2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章　概率与统计 57 word版含答案

考点测试57　排列与组合

一、基础小题

1．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是(　　)

A．CCCAA   B．AAAA

C．CCCA   D．CCC

答案　C

解析　(分组分配法)将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有CCC种，再分配司机有A种，故共有方案数CCCA种．

2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有(　　)

A．30种  B．90种  C．180种  D．270种

答案　B

解析　由每班至少1名，最多2名，知分配名额为1,2,2，∴分配方案有C··A＝90(种)．故选B.

3．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　　)

A．12种  B．18种  C．36种  D．54种

答案　B

解析　先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有·A种，故共有C·C＝18(种)．

4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)

A．12种  B．18种  C．24种  D．36种

答案　A

解析　先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．

因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．

5．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是(　　)

A．48  B．44  C．36  D．24

答案　B

解析　分四类：第一类，4人全选乙题则有C种；第二类，1人选甲题3人选乙题，则有C·2种；第三类，2人选甲题2人选乙题，则有C·2·2种；第四类，4人选甲题，则有C种，则这4位同学不同得分情况种数为C＋C·2＋C·2·2＋C＝44，故选B.

6．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数A.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件A，则事件A包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有A种；当甲值周三时，有A种；当甲值周四时，有2A种，当甲值周五时，有3A种．所以事件A包含的基本事件数n(A)＝A＋A＋2A＋3A＝7A，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝，故选B.

7．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)

A．1800  B．3600  C．4320  D．5040

答案　B

解析　两个舞蹈节目不连排，可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种排法，再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去，由分步计数原理，有A·A＝3600(种)，故选B.

8．一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，则总分不小于7分的取法有(　　)

A．174种  B．186种  C．188种  D．192种

答案　B

解析　设取x个红球，y个白球，于是其中于是或或因此所求的取法数是CC＋CC＋CC＝186.

9．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的顺序经过A，B两城市(A，B两城市可以不相邻)，则不同的游览线路有(　　)

A．120种  B．240种  C．480种  D．600种

答案　D

解析　已知A，B必选，则从剩下的5个城市中再选取3个，有C种情况，此时5个城市已确定，将其全排列共有A种情况，又A，B顺序一定，则根据分步乘法计数原理，得不同的游览线路有＝600(种)，故选D.

10．从6名男生和4名女生中选出3人参加某个竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选择方法共有________种．

答案　96

解析　∵这3人中必须既有男生又有女生的选法有两种：2男1女或1男2女，∴不同的选法共有CC＋CC＝15×4＋6×6＝96(种)．

11．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．

答案　336

解析　甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，共有73＝343(种)站法，当三个人同时站到同一个台阶的站法有7种，故若每级台阶最多站2人，有343－7＝336(种)站法．

12．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)

答案　240

解析　假设4个路口分别为A，B，C，D，如果A路口有2人，则共有C·C·C·C种选派方法，同理若B，C，D路口有2人，则每种情况共有C·C·C·C种选派方法，故总的选派方法有4C·C·C·C＝240(种)．

二、高考小题

13．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24  B．48  C．60  D．72

答案　D

解析　奇数的个数为CA＝72.

14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种      B．216种  C．240种   D．288种

答案　B

解析　若最左端排甲，其他位置共有A＝120(种)排法；若最左端排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置有A＝24种排法，所以共有120＋4×24＝216(种)排法．

15．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A．72      B．120  C．144      D．168

答案　B

解析　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A·A·A＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．

16．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)

A．24对      B．30对  C．48对      D．60对

答案　C

解析　利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，

它们的棱是原正方体的12条面对角线．

一个正四面体中两条棱成60°角的有(C－3)对，两个正四面体有(C－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C－3)×2×2＝48(对)．故选C.

17．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个  B．16个  C．14个  D．12个

答案　C

解析　当m＝4时，数列{an}共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)，故选C.

18．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

答案　36

解析　记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36(种)不同的摆法．

三、模拟小题

19．已知函数f(x)＝ln (x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为(　　)

A．8  B．9  C．26  D．27

答案　B

解析　由题意可知当ln (x2＋1)＝0时，x＝0；当ln (x2＋1)＝1时，x＝±；当ln(x2＋1)＝2时，x＝±，所以定义域取值即在这5个元素中选取．①当定义域有3个元素时，满足条件的个数为CCC＝4；②当定义域中有4个元素时，满足条件的个数为CC＝4；③当定义域中有5个元素时，满足条件的个数为1.所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．

20．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有(　　)

A．16种  B．18种  C．24种  D．32种

答案　C

解析　将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A＝24(种)不同的停放方法，故选C.

21．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　)

A．60种  B．48种  C．30种  D．24种

答案　B

解析　由题知，不同的座次有AA＝48(种)，故选B.

22．给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻边的颜色相同，则不同的染色方法有(　　)

A．18种  B．24种  C．30种  D．32种

答案　C

解析　通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次．染五条边总体分两步．第一步选一色染1次有CC种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2CC＝30(种)染法．故选C.

23．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)

A．12种  B．24种  C．48种  D．120种

答案　B

解析　甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．

24．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有(　　)

A．A×A种  B．A×54种

C．C×A种   D．C×54种

答案　D

解析　有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种，故选D.

25．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(　　)

A．240种  B．180种  C．150种  D．540种

答案　C

解析　5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90(种)方法，当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60(种)方法，根据分类计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法．

26．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

(1)恰有1个盒内放2个球，其放法有________种；

(2)恰有2个盒内不放球，其放法有________种．

答案　(1)144　(2)84

解析　(1)“恰有1个盒内放2个球”，即另外3个盒内放剩下的2个球，而每个盒内至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒，因此，“恰有1个盒内放2个球”，即“恰有1个盒内不放球”，故有CCA＝144(种)放法．

(2)先从4个盒子中任意拿走2个，有C种方法，问题转化为“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”．从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C·C＝8种放法；第2类，有C＝6种放法．因此共有8＋6＝14(种)放法．由分步乘法计数原理得，“恰有2个盒内不放球”的放法有C×14＝84(种)．

27．摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答)．

答案　20

解析　先从5位小朋友中选取2位，让他们位置不变，其余3位都改变自己的位置，即3人不在其位，共有方案种数为N＝C·C·C·C＝20.

28．在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男

生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．

答案　60

解析　不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排 法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.

29．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．

答案　120

解析　由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有AA＝144(种)，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2、5、6号位处，且5、6号位只能放一个偶数，因此偶数的可能性有2×2种，其余的奇数放在1、3、5(或6)号位处，共有A＝6(种)，共有2×2×6＝24(种)，因此符合题意的六位数共有144－24＝120(个)．

30．20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．

答案　120

解析　先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120(种)方法．

本考点在近三年高考中未涉及此题型．