2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数综合题（含解析）

这是一份2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数综合题（含解析），共40页。试卷主要包含了二次函数的应用，二次函数综合题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数综合题（20题）
一、二次函数的应用（共10小题）
1．（2020秋•中山市期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
2．（2020秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度与时间的函数关系满足，当时，该地区的最高温度是　　
A． B． C． D．
3．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　）

A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
4．（2020秋•安溪县期中）为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④长方形的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．③④
5．（2020春•密山市期末）用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是　　
A．长方形 B．正方形 C．正三角形 D．圆
6．（2020•裕华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球运动的时间为；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当时，小球的高度．
其中正确的是　　

A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
7．（2019秋•武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为　　．

A．4.5 B． C． D．
8．（2019春•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为　　

A．， B．， C．， D．，
9．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单位：与时间（单位：的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是　　

A．，王阿姨步行的路程为
B．线段的函数解析式为
C．，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段的函数解析式为
10．（2018•吴兴区一模）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中按某种规律组成的一个大正方形，现有格式的正方形如图1，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下一个的型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数与黑色块数正好满足如图2所示的函数图象，则该格式的二维码共有多少块黑色的型小正方形　　

A．153 B．218 C．100 D．216
二、二次函数综合题（共10小题）
11．（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为　　

A． B．，
C．或， D．以上都不正确
12．（2020•潍坊三模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
13．（2020•高青县一模）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点，、点在该函数图象上，则；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确的判断有　　

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
14．（2019春•雨花区校级期末）如图， 抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上， 过点的直线交抛物线于点，且轴， 连接、、、；当点在线段上移动时 （不 与、重合） ，下列结论中正确的是　　

A ． B ．
C ． D ． 四边形的最大面积为 13
15．（2019•市中区二模）已知抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点．如图所示以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点在外；
③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；
④直线与相切．
正确的结论是　　

A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
16．（2020•南通模拟）抛物线的一部分图象如图，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为，若，则的正切值为　　

A． B． C． D．
17．（2020春•甘南县期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线的图象的顶点一定是原点；
②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；
③的长度可以等于5；
④有可能成为等边三角形；
⑤当时，，其中正确的结论是　　

A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
18．（2019•宁阳县二模）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有　　个．

A．5 B．4 C．3 D．2
19．（2019•南海区一模）点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为5，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是　　
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
20．（2018•桐梓县一模）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　

A． B． C． D．

2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：二次函数综合题（20题）
参考答案与试题解析
一、二次函数的应用（共10小题）
1．（2020秋•中山市期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　　）

A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【解答】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝﹣，
∴h＝﹣（t﹣3）2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝﹣（t﹣3）2+40，
解得t＝3±，故③错误；
④令t＝2，则h＝﹣（2﹣3）2+40＝m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
2．（2020秋•龙沙区期末）为测量某地温度变化情况，记录了一段时间的温度．一段时间内，温度与时间的函数关系满足，当时，该地区的最高温度是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数的应用
【专题】二次函数的应用；配方法；应用意识；运算能力
【分析】将温度与时间的函数关系式写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：

，
当时，温度有最大值，最大值为．
当时，该地区的最高温度是．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　）

A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；数形结合；一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解答】解：设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S＝×x
＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝﹣＝6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax＝﹣×52+4×5
＝﹣+20
＝．
∵9＜＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9＝﹣x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2020秋•安溪县期中）为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④长方形的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用
【专题】应用意识；二次函数的应用
【分析】根据三块面积相等的小长方形，得出小长方形边长之间关系，进而表示出各边长，求出答案．
【解答】解：三块面积相等的小长方形，
，设，，
则，故，无法得出，故选项②错误；
此时③，正确；
可得：，
解得：，
则
，
故选项①错误；
长方形的面积为：
，
，
当，即米时，的最大值为300平方米，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，正确得到二次函数解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2020春•密山市期末）用一根铁丝围成正方形、长方形、正三角形和圆，那么面积最大的是　　
A．长方形 B．正方形 C．正三角形 D．圆
【考点】：二次函数的应用；：等边三角形的性质
【专题】536：二次函数的应用；65：数据分析观念
【分析】设铁丝的长度为，用函数的观点求出相应图形的面积即可．
【解答】解：设铁丝的长度为，
①当围成长方形时，设长为，则宽为，则长方形的面积，
当时，长方形的面积最大为，此时长方形为正方形，即正方形的面积大于长方形的面积；
②当围成正三角形时，则三角形的边长为，
则正三角形的面积为；
③当围成圆时，则圆的半径为，
则圆的面积为；
而，
即圆的面积最大，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，进行数据处理．
6．（2020•裕华区校级一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球运动的时间为；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当时，小球的高度．
其中正确的是　　

A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【考点】：二次函数的应用
【专题】31：数形结合；66：运算能力；64：几何直观；69：应用意识；67：推理能力；536：二次函数的应用；535：二次函数图象及其性质；42：配方法
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可作出判断．
【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为，则小球在空中经过的路程一定大于，故①错误；
②由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为，将代入得：
，
解得，
函数解析式为，
当时，，
④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
7．（2019秋•武昌区校级期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为　　．

