数学高中一年级 第二学期本节综合教案

这是一份数学高中一年级 第二学期本节综合教案，共37页。教案主要包含了利用正余弦定理求解三角形，利用正，三角形的实际应用问题等内容，欢迎下载使用。

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日期

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课程编号

课型
同步复习课
课题
解三角形
教学目标

1. 掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，并能够求解三角形未知角、未知边的值
2. 运用正弦定理,余弦定理,内角和,面积公式判断三角形形状和证明三角等式或不等式
3. 能够解决三角中的实际应用问题

教学重点
1．三角形内角和定理的灵活应用
2．正弦定理，余弦定理
3. 三角形面积公式
教学安排

版块
时长
1
知识梳理
20
2
例题解析
50
3
巩固训练
30
4
师生总结
20
5
课后练习
30
……


高一数学春季班（教师版）


解三角形


知识梳理
解三角形




设中分别是角所对的边，为的外接圆半径，为内切圆半径，为的面积．
三角形内角和定理：．
正弦定理：．
余弦定理：．
三角形面积公式：


例题解析




一、利用正余弦定理求解三角形
【例1】在中，角的对边为，若，则角（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D

【例2】在中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
【难度】★
【答案】C
【解析】由及正弦定理，得=，所以.因而有两值.

【例3】在锐角中，边长，则边长c的取值范围是_______.
【难度】★★
【答案】
【解析】若是最大边，则，∴＞0，∴c＜.又，
∴

【例4】（1）在中，已知，，，求b及A；
（2）在中，已知，，，解三角形
【难度】★★
【答案】（1），；（2），，
【解析】（1）∵
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
方法一：∵cos ∴
方法二：∵sin
又∵＜∴＜，即＜＜∴
（2）由余弦定理的推论得：
；
；


【例5】在中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；（2）求的值．
【难度】★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理，，得，
．
（2）方法1：由余弦定理，得，，
∵是的内角，∴．
方法2：∵，且是的内角，∴．
根据正弦定理，，得

【例6】在，求（1）；（2）若点
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】：（1）由，
，
由正弦定理知，
（2），。由余弦定理知：


【例7】在中，为角所对的三边，已知．
（1）求角的值；（2）若，，求的长.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） ，
（2）在中，， ，
由正弦定理知：.


【巩固训练】
1.在中，若则的值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】A

2．在中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】或

3．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】 设中间角为，则为所求

4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D

5.已知在中，，是上一点，则点到的距离
乘积的最大值是 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【难度】★★
【答案】B

6.中，若，则的外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

7.在中，若，，，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【难度】★★
【答案】C

8.在三角形中，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不是
【难度】★★
【答案】C


二、正、余弦定理判断三角形形状
【例8】在中，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定
【难度】★★
【答案】C
【解析】为钝角

【例9】在中，若，则的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【难度】★★
【答案】C
【解析】方法一：
又∵，∴∴
方法二：由得，∴

【例10】的三边分别为且满足,则此三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【难度】★
【答案】D

【例11】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
【难度】★★★
【答案】D
【解析】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，
若是锐角三角形，由，得，
那么，，矛盾，所以是钝角三角形。故选D。

【例12】在中，若则的形状是什么？
【难度】★★
【答案】直角三角形
【解析】


或，得或，所以△ABC是直角三角形。



【例13】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状
【难度】★★
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】方法一：由已知得
所以
由正弦定理，得
所以
所以
即等腰三角形或直角三角形
方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得

所以等腰三角形或直角三角形


【例14】给出问题：已知中，满足，试判定的形状．某学生的解答如下：由条件可得，去分母整理可得，，故是直角三角形．该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面的横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上： ．
【难度】★★
【答案】不正确；等腰三角形或直角三角形

