2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 58 word版含答案

考点测试58　二项式定理

一、基础小题

1.4的展开式中的常数项为(　　)

A．－24  B．－6  C．6  D．24

答案　D

解析　二项展开式的通项Tr＋1＝C(2x)4－rr＝C24－r(－1)r·x4－2r，

令4－2r＝0，即r＝2，故常数项为C22(－1)2＝24.

2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)

A．6  B．10  C．12  D．15

答案　C

解析　二项式n的展开式的第5项为

T5＝C()n－4·4，故－4＝0，即n＝12.

3．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝(　　)

A．9  B．10  C．－9  D．－10

答案　D

解析　x3＋x10＝x3＋10，题中a9只是10的展开式中(x＋1)9的系数，故a9＝C(－1)1＝－10.

4．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　　)

A．－4  B．－2  C．2  D．4

答案　C

解析　(1＋2)3的展开式中常数项是1，含x的项是C(2)2＝12x；(1－)5的展开式中常数项是1，含x的项是C(－)3＝－10x，故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.

5.(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　　)

A．－20  B．－10  C．10  D．20

答案　C

解析　令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以(2x－1)5＝(2x－1)5，则展开式中常数项为2C(－1)4＝10.

6．若n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)

A．180  B．120  C．90  D．45

答案　A

解析　由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n＝10，Tr＋1＝Cr·()10－r＝C2rx，令＝0，得r＝2，故常数项是C22＝180.

7．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a0和a1的值分别为(　　)

A．32,80  B．32,40  C．16,20  D．16,10

答案　A

解析　由于x＋1＝x－1＋2，

因此(x＋1)5＝5，故展开式中(x－1)的系数为a1＝C24＝80.令x＝1，得a0＝32，故选A.

8．已知n(n∈N*)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由题意知C＋C＋C＝56，∴n＝10，∴Tr＋1＝C(x2)10－r·r＝Crx，令20－＝0，得r＝8，∴常数项为C×8＝，故选A.

9.n的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________．

答案　－20

解析　展开式中，各项系数的和为4n，二项式系数的和为2n，由题知2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－C＝－20.

10．1＋3C＋9C＋…＋3nC＝________.

答案　4n

解析　在二项展开式(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxn中，令x＝3，得(1＋3)n＝C＋C3＋C32＋…＋C3n，即1＋3C＋9C＋…＋3nC＝4n.

11.6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．

答案　－160

解析　∵6＝6＝，

又∵(2x－1)6的展开式的通项公式为

Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3.

∴T3＋1＝－C(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3，

∴6的二项展开式中的常数项为－160.

12．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．

答案　－210

解析　(x2－x＋1)10＝10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－C(x2)(x－1)9＋C(x－1)10，所以x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210.

二、高考小题

13．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10  B．20  C．30  D．60

答案　C

解析　由于(x2＋x＋y)5＝5，其展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr(r＝0,1,2，…，5)，因此只有当r＝2，即T3＝C(x2＋x)3y2中才能含有x5y2项．设(x2＋x)3的展开式的通项为Si＋1＝C(x2)3－i·xi＝Cx6－i(i＝0,1,2,3)，令6－i＝5，得i＝1，则(x2＋x)3的展开式中x5项的系数是C＝3，故(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数是C·3＝10×3＝30.

14．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)

A.  B．－  C．6  D．－6

答案　D

解析　展开式的通项为Tr＋1＝C·()5－r·r＝(－1)rCar·x (r＝0,1,2，…，5)．令－r＝，得r＝1，所以展开式中含x项的系数为(－1)C·a，于是－5a＝30，解得a＝－6.

15．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)

A．45  B．60  C．120  D．210

答案　C

解析　在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3,0)＝C＝20，f(2,1)＝C·C＝60，f(1,2)＝C·C＝36，f(0,3)＝C＝4，故选C.

16．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________(用数字填写答案)．

答案　10

解析　Tr＋1＝C(2x)5－r·()r＝25－rC·x，令5－＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10.

17．若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.

答案　－2

解析　Tr＋1＝a5－rCx，令10－r＝5，解之得r＝2，所以a3C＝－80，a＝－2.

18．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.

答案　3

解析　解法一：∵(1＋x)4＝x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋Cx0＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1，

∴(a＋x)(1＋x)4的奇数次幂项的系数为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，∴a＝3.

解法二：设(a＋x)(1＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5.

令x＝1，得16(a＋1)＝b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5，①

令x＝－1，得0＝b0－b1＋b2－b3＋b4－b5，②

由①－②，得16(a＋1)＝2(b1＋b3＋b5)，

即8(a＋1)＝32，解得a＝3.

三、模拟小题

19．(x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数为(　　)

A．－100  B．－15  C．35  D．220

答案　A

解析　由二项式定理可得(x－2)6展开式的通项Tr＋1＝C(－2)rx6－r，∴x3的系数为C(－2)3＝－160，x4的系数为C(－2)2＝60，∴(x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数为－160＋60＝－100.

20．6的展开式中，常数项是(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为4C＝.故选D.

答案　B

解析　

22．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________________ _______________________________________________________．

答案　56

解析　因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kk＝Cx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.

23．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)

A．－20  B．0  C．1  D．20

答案　D

解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.

24．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)

A．－1  B．1  C．－87  D．87

答案　B

解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

25．从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是(　　)

A．(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x11)

B．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)

C．(1＋x)(1＋2x2)(1＋3x3)…(1＋11x11)

D．(1＋x)(1＋x＋x2)(1＋x＋x2＋x3)…(1＋x＋x2＋…＋x11)

答案　A

解析　x9是由x，x2，x3，x4，x5，…，x11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x2)(1＋x3)…(1＋x11)的展开式中x9的系数，选A.

26．在10的展开式中，含x2项的系数为(　　)

A．10  B．30  C．45  D．120

答案　C

解析　因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.故选C.

27．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是(　　)

A．68y7  B．112x3y4  C．672x2y5  D．1344x2y5

答案　C

解析　设第r＋1项系数最大，

则有

即

即解得

又∵r∈Z，∴r＝5，∴系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.

28．若n展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．

答案　－15

解析　Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，因为展开式的各项系数绝对值之和为C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋|(－3)nC|＝1024，所以(1＋3)n＝1024，解得n＝5，令＝1，解得r＝1，所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.

29．将3展开后，常数项是________．

答案　－160

解析　3＝6展开后的通项是C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.

令6－2k＝0，得k＝3.

所以常数项是C(－2)3＝－160.

30．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．

答案　32

解析　对于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝8mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.

本考点在近三年高考中未涉及此题型．