2018年高考考点完全题数学（理）专题突破练习题_（6） 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）专题突破练习题_（6） 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 word版含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题突破练(6)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)A.  B．p  C．2p  D．无法确定答案　C解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p.2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)A．4  B．6  C．8  D．9答案　D解析　注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．3．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则l一定过点(　　)A．(－3,0)  B．(3,0)  C．(－1,3)  D．(－2,0)答案　A解析　设直线l的方程为x＝my＋b，联立直线和抛物线的方程得整理得y2－2my－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y2＝－2b，y1＋y2＝2m，故x1x2＝(my1＋b)·(my2＋b)＝m2y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝－2bm2＋2bm2＋b2＝b2.因为k1k2＝＝＝，解得b＝－3，故l的横截距为定值－3，即l一定过点(－3,0)．4．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，即P，Q两点间的最大距离是(　　)A．5  B.＋  C．6  D．7＋答案　C解析　解法一：设Q(x，y)，－1≤y≤1.因为圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为T(0,6)，半径r＝，则|QT|＝＝＝≤5，当y＝－时取等号，所以|PQ|max＝5＋＝6.故选C.解法二：设Q(cosθ，sinθ)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则|MQ|＝ ＝＝＝≤5，故|PQ|max＝5＋＝6.5．已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(－2,0)，A2(2,0)，则有k1k2＝·＝＝＝－，因为－2≤k2≤－1，所以k1>0且－2≤－≤－1，即1≤≤2，解得≤k1≤.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k2＝－1，则直线PA2的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程并整理得7x2－16x＋4＝0，解得x1＝2，x2＝，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1＝＝.同理，令k2＝－2，可得k1＝.结合选项知，选项B正确．6．已知A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上的两动点，F为其焦点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|＝λ|AB|，则λ的最大值为(　　)A．1  B.  C.  D．2答案　A解析　过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BC∥AD，所以|MN|＝(|BC|＋|AD|)，又因为|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|，所以|MN|＝(|BF|＋|AF|)，又|MN|＝λ|AB|，所以2λ|AB|＝|AF|＋|BF|，两边平方得4λ2|AB|2＝|AF|2＋|BF|2＋2|AF||BF|，即4λ2＝.在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos60°，即|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|，所以4λ2＝，由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－|AF||BF|≥2|AF||BF|－|AF||BF|＝|AF||BF|，故|AB|2≥|AF||BF|，所以4λ2＝≤＝4，因为λ>0，所以0<λ≤1，故λ的最大值为1.故选A.二、填空题7．已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1，若AP的斜率为k且|k|∈，则实数m的取值范围是________．答案　∪解析　直线AP的方程为y＝k(x－1)，k≠0，即kx－y－k＝0，由＝1，得|m－1|＝.∵|k|∈，∴≤|m－1|≤2，解得m∈∪.8．过抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作与直线x＋2＝0相切的圆，这些圆必过一定点，则定点的坐标是________．答案　(2,0)解析　抛物线的焦点为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0，又抛物线上任意一点到F与到准线l的距离相等，所以这些圆一定过焦点F(2,0)．9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．答案　6解析　由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.三、解答题10．已知抛物线C：y2＝2px经过点M(2,2)，C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．(1)求线段ON的长；(2)设不经过点M和N的动直线l2：x＝my＋b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．解　(1)由抛物线C：y2＝2px经过点M(2,2)，得22＝4p，故p＝1，抛物线C的方程为y2＝2x.C在第一象限的图象对应的函数解析式为y＝，则y′＝ ，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y－2＝(x－2)．