【例15】中，，且，判断的形状．
【难度】★★
【答案】直角三角形


【巩固训练】
1．在中，若则的形状是_________。
【难度】★
【答案】锐角三角形
【解析】为最大角，为锐角

2．在中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【难度】★★
【答案】C
【解析】都是锐角，则

3．在中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
【难度】★★
【答案】D
【解析】
，等腰三角形

4．若是锐角三角形的两内角，则_____（填>或<）。
【难度】★★
【答案】
【解析】，即
，

5. 在中，若，则的形状为 ．
【难度】★★
【答案】等腰或直角三角形

6. 在中，若，则的形状是 ．
【难度】★★
【答案】等腰三角形

7.在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【难度】★★
【答案】D
【解析】 ，
，或所以或

8.在中，已知，试判断的形状
【难度】★★
【答案】等腰三角形或直角三角形

9. 在中，若，且，判断的形状．
【难度】★★
【答案】等边三角形

三、正、余弦定理综合
【例16】在中，分别是的对边长，已知，且，求的大小及的值.
【难度】★★
【答案】（1），；（2）
【解析】解法一：∵又∴
在中，由余弦定理得，∴
在中，由正弦定理得，∵，
∴.
解法二：在中，由面积公式得
∵，∴∴.

【例17】已知在中,,分别是角所对的边.
(1)求； (2)若,,求的面积.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)因为,∴,则∴
(2)由,得,∴
则
由正弦定理,得,∴的面积为

【例18】设的内角所对的边长分别为，且，．
（1）求和边长；（2）若的面积，求的值．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）
【解析】 （1）由得，由与两式相除，有：
，又通过知：， 则，，
则．
（2）由，得到．
由

【例19】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求y=的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】∵，∴==（+）－.
∴，

.∵，∴ .故

【例20】已知中，，外接圆半径为.
（1）求，（2）求面积的最大值.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由得
又∵，∴∴∴
又∵∴
（2）


∴当，即时， .


【巩固训练】
1. 中，分别为的对边，如果，的面积为，那么等于（ ）
A. B.1+ C. D.2+
【难度】★★
【答案】B
【解析】∵平方得a2+c2=4b2－2ac.又的面积为，且∠B=30°，
故由，得，∴，
由余弦定理，得===，解得.又边长，
∴.

2. 已知，则=_______.
【难度】★★
【答案】
【解析】由已知得，∴，∴=.∴.

3. 在中，角所对的边分别是，若三角形的面积，则∠C的度数是_______.
【难度】★★
【答案】
【解析】由得∴，∴.

4. 在中，若，则=_______.
【难度】★★
【答案】1
【解析】=
=. （*）
∵，∴∴
代入（*）式得=1.

5．在中，设求的值。
【难度】★★
【答案】
【解析】∵∴，即，
∴，而∴，
∴

6.在△ABC中，最大角为最小角的倍，且三边为三个连续整数，求值．
【难度】★★
【答案】
【解析】，设，
则，
而，
即，得．

7.在中，角所对应的边分别为，，，求及
【难度】★★
【答案】，，
【解析】由得
∴ ∴
∴，又 ∴
由得
即 ∴，
由正弦定理得


四、利用正、余弦定理证明三角式
【例21】在中，，
（1） 证明：；
（2） 若，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）提示：利用正弦定理，得；（2）．

【例22】在中，求证：
【难度】★★
【答案】证明：将，代入右边
得右边左边，
∴

【例23】在锐角中，求证：。
【难度】★★
【答案】证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即
∴，即；同理；
∴
【例24】在锐角中，求证：。
【难度】★★
【答案】证明：∵△ABC是锐角三角形，∴即
∴，即；同理；
∴∴

【例25】在中，求证：。
【难度】★★
【答案】证明：∵


∴

【例26】在中，若，则求证：。
【难度】★★
【答案】证明：要证，只要证，
即 而∵∴
∴原式成立。

【例27】在中，若，则求证：
【难度】★★
【答案】证明：∵ ∴即 ∴
即，∴
【例28】 的三个内角的对边分别是，如果，求证：
【难度】★★
【答案】证明：用正弦定理，代入中，得