A．4.5 B． C． D．
【答案】
【考点】：二次函数的应用
【专题】66：运算能力；69：应用意识；64：几何直观；536：二次函数的应用；523：一元二次方程及应用；31：数形结合
【分析】以所在直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于的一元二次方程，解得的值，用较大的值减去较小的值即可得出答案．
【解答】解：如图，以所在直线为轴，以过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，

则由题意可知，，，
设该抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得：．
抛物线的解析式为，
若水面再下降，则有，
解得：．
，
水面宽度为．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．
8．（2019春•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为的篱笆围成．已知墙长为，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为　　

A．， B．， C．， D．，
【考点】：矩形的性质；：二次函数的应用
【专题】536：二次函数的应用；12：应用题；69：应用意识；31：数形结合
【分析】设平行于墙的一边长为，苗圃园面积为，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．
【解答】解：设平行于墙的一边长为，苗圃园面积为，则




有最大值，时，
墙长为
当时，最小

这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为，．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地根据实际问题列出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
9．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单位：与时间（单位：的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是　　

A．，王阿姨步行的路程为
B．线段的函数解析式为
C．，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段的函数解析式为
【考点】：二次函数的应用
【专题】532：函数及其图象
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解答】解：、，王阿姨步行的路程为，故没错；
、设线段的函数解析式为，
把，代入得，
解得：，
线段的函数解析式为，故没错；
、在点的速度为，在点的速度为，故错误；
、当时，由图象可得，将代入得，故没错．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
10．（2018•吴兴区一模）二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中按某种规律组成的一个大正方形，现有格式的正方形如图1，角上是三个的型大黑白相间正方形，中间右下一个的型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数与黑色块数正好满足如图2所示的函数图象，则该格式的二维码共有多少块黑色的型小正方形　　

A．153 B．218 C．100 D．216
【答案】
【考点】二次函数的应用
【专题】应用题
【分析】根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到与的关系，再根据题意即可得到关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．
【解答】解：设，
，得，
，
型小正方形白色块数与黑色块数之和是：，
，
解得，，（舍去），
，
即型小正方形黑色块数为100，
故选：．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
二、二次函数综合题（共10小题）
11．（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为　　

A． B．，
C．或， D．以上都不正确
【答案】
【考点】二次函数综合题
【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．
然后，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点（如图；过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点（如图．
【解答】解：如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点，
，
解得．
该抛物线的解析式为，
．
的周长，且是定值，所以只需最小．
如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点．则．
设直线的解析式为：，则，
解得，
故该直线的解析式为．
当时，，即．
同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点，．
如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则三角形的周长；
所以点在时，三角形的周长最小．
综上所述，符合条件的点的坐标是．
故选：．

【点评】本题考查了二次函数的综合题．在求点的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点”，所以应该找轴和轴上符合条件的点，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
12．（2020•潍坊三模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数综合题
【专题】代数综合题
【分析】根据完美点的概念令，即，由题意，△，即，方程的根为，从而求得，，所以函数，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据的取值，即可确定的取值范围．
【解答】解：令，即，
由题意，△，即，
又方程的根为，
解得，，
故函数，
如图，该函数图象顶点为，与轴交点为，由对称性，该函数图象也经过点．

由于函数图象在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小，且当时，函数的最小值为，最大值为1，
，
故选：．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
13．（2020•高青县一模）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点，、点在该函数图象上，则；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确的判断有　　

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】
【考点】二次函数综合题
【专题】几何直观；运算能力；压轴题
【分析】①把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
②根据二次函数的性质进行判断；
③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
④因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出便是其他三边和的最小值．
【解答】解：①把代入中，得，
△，
此方程两个相等的实数根，则抛物线与直线有且只有一个交点，故①结论正确；

②抛物线的对称轴为，
点关于的对称点为，
，
当时，随增大而增大，
又，点、点，、点在该函数图象上，
，故②结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故③结论正确；

④当时，抛物线的解析式为：，
，，，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图，

则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，
此时，四边形周长最小，为：，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：．
【点评】本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2019春•雨花区校级期末）如图， 抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上， 过点的直线交抛物线于点，且轴， 连接、、、；当点在线段上移动时 （不 与、重合） ，下列结论中正确的是　　

A ． B ．
C ． D ． 四边形的最大面积为 13
【考点】：二次函数综合题
【专题】153 ：代数几何综合题
【分析】（1） 当过对称轴的直线时， 解得：，而，；
（2） 由轴、两点坐标相同） 推知，而是等腰三角形，，故错误；
（3） 如上图， 过点作、，由是等腰三角形得到：是的平分线，；
（4），其最大值为．
【解答】解： 将点代入抛物线与直线
解得：，，
设：点横坐标为，则、，
其它点坐标为、、，
则，则，
是等腰三角形 ．
、当过对称轴的直线时， 此时点、的坐标分别为，、，，
由勾股定理得：，而，
，
故本选项错误；
、轴、两点坐标相同） ，
，而是等腰三角形不是等边三角形，
，
不成立，
故本选项错误；

