高中人教版新课标A1.1 正弦定理和余弦定理练习

这是一份高中人教版新课标A1.1 正弦定理和余弦定理练习，共6页。

[A组 学业达标]
1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是( )
A.eq \f(7,5) B.eq \f(5,7)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(5,12)
解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.
答案：A
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2eq \r(2)，则c＝( )
A.eq \f(\r(2),2) B．1
C.eq \r(2) D．2
解析：根据三角形内角和定理得C＝30°，
根据正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，
得c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(2\r(2)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝2.
答案：D
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3eq \r(2)，则b＝( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
解析：由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(3\r(2)sin 45°,sin 60°)＝eq \f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(3).
答案：C
4．在△ABC中，AB＝eq \r(3)，A＝45°，C＝75°，则BC＝( )
A.eq \r(2) B．3－eq \r(3)
C．2 D．3＋eq \r(3)
解析：由正弦定理得
BC＝eq \f(ABsin A,sin C)＝eq \f(\r(3)×sin 45°,sin 75°)
＝eq \f(\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2))＝eq \f(2\r(6),\r(6)＋\r(2))＝3－eq \r(3).
答案：B
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有( )
A．两解 B．一解
C．无解 D．无穷多解
解析：由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，
所以此三角形为正三角形，有唯一解．
答案：B
6．在△ABC中，已知a＝eq \r(2)，b＝1，A＝45°，则C的大小为________．
解析：sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\r(2))＝eq \f(1,2).
∵a＞b，∴B＝30°，
∴C＝180°－30°－45°＝105°.
答案：105°
7．在△ABC中，a＝3eq \r(3)，b＝3，A＝eq \f(π,3)，则C＝________.
解析：sin B＝eq \f(b·sin A,a)＝eq \f(3×\f(\r(3),2),3\r(3))＝eq \f(1,2).
a＞b，∴B＝eq \f(π,6).
C＝eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
8．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝________.
解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2，
∴eq \f(a,sin A)＋eq \f(b,2sin B)＋eq \f(2c,sin C)＝2＋1＋4＝7.
答案：7
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acs C．求角C的大小．
解析：由正弦定理得sin Csin A＝sin Acs C.
因为0＜A＜π，所以sin A＞0，
从而sin C＝cs C．又cs C≠0，
所以tan C＝1，则C＝eq \f(π,4).
10.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理知：eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
求得BC＝11eq \r(6).
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB
＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
[B组 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cs C)＝2sin Acs C＋cs Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：2sin Acs C＋cs Asin C＝sin Acs C＋(sin Acs C＋cs Asin C)＝sin Acs C＋sin B＝sin B＋2sin Bcs C，即sin Acs C＝2sin Bcs C，由于△ABC为锐角三角形，所以cs C≠0，sin A＝2sin B，由正弦定理可得a＝2b.
答案：A
12．在△ABC中，A＝eq \f(2,3)π，AB＝5，BC＝7，则eq \f(sin B,sin C)的值为( )
A.eq \f(8,5) B．eq \f(5,8)
C.eq \f(5,3) D.eq \f(3,5)
解析：由正弦定理得eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，
所以sin C＝eq \f(ABsin A,BC)＝eq \f(5×sin \f(2,3)π,7)＝eq \f(5\r(3),14).
又因为A＝eq \f(2,3)π，所以C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),14)))2)＝eq \f(11,14)，
因为A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin(A＋C)
＝sin Acs C＋cs Asin C
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(11,14)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(5\r(3),14)＝eq \f(3\r(3),14)，
所以eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(\f(3\r(3),14),\f(5\r(3),14))＝eq \f(3,5).
答案：D
13．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，若用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是________．
解析：因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)，所以a＝2eq \r(2)sin A，A＋C＝180°－45°＝135°，由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则互补的角大于等于135°，这样A＋B≥180°.不成立，所以45°＜A＜135°，又若A＝90°，这样补角也是90°，一解，所以eq \f(\r(2),2)＜sin A＜1，又a＝2eq \r(2)sin A，所以2＜a＜2eq \r(2).
答案：(2,2eq \r(2))
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcs C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，则角B＝________.
解析：由正弦定理知，
sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0.
因为sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
代入上式得eq \r(3)sin Bsin C－cs Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以eq \r(3)sin B－cs B－1＝0，
所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝1，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝eq \f(1,2).
因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
15．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C.
(1)求B的范围；
(2)试求eq \f(a,b)的范围．
解析：(1)在锐角三角形ABC中，0＜A＜eq \f(π,2)，
0＜B＜eq \f(π,2)，0＜C＜eq \f(π,2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜B＜\f(π,2)，,0＜2B＜\f(π,2)，,0＜π－3B＜\f(π,2)))解得eq \f(π,6)＜B＜eq \f(π,4).
(2)由正弦定理知eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(sin 2B,sin B)＝2cs B∈(eq \r(2)，eq \r(3))，故eq \f(a,b)的范围是(eq \r(2)，eq \r(3))．
16．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，满足(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断△ABC的形状．
解析：因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sin Acs B·b2＝2cs Asin B·a2，
即a2cs Asin B＝b2sin AcsB．
由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin2Acs Asin B＝sin2Bsin Acs B，
又sin A·sin B≠0，
所以sin Acs A＝sin Bcs B，
所以sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．