2018年高考考点完全题数学（理）习题 单元质量测试7 word版含答案

这是一份2018年高考考点完全题数学（理）习题 单元质量测试7 word版含答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元质量测试(七)　　时间：120分钟　　　满分：150分第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线3x＋y－1＝0的倾斜角大小为(　　)A．30°  B．60°  C．120°  D．150°答案　C解析　∵k＝－＝－，∴α＝120°.2．“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由a＝2得两直线斜率满足(－2)×＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－a)×＝－1，解得a＝±2，故选A.3．圆锥曲线＋＝1的焦距是(　　)A．3   B．6C．3或    D．6或2答案　B解析　当m2－4>0，则方程的曲线为椭圆，a2＝m2＋5，b2＝m2－4，从而c2＝a2－b2＝9，∴椭圆的焦距为2c＝6；当m2－4<0，则方程的曲线为双曲线，其中a2＝m2＋5，b2＝4－m2，从而c2＝a2＋b2＝9，∴双曲线的焦距也是6.故正确选项为B.4．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．至多一个  B．2  C．1  D．0答案　B解析　由直线和圆没有交点可得：>2，整理得m2＋n2<4，故点P(m，n)必在椭圆内，于是过点P的直线与椭圆必有两个交点．5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)A.－＝1   B.－＝1C.－＝1   D.－＝1答案　C解析　以F1，F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，又因为点(3,4)在圆上，所以32＋42＝c2，所以c＝5，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a2＋b2＝c2＝25，解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.6．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)A.  B．2  C．6  D．4答案　D解析　双曲线x2－＝1的右焦点为F(2,0)，其渐近线方程为x±y＝0.不妨设A(2,2)，B(2，－2)，所以|AB|＝4，故选D.7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则弦AB的中点M到抛物线准线的距离为(　　)A.  B.  C．2  D．3答案　B解析　由题设可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.又由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.8．F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右两个焦点，P是右支上的动点，过F2作∠F1PF2平分线的垂线，交PF1于M，交角平分线于Q，则Q点轨迹是(　　)A．圆  B．椭圆  C．双曲线  D．抛物线答案　A解析　∵PQ是∠F1PF2的平分线且PQ⊥MF2，∴|PM|＝|PF2|，且Q是MF2的中点．∴|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PM|＝|MF1|＝2a.∴|OQ|＝a，∴选A.9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为(　　)A．x＝－1或4x＋3y－4＝0B．x＝－1或4x－3y＋4＝0C．x＝1或4x－3y＋4＝0D．x＝1或4x＋3y－4＝0答案　B解析　当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，则圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，此时直线l的方程为y＝(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.10．椭圆 ＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　)A．7倍  B．5倍  C．4倍  D．3倍答案　A解析　由题设知F1(－3,0)，F2(3,0)，如图，∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P(3，b)，把P(3，b)代入椭圆＋＝1，得b2＝.∴|PF1|＝ ＝，|PF2|＝ ＝.∴＝＝7.故选A.11．过曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1作曲线C2：x2＋y2＝a2的切线，设切点为M，直线F1M交曲线C3：y2＝2px(p>0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为(　　)A.  B.－1  C.＋1  D.答案　D解析　设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为(c,0)．由题意知F2也是C3的焦点，所以C3：y2＝4cx.连接OM，NF2，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2.因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a.又NF2⊥NF1，|F1F2|＝2c，所以|NF1|＝2b.设N(x，y)，则由抛物线的定义可得|NF2|＝x＋c＝2a，所以x＝2a－c.过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a，由y2＋4a2＝4b2，即4c(2a－c)＋4a2＝4(c2－a2)，得e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)，故选D.12．已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　抛物线C：y2＝4x的准线为l：x＝－1，直线y＝k(x＋1)(k>0)恒过定点P(－1,0)．如图，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N.由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为，故点B的坐标为，P(－1,0)．∴k＝＝.第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________．