、如上图， 过点作、，
是等腰三角形，
是的平分线，
易证：，
而，
故本选项正确；
、，
，
，其最大值为，
故的最大值为，
故本选项错误 ．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数综合题， 涉及到一次函数图象上点的坐标特征， 二次函数图象上点的坐标特征， 抛物线与轴的交点， 以及等腰三角形、 平行线等几何知识， 是一道难度较大的题目 ．
15．（2019•市中区二模）已知抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点．如图所示以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点在外；
③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；
④直线与相切．
正确的结论是　　

A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【考点】：二次函数综合题
【专题】68：模型思想；64：几何直观
【分析】①根据抛物线的解析式即可判定；
②求得、的长进行比较即可判定，
③过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；
④求得直线、直线的解析式通过它们的斜率进行判定；
【解答】解：由抛物线可知：抛物线的对称轴，故①正确；
抛物线过点，
，解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，解得：或，
，；
，
，

，
，
，
点在圆上，故②错误；
过点作，交抛物线于，
，
代入得：，
解得：或，
，
，
四边形不是平行四边形，故③错误；
由抛物线可知：，
，
直线为，直线为：，
，
，
直线与相切，故④正确；
故选：．

【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．
16．（2020•南通模拟）抛物线的一部分图象如图，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为，若，则的正切值为　　

A． B． C． D．
【答案】
【考点】二次函数综合题
【专题】二次函数的应用
【分析】由对称轴可得点的坐标，由于点在轴上，所以可写出点的坐标，进而再由相似三角形对应边成比例求解点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：设点的坐标为，

抛物线对称轴为直线，
点的横坐标为，
，即，
．
，，
，
．
的正切值．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质以及抛物线的一些基础知识，能够在理解的基础上熟练解题．
17．（2020春•甘南县期中）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线的图象的顶点一定是原点；
②时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；
③的长度可以等于5；
④有可能成为等边三角形；
⑤当时，，其中正确的结论是　　

A．①② B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤
【考点】：二次函数综合题
【专题】66：运算能力；35：转化思想；537：函数的综合应用；16：压轴题
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数当的值随的的增大而增大，抛物线当大于0时的值随的的增大而增大，本选项正确；
③长不可能为5，由、的横坐标求出为5时，直线与轴平行，即，与已知矛盾；
④三角形不可能为等边三角形，因为与不可能相等；
⑤直线与关于轴对称，作出对称后的图象，故与抛物线交点横坐标分别为与2，找出一次函数图象在抛物线上方时的范围判断即可．
【解答】解：①抛物线，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为，本选项正确；
②根据图象得：直线为增函数；抛物线当时的值随的的增大而增大，则时，直线与抛物线函数值都随着的增大而增大，本选项正确；
③由、横坐标分别为，3，若，可得出直线与轴平行，即，
与已知矛盾，故不可能为5，本选项错误；
④若，得到直线与轴平行，即，与已知矛盾，
，即不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线与关于轴对称，如图所示：

可得出直线与抛物线交点、横坐标分别为，2，
由图象可得：当时，，即，
则正确的结论有①②⑤．
故选：．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．
18．（2019•宁阳县二模）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有　　个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】：二次函数综合题
【专题】68：模型思想；153：代数几何综合题
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为，即，可得与的关系；将、两点代入可得、的关系；函数开口向上，时取得最小值，则，可判断③；根据图象，顶点坐标，判断④；由图象知，从而可以判断⑤．
【解答】解：①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．
故①正确；

②二次函数与轴交于点、．
，．
又．
，．
，．
．
故②错误；

③抛物线开口向上，对称轴是．
时，二次函数有最小值．
时，．
即．
故③正确；

④，，是等腰直角三角形．
．
解得，．
设点坐标为．
则．
解得．
点在轴下方．
点为．
二次函数的顶点为，过点．
设二次函数解析式为．
．
解得．
故④正确；

⑤由图象可得，．
故是等腰三角形时，的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
19．（2019•南海区一模）点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为5，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是　　
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
【考点】：二次函数综合题
【专题】153：代数几何综合题；68：模型思想
【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定时，点的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断③错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出④正确．
【解答】解：点，的坐标分别为和，
线段与轴的交点坐标为，
又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
，（顶点在轴上时取“” ，故①错误；
抛物线的顶点在线段上运动，
当时，随的增大而增大，
因此，当时，随的增大而增大，故②正确；
若点的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线，
根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；
根据顶点坐标公式，，
令，则，
，
根据顶点坐标公式，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选：．

【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在轴上的情况．
20．（2018•桐梓县一模）如图，抛物线与轴于点、（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若四边形为矩形，则，应满足的关系式为　　

A． B． C． D．
【考点】：二次函数综合题
【专题】15：综合题；16：压轴题
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形，必须满足，即可求出．
【解答】解：令，得：．
．
令，得：，
，
，，，，
，．
要使平行四边形是矩形，必须满足，
．
，
．
，应满足关系式．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．

考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
3．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
4．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
5．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．