令y＝0，得x＝－2，所以点N的坐标为(－2,0)，故线段ON的长为2.(2)l2恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知直线l1的方程为x＝－2.因为l2与l1相交，所以m≠0.由l2：x＝my＋b，令x＝－2，得y＝－，故E.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x，得y2－2my－2b＝0，则y1＋y2＝2m，y1·y2＝－2b.直线MA的斜率为＝＝，同理，直线MB的斜率为，直线ME的斜率为.因为直线MA，ME，MB的斜率依次成等差数列，所以＋＝2×＝1＋，即＝1＋＝1＋，整理得＝.因为l2不经过点N，所以b≠－2，所以2m－b＋2＝2m，即b＝2，故l2的方程为x＝my＋2，即l2恒过定点(2,0)．11． 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，其离心率e＝，过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足＝λ，＝λ，其中λ为实数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ＝.(1)求椭圆E的方程；(2)当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．解　(1)因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，即a2＝c2，所以b2＝a2.因为C(a,0)，λ＝成立，所以由＝λ，得A，将其代入椭圆方程中，得＋＝1，解得a＝2，所以a＝2，b＝，所求椭圆E的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由＝λ，得同理将A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得，3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即3(x1＋x2)＋4(y1＋y2)kAB＝0.同理，3(x3＋x4)＋4(y3＋y4)kCD＝0.因为＝λ，＝λ，所以AB∥CD，所以kAB＝kCD，所以3(x3＋x4)＋4(y3＋y4)kAB＝0，所以3λ(x3＋x4)＋4λ(y3＋y4)kAB＝0，所以3(x1＋λx3＋x2＋λx4)＋4(y1＋λy3＋y2＋λy4)kAB＝0，即6(1＋λ)＋8(1＋λ)kAB＝0，所以kAB＝－为定值．12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N(2，m)为抛物线C上一点，且|NF|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交y轴于点M，且＝a，＝b，a，b∈R，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．解　(1)因为|NF|＝4，由抛物线的定义知xN＋＝4，即2＋＝4，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)显然直线l的斜率存在且一定不等于零，设其方程为x＝ty＋2(t≠0)，则直线l与y轴交点为M.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－8ty－16＝0，所以Δ＝(－8t)2－(－64)＝64(t2＋1)>0，y1＋y2＝8t，y1y2＝－16.由＝a，得＝a(2－x1，－y1)，所以a＝＝－＝－1－，同理可得b＝－1－，a＋b＝＋＝－2－＝－2＋＝－1.所以a＋b为定值－1.13． 在空间中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．(1)求双曲线Γ的方程；(2)在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．解　(1)如图，设O′为双曲线的中心，则轴l与平面α的距离为|OO′|＝2，A为双曲线的一个顶点，∠AOO′＝60°，所以|O′A|＝2.在轴l上取点C，使得|OC|＝4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D，E两点．设DE的中点为B，易知|CB|＝2，|CD|＝4，可得|BD|＝2，从而可知双曲线的实半轴长为2，且过点(2，4)．设双曲线的标准方程为－＝1，将点(2，4)代入方程得b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)证明：在条件(1)下，显然双曲线Γ的两切线PM，PN都不垂直x轴．设点P的坐标为(x0，y0)，令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y＝k(x－x0)＋y0，由消去y，得(k2－3)x2－2k(kx0－y0)x＋(kx0－y0)2－12＝0，由Δ＝0，化简得(x＋4)k2－2x0y0k＋(y－12)＝0.令PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝，由点P(x0，y0)在圆Γ′上，得x＋y＝8，得＝－1，∴k1k2＝－1.所以PM⊥PN，线段MN是圆Γ′的直径，为定值，|MN|＝4.14. 如图，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|＝，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，与x轴交于点M，且|PM|＝2|MQ|，求△OPQ的面积取得最大值时直线l的方程．解　(1)由已知条件，|P0F|＝＝＝，易知|P0F|＝，从而＝.又c＝|OF|＝，即a2－b2＝5，因此a2－a－5＝0，解得a＝3或a＝－，又因为a>0，故a＝3，从而b＝2.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m,0)，由题意知y1>0，y2<0，并可设直线l：x＝ty＋m(t≠0)，代入椭圆方程得＋＝1，即(4t2＋9)y2＋8tmy＋4(m2－9)＝0.由题意可知|m|<3，Δ>0，从而y1＋y2＝－，y1y2＝.由|PM|＝2|MQ|，得＝＝2，即y1＝－2y2，因此y2＝－(y1＋y2)＝，y1y2＝－2y，故＝－22，从而m2＝，所以S△OPQ＝|OM||y1－y2|＝|m||－3y2|＝＝＝≤3，当且仅当4|t|＝，即t＝±时，等式成立，此时m2＝＝5，所以m＝±.因为y2＝，且y2<0，所以tm<0，故满足题意的直线l的方程为x＝y－或x＝－y＋.