2021学年1.2 应用举例第1课时课后测评

这是一份2021学年1.2 应用举例第1课时课后测评，共7页。

[A组 学业达标]
1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12米 B．8米
C．3eq \r(3) 米 D．4eq \r(3) 米
解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，
∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝42＋42－2×4×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝48，
∴AB＝4eq \r(3)米．
答案：D
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是( )
A．a km B．eq \r(2)a km
C.eq \r(3)a km D．2a km
解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∵AC＝BC＝a，
∴由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 120°＝a2＋a2－2a2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝3a2，
∴AB＝eq \r(3)a(km)，
即灯塔A与灯塔B的距离为eq \r(3)a km.
答案：C
3．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为( )
A.eq \r(3) km B．eq \r(2) km
C．1.5 km D．2 km
解析：根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C，
∴AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BCcs 120°)
＝eq \r(1＋1＋2×1×1×\f(1,2))＝eq \r(3)(km)．故选A.
答案：A
4.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(eq \r(6)＋eq \r(2))海里每小时
B．20(eq \r(6)－eq \r(2))海里每小时
C．20(eq \r(6)＋eq \r(3))海里每小时
D．20(eq \r(6)－eq \r(3))海里每小时
解析：由正弦定理得eq \f(MN,sin 30°)＝eq \f(20,sin 105°)，所以MN＝10(eq \r(6)－eq \r(2))海里，速度为
20(eq \r(6)－eq \r(2))海里每小时．
答案：B
5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )
A．5 m B．10 m
C．10eq \r(2) m D．10eq \r(3) m
解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m.
在△BAB′中，由正弦定理，得
BB′＝eq \f(ABsin 45°,sin 30°)＝eq \f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq \r(2)(m)．
所以坡底要延长10eq \r(2) m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
答案：C
6．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________ m.
解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝eq \f(1 000\r(3),3) m.
答案：eq \f(1 000\r(3),3)
7．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的南偏东70°处，那么B，C两点的距离是________海里．
解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝eq \f(AB,sin 45°)×sin 30°＝10eq \r(2).
答案：10eq \r(2)
8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq \r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3eq \r(3)×2×cs 150°＝49，AC＝7.
则A，C两地距离为7 km.
答案：7
9.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？
解析：由题意，在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°；
由正弦定理得
BC＝eq \f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC
＝eq \f(30,sin 15°)·sin 30°＝eq \f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))
＝15(eq \r(6)＋eq \r(2))．
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BDC中，CD＝eq \f(\r(2),2)BC＝15(eq \r(3)＋1)＞38.
所以此船无触礁的危险．
10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进eq \r(30) km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
解析：依题意得，CD＝eq \r(30)(km)，
∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，
∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理得
BC＝eq \f(DCsin∠BDC,sin∠DBC)＝eq \f(\r(30)sin 30°,sin 120°)＝eq \r(10)(km)．
在△ADC中，由正弦定理得
AC＝eq \f(DCsin∠ADC,sin∠DAC)＝eq \f(\r(30)sin 60°,sin 45°)＝3eq \r(5)(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB
＝(3eq \r(5))2＋(eq \r(10))2－2×3eq \r(5)×eq \r(10)cs 45°＝25.
所以AB＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.
[B组 能力提升]
11．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．10米 B．100米
C．30米 D．20米
解析：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为30°，连接BC，BD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
可得BC＝AB＝30米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
可得BD＝eq \r(3)AB＝30eq \r(3)米，
在△BCD中，BC＝30米，BD＝30eq \r(3)米，∠CBD＝30°，
由余弦定理可得：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcs 30°＝900，
∴CD＝30(负值舍去)．
答案：C
12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(3)＋1) m
解析：如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，
所以CD＝AD·tan 60°＝60eq \r(3)(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－eq \r(3))(m)．
所以BC＝CD－BD＝60eq \r(3)－60(2－eq \r(3))
＝120(eq \r(3)－1)(m)．故选C.
答案：C
13．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．
解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcs 120°＝28x2－20x＋100
＝28(x2－eq \f(5,7)x)＋100＝28eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,14)))2－eq \f(25,7)＋100
∴当x＝eq \f(5,14)(小时)＝eq \f(150,7)(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．
答案：eq \f(150,7)分钟
14．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x＝________.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝eq \f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)
＝eq \f(10×sin 45°,sin 60°)＝eq \f(10\r(6),3)(cm)．即x的值为eq \f(10\r(6),3) cm.
答案：eq \f(10\r(6),3) cm
15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间，该考点才算合格？
解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝eq \r(3)≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝eq \f(sin 30°,AC)·AB＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1，∴eq \f(BC,12)×60＝5，
∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最少需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
16.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？
解析：在△BCD中，BC＝31 km，BD＝20 km，CD＝21 km，
由余弦定理得cs∠BDC＝eq \f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq \f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq \f(1,7).∴cs∠ADC＝eq \f(1,7)，∴sin∠ADC＝eq \r(1－cs2∠ADC)＝eq \f(4\r(3),7).在△ACD中，由条件知CD＝21 km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，
∴sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,7)＋eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(5\r(3),14).由正弦定理得eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(CD,sin∠BAC)，
∴AD＝eq \f(21,\f(\r(3),2))×eq \f(5\r(3),14)＝15(km)．
即此车距离A城15 km.