因为为三角形的三内角，所以.所以所以只能有


【巩固训练】
1.在中，角所对的边分别为，证明：．
【难度】★★
【答案】证明：
所以命题成立．

2.在中，是钝角，设
证明：
【难度】★★
【答案】证明：
．

3. 在中，已知，证明。
【难度】★★
【答案】因为，又，所以，从而，故.由两角和的正切公式，得。
所以

4. 已知锐角中， ，.
（1）求证：；（2）设，求边上的高.
【难度】★★
【答案】（1）证明：∵，
∴∴
（2） ∴，
即.将代入上式整理得，
解得（负值舍去）.得，∴.
设边上的高为，则.
由得，所以边上的高为.






五、三角形的实际应用问题
【例29】如图，是简易遮阳棚，是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面面积最大，遮阳棚与地面所成的角为（ ）

A.75° B.60° C.50° D.45°
【难度】★★
【答案】C
【解析】作，则是太阳光线与地面所成的角，即，延长交直线于，连结，则是遮阳棚与地面所成的角，设为。要使最大，只需最大.在中，.∴.
∵为定值，∴当时，最大.答案：C

【例30】如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）
【难度】★★
【答案】445米
【解析】方法一：设该扇形的半径为米，连接. 由题意，得 (米)，（米），
A
O
D
B
C
H
　 在△中，
即，
解得 （米）
答：该扇形的半径的长约为445米. 　　　　 　
方法二：连接，作，交于， 　
由题意，得（米），
（米），
在△中，

.
（米）. .　　
在直角△中，（米），，
（米）.
答：该扇形的半径的长约为445米.

【例31】某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
【难度】★★
【答案】的方位角方向前进，40分钟
【解析】设舰艇从处靠近渔船所用的时间为，则海里，海里，海里，，根据余弦定理，可得
即，
即
解得 (舍去)
∴
再由余弦定理可得

∴
所以舰艇方位角为，小时即40分钟
答：舰艇应以的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟
【例32】某人在塔的正东沿着南偏本600的方向前进40米后望见在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为300，求塔高。
【难度】★★
【答案】
【解析】如图，某人在处，为塔高，他沿前进，，此时，
过点作于，则，在中，，，
由正弦定理，得 ，∴,

在中， .
在中，，∴(米)，故所求的塔高为米。

【例33】某观测站C在A城的南偏西200的方向。由A城出发的一条公路，走向是南偏东400，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？

【难度】★★
【答案】15千米
【解析】设在中，由余弦定理得

而
在中，由正弦定理得
答：这个人再走15千米才能到达A城。

【例34】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）

【难度】★★★
【答案】
【解析】在中，设，因为为正西方向，为东北方向，所以.则，
当且仅当时，“=”成立.又到的距离为10，设
所以 ，，
·

，
当且仅当时，“=”成立.所以，
当且仅当时，“=”成立.所以当 时，最短，其最短距离为，即当分别在上离点 km处，能使最短，最短距离为

【例35】如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA＝a（）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；
（2）表示为a的函数，求y＝的最大值与最小值。
【难度】★★
【答案】（1），；
（2）
【解析】（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝，ÐMAG＝，
由正弦定理得，
则 。同理可求得。
（2）＝72（3＋cot2a）
因为，所以当或时，取得最大值，
当时，取得最小值。

【例36】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）船会进入警戒水域
【解析】 （1）如图，， ，
由于,所以
由余弦定理得
所以船的行驶速度为（海里/小时）.
（2）方法一 如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标分别是与轴的交点为.
由题设有，，
，

所以过点的直线的斜率,直线的方程为。
又点到直线的距离所以船会进入警戒水域.
方法二: 如图所示，设直线与的延长线相交于点.在中，由余弦定理得，
=.
从而
在中，由正弦定理得，
由于，所以点位于点和点之间，且.
过点作于点，则为点到直线的距离.
在中，
所以船会进入警戒水域.