答案　解析　因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3.14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．答案　解析　由题意设F(c,0)，相应的渐近线方程为y＝x，根据题意得kPF＝－，设P，代入kPF＝－得x＝，则P，则线段PF的中点为，代入双曲线方程得2－2＝1，即2－2＝1，∴e2＝2，∴e＝.15．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案　x＝－2解析　将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立解得x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由解得|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.16．设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，则k的值为________．答案　或解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.由＝6，知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝.由D在直线AB上，知x0＋2kx0＝2，x0＝，所以＝，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝时，求点M的坐标．解　(1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2.由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a＝，c＝1，b＝1，曲线Γ的方程为＋y2＝1.(2)由cos∠BAP＝，|AP|＝2， 得P.于是直线AP方程为y＝(x＋1)．由解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.18．(本小题满分12分) 如图，BC是半圆的直径，O是圆心，OA是与BC垂直的圆的半径，P为半圆上一点(P与A、B、C不重合)．过P向BC作垂线，垂足为Q，OP和AQ的交点为M.试问：当P移动时，M的轨迹是怎样的曲线？说明理由．解　如图，过A作BC的平行线l，分别过P、M作l的垂线，垂足为G、H.设圆的半径长为r，则|OP|＝|QG|＝r.∵QP∥OA∥MH，∴＝，＝，∴＝，∴|OM|＝|MH|，∴M在以O为焦点、以l为准线的抛物线上．∵P与A、B、C不重合，∴M不在OA、BC上．∴M必在圆的内部，∴M的轨迹是以O为焦点、以l为准线的抛物线(去掉抛物线的顶点)在圆内的部分，如图所示．19．(本小题满分12分)已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x－y－1＝0.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1＋y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．解　(1)设点P，由x2＝2py得y＝，所以求导y′＝.因为直线的斜率为1，所以＝1且x0－－1＝0，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.(2)设线段AB的中点M(x0，y0)，则x0＝，y0＝，kAB＝＝＝(x1＋x2)＝，所以直线l的方程为y－2＝－(x－x0)，即2x＋x0(－4＋y)＝0，所以l过定点(0,4)．联立⇒x2－2xx0＋2x－8＝0，得Δ＝4x－4(2x－8)>0⇒－2<x0<2，|AB|＝|x1－x2|＝＝，设C(0,4)到AB的距离d＝|CM|＝，所以S△ABC＝|AB|·d＝＝≤＝8，当且仅当x＋4＝16－2x，即x0＝±2时取等号，此时S△ABC的最大值为8.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．解　(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x，设点P的横坐标为xP，由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．21. (本小题满分12分)已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左顶点A在圆O：x2＋y2＝16上．(1)求椭圆W的方程；(2)若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q，则是否存在点P，使得＝3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)因为椭圆W的左顶点A在圆O：x2＋y2＝16上，令y＝0，得x＝±4，所以a＝4.又离心率为，所以e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝4，所以椭圆W的方程为＋＝1.(2)不存在点P满足题意．理由如下：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设直线AP的方程为y＝k(x＋4)，与椭圆方程联立得化简得(1＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－16＝0.因为－4为方程的一个根，所以x1＋(－4)＝，所以x1＝，所以|AP|＝.因为圆心到直线AP的距离为d＝，所以|AQ|＝2＝2＝.因为＝＝－1，代入得到＝－1＝－1＝＝3－.显然3－≠3，所以不存在点P，使得＝3.22．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2.求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解　(1)由题意知＝，可得a＝2b.因为抛物线E的焦点F的坐标为，所以b＝，a＝1.所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.(2)①证明：设P(m>0)．由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m.因此直线l方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0，由Δ>0，得0<m<(或0<m2<2＋)，(*)且x1＋x2＝，因此x0＝，将其代入y＝mx－，得y0＝.因为＝－，所以直线OD方程为y＝－x.联立得点M的纵坐标yM＝－，所以点M在定直线y＝－上．②由①知直线l方程为y＝mx－.令x＝0，得y＝－，所以G.又P，F，D，所以S1＝·|GF|·m＝，S2＝·|PM|·|m－x0|＝××＝.所以＝.设t＝2m2＋1.则＝＝＝－＋＋2，当＝，即t＝2时，取到最大值，此时m＝，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.