2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 64 word版含答案

考点测试64　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、基础小题

1．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为(　　)

A．4  B．6  C．8  D．10

答案　A

解析　x＝0与x＝a－2关于x＝1对称，则a－2＝2，a＝4.

2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由题意，一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B，所以E(X)＝.故选C.

3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)

A．100  B．200  C．300  D．400

答案　B

解析　种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.

4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是(　　)

A．6和2.4  B．2和2.4  C．2和5.6  D．6和5.6

答案　B

解析　由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(　　)

A．2  B．1  C．3  D．4

答案　C

解析　ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.

所以，ξ的分布列为：

于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，

故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.

6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：

那么，此人应该选择经营________种商品．

答案　甲

解析　设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X，Y，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E(Y)＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E(X)>E(Y)，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．

7．随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ<30)＝0.2，则P(30<ξ<50)＝________.

答案　0.6

解析　根据正态分布曲线的对称性，可得

P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.

8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

则该公司一年后估计可获收益的期望是________．

答案　4760元

解析　由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．

二、高考小题

9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.)

A．2386  B．2718  C．3413  D．4772

答案　C

解析　由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线，所以P(－1<X<1)＝0.6826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X<1)＝0.3413，即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P＝＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.

10．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

答案　C

解析　由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2>μ1.

∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；

由图象知σ1<σ2且均为正数，

∴P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；

对任意正数t，由题中图象知P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确，D错．

11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．

(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；

(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．

则(　　)

A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)  B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)

C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)  D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)

答案　A

解析　取m＝3，n＝3，则p1＝×1＋×＝＝，p2＝×1＋×＋×＝＋×＋×＝＝，

∴p1>p2.

ξ1的分布列为：

∴E(ξ1)＝1×＋2×＝；

ξ2的分布列为：

∴E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝2，

∴E(ξ1)<E(ξ2)，故选A.

12．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．

答案　0.1

解析　＝＝5.1，

则该组数据的方差

s2＝＝0.1.

13．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

答案　

解析　设ξ＝1时的概率为p，则E(ξ)＝0×＋1×p＋2＝1，解得p＝.

故D(ξ )＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.

三、模拟小题

14．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝(　　)

A．0.85  B．0.70  C．0.35  D．0.15

答案　C

解析　P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ>2)＝0.35.故选C.

15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ 的数学期望E(ξ)为(　　)

A.  B.  C．2  D.

答案　A

解析　由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，故答案为A.

16．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为(　　)

(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)

A．17  B．23  C．34  D．46

答案　B

解析　P(ξ>320)＝×＝×(1－95.44%)＝0.0228，

∴用电量在320度以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23，故选B.

17．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X～N(100，a2)(a>0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为(　　)

A．400  B．500  C．600  D．800

答案　A

解析　P(X<90)＝P(X>110)＝，P(90≤X≤110)＝1－×2＝，P(100≤X≤110)＝，1000×＝400.故选A.

18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如：若a1＝a3＝a5＝1，a2＝a4＝0，则A＝10101)，其中二进制数A的各位数中，已知a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，现在仪器启动一次，则E(X)＝(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　解法一：X的所有可能取值为1,2,3,4,5，P(X＝1)＝C40＝，P(X＝2)＝C31＝，P(X＝3)＝C22＝，P(X＝4)＝C13＝，P(X＝5)＝C04＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

解法二：由题意，X的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y＝X－1，则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y～B，所以E(Y)＝4×＝，从而E(X)＝E(Y＋1)＝E(Y)＋1＝＋1＝.

一、高考大题

1．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．

解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)

＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)·P(C)P()

＝×××＋2×

＝.

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.

由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝，

P(X＝1)＝2×

＝＝，

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，

P(X＝3)＝×××＋×××＝

＝，

P(X＝4)＝2×

＝＝，

P(X＝6)＝×××＝＝.

可得随机变量X的分布列为：

所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.

2．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．

解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，

P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.

故X的分布列为：

E(X)＝200×＋300×＋400×＝350(元)．

二、模拟大题

3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．

(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．

解　(1)设“甲恰得一个红包”为事件A，则P(A)＝C××＝.

(2)X的所有可能值为0,5,10,15,20.

P(X＝0)＝2×＝，

P(X＝5)＝C××2＝，

P(X＝10)＝2×＋2×＝，

P(X＝15)＝C×2×＝，

P(X＝20)＝3＝.

X的分布列：

E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝(元)．

4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.

(1)求p0的值；

(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

解　(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，

故μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544，

由正态分布的对称性，得

p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.9772.

(2)设A型车、B型车的数量分别为x，y，则

相应的营运成本为1600x＋2400y.

依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7及P(X≤36x＋60y)≥p0.

由(1)知，p0＝P(X≤900)，

故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.

于是问题等价于求满足约束条件

使目标函数z＝1600x＋2400y达到最小的x，y.作可行域如图所示，

可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)

由图可知，当直线z＝1600x＋2400y过点P时在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．

5．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：

(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；

(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元. 在(1)的前提下：

①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．

解　(1)甲种产品为合格品的概率约为＝，乙种产品为合格品的概率约为＝.

(2)①随机变量X的所有取值为190,85,70，－35，

且P(X＝190)＝×＝，P(X＝85)＝×＝，P(X＝70)＝×＝，P(X＝－35)＝×＝.

所以随机变量X的分布列为：

所以E(X)＝＋＋－＝125(元)．

②设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5－n)件，

依题意得，90n－15(5－n)≥300，解得n≥，取n＝4或n＝5，

设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A，

则P(A)＝C4＋5＝.

6．某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A商品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品)．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x＋y＝70)

(1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？

(2)若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．

解　(1)设事件B为“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”，则P(B)＝＝.

(2)设销售A商品获得的利润为ξ(单位：元)，

依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，

则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件．

当购进A商品4件时，E(ξ)＝150×4＝600，

当购进A商品5件时，E(ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，

当购进A商品6件时，E(ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×＋150×6×＝780－2x，

由题意780－2x≤690，解得x≥45，又知x≤100－30＝70，

所以x的取值范围为，x∈N*.