE＝CE，即可得出结论；
（2）①证明△BCE∽△ACD，即可得出∠CBE＝∠A；
②由垂直的定义得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由相似三角形的性质得出∠BEC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（3）存在两种情况：①当CD＝BD时，证出CD＝BD＝AD，由勾股定理求出AB，即可得出结果；
②当BD＝BC＝4时，得出AD＝AB＝BD＝2﹣4即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠A＝45°；
故答案为：45°；
②当BE＝2时，四边形CDBE是正方形；理由如下：
由①得：∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
作EM⊥BC于M，如图所示：
则△BEM是等腰直角三角形，
∵BE＝2，
∴BM＝EM＝2，
∴CM＝BC﹣BM＝2，
∴BM＝CM＝EM，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
∴∠BEC＝45°+45°＝90°，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CDBE是矩形，
又∵EM垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴四边形CDBE是正方形；
故答案为：2；
（2）①∠CBE＝∠A，理由如下：
由旋转的性质得：∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴＝＝2，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠A；
②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
由①得：△BCE∽△ACD，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
又∵∠DCE＝90°，
∴四边形CDBE是矩形；
（3）在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，存在两种情况：
①当CD＝BD时，则∠DCB＝∠DBC，
∵∠DBC+∠A＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD，
∴CD＝BD＝AD，
∴AD＝AB，
∵AB＝＝＝2，
∴AD＝；
②当BD＝BC＝4时，AD＝AB＝BD＝2﹣4；
综上所述：若△BCD恰好为等腰三角形，此时AD的长为或2﹣4．