高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例第2课时课堂检测

这是一份高中数学人教版新课标A必修51.2 应用举例第2课时课堂检测，共7页。

[A组 学业达标]
1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
答案：D
2．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米 B．50eq \r(3)米
C．50eq \r(2)米 D．50(eq \r(3)＋1)米
解析：设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，
在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，
所以DB＝eq \r(3)AB，
即100＋x＝eq \r(3)x，解得x＝50(eq \r(3)＋1) m.
所以山AB的高度为50(eq \r(3)＋1)米．
答案：D
3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为( )
A．20 m B．20eq \r(2) m
C．20eq \r(3) m D．40 m
解析：设高OP＝h，则OA＝htan 60°＝eq \r(3)h，OB＝htan 45°＝h.在△AOB中，由余弦定理得402＝(eq \r(3)h)2＋h2－2·eq \r(3)h·h·cs 30°，解得h＝40.故选D.
答案：D
4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )
A.eq \f(π,4) B．eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(5,12)π
解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．
则由题意知，
sin α＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(20,40)＝eq \f(1,2)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq \f(π,6).
答案：C
5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
解析：如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，∴OD＝20eq \r(3) m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C.
答案：C
6．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值为________．
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理得(eq \r(3))2＝32＋x2－2×3·x·cs 30°，即x2－3eq \r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq \r(3)，x2＝2eq \r(3)，检验均符合题意．
答案：eq \r(3)或2eq \r(3)
7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)．
解析：由题意，AB＝200 m，AC＝100eq \r(2) m，
由余弦定理可得
BC＝eq \r(40 000＋20 000－2×200×100\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))
＝100eq \r(10) m
这辆汽车的速度为100eq \r(10)÷14≈22.6 m/s.
答案：22.6
8.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡走a m到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________ m.
解析：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(γ－β)，AB＝a，由正弦定理可得PA＝eq \f(asin∠ABP,sin∠APB)＝eq \f(asinγ－β,sinγ－α).在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sin α＝eq \f(asin αsinγ－β,sinγ－α).
答案：eq \f(asin αsinγ－β,sinγ－α)
9．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq \r(3) m以后测得山峰的仰角为4θ，求该山峰的高度．
解析：如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，
BD＝ED＝600，BC＝DC＝200eq \r(3).
在△BCD中，由余弦定理可得
cs 2θ＝eq \f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
所以2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝200eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝300(m)．
即山峰高度为300 m.
10.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解析：(1)在△ABC中，
由已知，得
AB＝10×5＝50(海里)，
BC＝10×3＝30(海里)，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
由余弦定理得AC2＝502＋302－2×50×30cs 120°＝4 900，所以AC＝70(海里)．
故A，C两岛之间的距离为70海里．
(2)在△ABC中，由正弦定理，
得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
所以sin∠BAC＝eq \f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq \f(30sin 120°,70)＝eq \f(3\r(3),14)，
故∠BAC的正弦值是eq \f(3\r(3),14).
[B组 能力提升]
11．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq \r(3)h，根据余弦定理得，(eq \r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cs 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.
答案：A
12.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为( )
A．600eq \r(2) m B．600eq \r(3) m
C．200eq \r(2) m D．200eq \r(3) m
解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq \f(AM,sin∠MCA)＝eq \f(AC,sin∠AMC)，
即eq \f(1 200,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq \r(6).
在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(3),3)，
∴CD＝ACtan∠DAC＝600eq \r(6)×eq \f(\r(3),3)＝600eq \r(2)，
故选A.
答案：A
13.如图所示，位于某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20eq \r(2) n mile的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°＜θ＜45°)的C处，且cs θ＝eq \f(4,5).已知A，C两处的距离为10 n mile，则该货船的航速为______n mile/h.
解析：因为cs θ＝eq \f(4,5)，0°＜θ＜45°，
所以sin θ＝eq \f(3,5)，
所以cs(45°－θ)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(7\r(2),10).
在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20eq \r(2)×10×eq \f(7\r(2),10)＝340，
所以BC＝2eq \r(85).
故该货船的航速为4eq \r(85) n mile/h.
答案：4eq \r(85)
14．我舰在岛A南偏西50°相距12 n mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西
10°的方向以10 n mile/h的速度航行，若我舰要用2 h追上敌舰，则速度为
_____ n mile/h.
解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v n mile/h，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(n mile)，AB＝12 n mile，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°＝784，所以BC＝28 n mile，则速度v＝eq \f(28,2)＝14(n mile/h)．
答案：14
15.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
解析：设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝eq \r(2)h，PC＝eq \f(2\r(3),3)h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cs∠PBA＝eq \f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①
cs∠PBC＝eq \f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cs∠PBA＋cs∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30eq \r(6)或h＝－30eq \r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq \r(6) m.
16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq \r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A
＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6.
∴BC＝eq \r(6).又∵eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠CAB,BC)＝eq \f(2·sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
又0°＜∠ABC＜60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
∴sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2).
又∵0°＜∠BCD＜60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq \r(6).
∴t＝eq \f(\r(6),10)小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．