2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 62 word版含答案

考点测试62　离散型随机变量及其分布列

一、基础小题

1．已知离散型随机变量X的分布列为：

则k的值为(　　)

A.  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　由分布列的性质知k＝1.

2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)

A．0  B.  C.  D.

答案　C

解析　设失败率为p，则成功率为2p.

∴X的分布列为：

则“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，

∴由p＋2p＝1，得p＝，

即P(X＝0)＝.

3．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q等于(　　)

A．1  B．1±  C．1－  D．1＋

答案　C

解析　由分布列的性质知

∴q＝1－，故选C.

4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是(　　)

A．P(X＝2)  B．P(X≤2)  C．P(X＝4)  D．P(X≤4)

答案　C

解析　X服从超几何分布，故P(X＝k)＝，k＝4.

5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　用完后放回盒中，旧球为4个，说明取出来的三个球中有一个是新球，所以P(X＝4)＝＝，故选C.

6．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.

7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)

A．C102   B．C92

C．C92   D．C102

答案　D

解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C9·2＝C102.

8．随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.

答案　

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

又a＋b＋c＝1，

∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.

9．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

答案　－1,0,1,2,3

解析　X＝－1，甲抢到1题但答错了；

X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错；

X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对；

X＝2时，甲抢到2题均答对；

X＝3时，甲抢到3题均答对．

10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________ .

答案　

解析　女生人数服从超几何分布．

设所选女生人数为X，

则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，

则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.

二、高考小题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

三、模拟小题

11．若随机变量η的分布列为

则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(　　)

A．x≤2   B．1≤x≤2

C．1<x≤2   D．1<x<2

答案　C

解析　由随机变量η的分布列知：P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.

12．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，

∴＋＋＋＝1，

∴a＝，

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.

13．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.

答案　

解析　解法一：由已知得ξ的取值为7,8,9,10，

∵P(ξ＝7)＝＝，

P(ξ＝8)＝＝，

P(ξ＝9)＝＝，

P(ξ＝10)＝＝，

∴ξ的概率分布列为：

∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.

解法二：P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.

一、高考大题

1．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．

解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，

参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列为：

2．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得：1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为：

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．

可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

二、模拟大题

3．某校设计了一个实验考察方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成，考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲，乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；

(2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

解　(1)甲的分布列：

E(ξ)＝2.

乙的分布列：

E(η)＝2.

(2)因为P(ξ≥2)＝0.8，P(η≥2)＝，期望相等，说明水平相当，至少完成两题的概率是甲大，所以甲通过的可能性较大，即可以认为甲的实验操作能力较强．

4．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．

(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；

(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．

解　(1)由题意可知所选2人为“最佳组合”的概率为＝，则≥，

化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16.

(2)由题意得X的可能取值为0,1,2，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

X的分布列为：

5．随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组从某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄在随机将1,2，…，6，这6个连续正整数分成A，B两组，每组3个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2. 记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.

(1)求ξ的分布列；

(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)．

解　(1)ξ的所有可能取值为2,3,4,5.

将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20(种)，所以ξ的分布列为：

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为2,3,4.

又ξ和η恰好相等且等于2时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于3时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于4时，不同的分组方法有4种．

所以P(C)＝＝.

7．某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．

(1)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；

(2)若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列．

解　(1)根据茎叶图可知甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×＝4人．

记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则

P(A)＝1－＝，

故至少有一人来自甲部门的概率为.

(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

∴X的分布列为：

8．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；

(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列．

解　(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)，

故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．

因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，

所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．

记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.

由P(X＝k)＝，得

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

故所求Y的分布列为：