【巩固训练】
1.在中，，顶点在平行于且与相距为a的直线上滑动，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】令，则总有， （图略），
且由正弦定理得，所以，
由余弦定理，可得，
所以.所以，所以.
所以的取值范围为。

2. 已知甲、乙两船同时从处出发，甲沿北偏东的方向航行，乙沿正东方向航行至处，然后沿一新航向继续航行，与甲在处相遇，此时甲航行了60海里，乙由至航行了50海里，则的大小是 ．（精确到小数点后一位）
【难度】★★
【答案】55.7海里

3.已知是一条直路上的三点，与各等于1，从三点分别遥望塔，在处见塔在东北方向，在点处见塔在正东方向，在点处见塔在南偏东60处，求塔到直路的最短距离．
【难度】★★
【答案】

4. 某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：米），如示意图，垂直旋转的标杆的高度米，倾角．
（1） 该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位：米），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125米，问为多少时，最大．
【难度】★★
【答案】（1）124米；（2）

5. 某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得A在南偏本，俯角为，同时测得B在南偏东，俯角是，求山高（设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m）.
【难度】★★
【答案】984.4m
【解析】画出示意图(如图所示):

设山高,则均为直角三角形，
在图（1）中，
在图（2）中，，所以由余弦定理得：即
∴
所以山高约984.4m.


6. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
① 设，将表示成的函数关系式；
② 设，将表示成的函数关系式。
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。
【难度】★★★
【答案】（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若 ，则,
故，又，所以，
所求函数关系式为
②若 ，则，所以
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，令

当时此时所以，
所以当时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。


反思总结




1．正弦定理应用范围：
　　①已知两角和任一边，求其他两边及一角．
　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：
(1)A为锐角


一解 两解 一解
(2)A为锐角或钝角:当时有一解.
2．余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．
3. 利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.



课后练习




1．在△ABC中，若_________。
【难度】★
【答案】
【解析】

2．在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
【难度】★
【答案】
【解析】∶∶∶∶∶∶，
令

3．在△ABC中，，则的最大值是________。
【难度】★★
【答案】
【解析】



4. 在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .
【难度】★★
【答案】
【解析】由余弦定理，原式

5.若，则的最大值 。
【难度】★★★
【答案】
【解析】设BC＝，则AC＝ ，
根据面积公式得=，根据余弦定理得
，代入上式得
=
由三角形三边关系有解得，
故当时取得最大值

6.在中，角A、B、C所对的边分别为，若，则_________________。
【难度】★★
【答案】
【解析】,即,

7. 在中，若则的形状是______________。
【难度】★★
【答案】直角三角形
【解析】




8.若的内角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

9. 中，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理得：化简得
，化简得，
所以三角形的周长为：
,故选D。

10.在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。
【难度】★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为锐角中，，，所以，则

（2），则。
将，代入余弦定理：中，
得解得。

11. 在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（2）由题意得，
即，
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．

12.设的内角所对的边长分别为，且．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由正弦定理及
可得
即，则；
（2）由得

当且仅当时，等号成立，
故当时，的最大值为.

13.设的内角所对的边长分别为，且，．
（1）求边长；
（2）若的面积，求的周长．
【难度】★★
【答案】（1）5；（2）
【解析】（1）

（2）由面积


14.△中，所对的边分别为，,.
（1）求；
（2）若,求.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】(1) 因为，即，
所以，
即 ，
得 . 所以,或(不成立).
即 , 得，所以
又因为，则，或（舍去） 得
(2)， 又, 即 ，
得
15. 如图所示，D是直角三角形斜边上上一点，，记．
（1）证明：；
A
B
D
C
（2）若，求β的值．
【难度】★★
【答案】（2）
【解析】证明（1）∵
∴即
（2）在△ADC中，由正弦定理得．即 ∴
由（1）∴即
解得或因为，所以从而