2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第七章　平面解析几何 50 word版含答案

考点测试50　两条直线的交点与距离公式

一、基础小题

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)

A．1   B. 

C．2   D.

答案　D

解析　由点到直线的距离公式得d＝＝.

2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)

A．x－2y－1＝0   B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y－2＝0   D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又经过(1,0)，故c＝－1，所求方程为x－2y－1＝0.

3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直⇔1＋1×(－a)＝0，所以选C.

4．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是(　　)

A．1   B. 

C．3   D．4

答案　B

解析　∵＝≠，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝＝.选B.

5．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)

A.   B．1 

C．2   D．3

答案　B

解析　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1，故|PM|的最小值为1.选B.

6．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0   B．3x＋y－6＝0

C．3x－y＋6＝0   D．x－3y－2＝0

答案　B

解析　设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，则k′＝tan＝＝－3，对比四个选项可知选B.

7．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　　)

A．－4   B．－2 

C．0   D．2

答案　B

解析　由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故选B.

8．已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为(　　)

A.   B. 

C．2   D．2

答案　A

解析　表示点(x，y)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝＝.

9．已知直线l过点M(3,4)，且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)

A．2x＋3y－18＝0

B．2x－y－2＝0

C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0

D．2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0

答案　D

解析　易知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.

由已知得＝，解得k＝2或k＝－，故直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.

10．设A，B是x轴上的两点，点M的横坐标为3，且|MA|＝|MB|，若直线MA的方程为x－y＋1＝0，则直线MB的方程是(　　)

A．x＋y－7＝0   B．x－y＋7＝0

C．x－2y＋1＝0   D．x＋2y－1＝0

答案　A

解析　解法一：由|MA|＝|MB|知，点M在A，B的垂直平分线上．由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)．由题意，知直线MA，MB关于直线x＝3对称，故直线MA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线MB上，∴直线MB的方程为x＋y－7＝0.选A.

解法二：由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四个选项可知只有3＋4－7＝0满足题意，选A.

11．已知点A(3,1)，在直线y＝x和y＝0上分别找一点M和N，使△AMN的周长最短，则最短周长为(　　)

A．4   B．2 

C．2   D．2

答案　B

解析　设点A关于直线y＝x的对称点为B(x1，y1)，依题意可得

解得即B(1,3)，同样可得点A关于y＝0的对称点C(3，－1)，如图所示，则|AM|＋|AN|＋|MN|＝|BM|＋|CN|＋|MN|≥|BC|，当且仅当B，M，N，C共线时，△AMN的周长最短，即|BC|＝＝2.选B.

12．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线的一般式方程为________．

答案　x－3y＝0

解析　两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以所求直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.

二、高考小题

13．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)

A．－   B．－ 

C.   D．2

答案　A

解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A.

14．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A．－或－   B．－或－

C．－或－   D．－或－

答案　D

解析　如图，作出点P(－2，－3)关于y轴的对称点P0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P0.故设反射光线为y＝k(x－2)－3，即kx－y－2k－3＝0.∴圆心到直线的距离d＝＝1，解得k＝－或k＝－.

15．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0

答案　A

解析　设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，

因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为，

所以＝，|m|＝5.

故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.

16．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．

答案　

解析　圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(2，－1)，半径r＝2，圆心C到直线x＋2y－3＝0的距离为d＝＝，

所求弦长l＝2＝2 ＝.

17．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.

答案　4±

解析　由△ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为，即(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝，即a2－8a＋1＝0，可求得a＝4±.

三、模拟小题

18．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．x＋2y＋3＝0   B．2x＋y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0   D．2x－y＋3＝0

答案　C

解析　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．又A(2，0)，B(0,4)，所以AB的中点为(1,2)，kAB＝－2.故AB的中垂线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，应选C.

19．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)

A．无论k、P1、P2如何，总是无解

B．无论k、P1、P2如何，总有唯一解

C．存在k、P1、P2，使之恰有两解

D．存在k、P1、P2，使之有无穷多解

答案　B

解析　由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1、P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则与不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组一定有唯一解．

20．“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　若点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，则有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.

21．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．

答案　

解析　设直线l：ax＋by＋c＝0，依题意可得l1：a(x－3)＋b(y－5)＋c＝0，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位得直线l：a(x－4)＋b(y－3)＋c＝0，故a＝－b，则直线l与直线l1的距离d＝＝＝＝.

22．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．

答案　6x－y－6＝0

解析　设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

23．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0＋2，则的取值范围是________．

答案　∪(0，＋∞)

解析　依题意可得＝，化为x0＋3y0＋2＝0，又y0<x0＋2，设＝kOM，

如图当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM>0，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM<－.所以的取值范围是∪(0，＋∞)．

24．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．

答案　5

解析　∵f(x)＝＋＝

＋，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．

要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型．

二、模拟大题

1．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.

(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，

解得λ＝2或λ＝.

∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)由

解得交点P(2,1)．

如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

∴dmax＝|PA|＝.

2．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．

(1)若l1∥l2，求b的取值范围；

(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．

解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，

即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，

因为a2≥0，所以b≤0.

又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.

故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．

(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.