高中数学5.2任意角的三角比教案设计

这是一份高中数学5.2任意角的三角比教案设计，共28页。教案主要包含了角的概念的推广，弧度制与扇形公式，任意角的三角比等内容，欢迎下载使用。

高一数学春季班（教师版）
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课型
同步复习课
课题
任意角的三角比
教学目标

1．理解有关概念，会进行弧度制与角度制的互化；
2．掌握扇形的弧长公式与面积公式；
3．掌握任意角三角比的值与符号．

教学重点

1．弧度制与角度制的关系和运用；
2．掌握任意角三角比的值与符号的形成与理解．

教学安排

版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
……





任意角的三角比



知识梳理




1．角的概念的推广
（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.
（4）角在“到”范围内，指.
2． 弧度制
（1）角度制与弧度制.用一个周角的（度的角）作为度量单位来度量角的制度叫角度制.角度制在形数结合解决问题时会受到一定限制.把长度等于半径长的弧所对圆心角叫弧度的角，以弧度的角作为度量单位来度量角的制度叫弧度制.
对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧，截得两弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所
取弧的半径无关.
（2）建立了弧度制后，每一个角都对应于一个实数（这个角的弧度数），
反之每一个实数也对应于一个角（这个角的弧度数等于该实数），因此在实数
集合与角的集合之间建立起一种一一对应的关系.
（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.
由，.
由，.
应熟记一些特殊角的度数和弧度数.
在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制，如：“”和“”的写法都是不妥当的.
（4）弧长公式和扇形面积公式.
由定义，在弧度制中，半径为，弧度数为的弧长.
在角度制中，半径为、圆心角为的弧长.
在弧度制中，半径为，弧度数为的扇形面积.
在角度制中，半径为，圆心角为的扇形面积.
3．任意角的三角比
（1）任意角的三角比不能再用初中定义锐角三角比的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角比.
（2）对于任意角的三角比，由相似形的性质可知，的三角函数值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量的比.
六个三角比中重点要掌握的是正弦、余弦和正切.
（3）引进弧度制以后，角的集合与实数集合建立了一一对应关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即
实数 角（其弧度数等于该实数） 三角函数值（实数）
（4）应注意，对于某些实数，、、、可能不存在.
4．单位圆与三角函数线
（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线以后，可以用有向线段的长表示这几个三角函数值，这在以后画三角函数的图象时会用到.正弦线、余弦线和正切线都是三角函数线.
（2）由三角函数线的作法可以知道，对任何角，正弦线、余弦线都可以作出，因此正弦函数、余弦函数的定义域是，对终边在轴上的角，正切线不存在，因此正切函数的定义域是.
5．三角函数在各个象限的符号
必须熟悉每个三角函数在各象限的符号：
， ， ，
还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅，为正，其余为负.
6．终边相同角的三角函数值
公式一：，
，
.
也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为到角的三角函数.






例题解析




一、角的概念的推广
1、角的概念
【例1】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
【难度】★
【答案】

【例2】求经过下列时间，时钟的分针所转过的角度：（1）15分钟；（2）1小时20分钟.
【难度】★
【答案】，
【解析】（1）分针所转过的角度；
（2）分针所转过的角度.


2、终边相同的角
【例3】找出与下列各角终边相同的角的一般形式，指出它们是哪个象限的角，并找出终边相同的角中绝对值最小的角：
（1）； （2）； （3）
【难度】★
【答案】（1）∵，∴终边相同的角为.
它们是第四象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（2）∵∴终边相同的角为.
它们是第一象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
（3）∵，∴终边相同的角是.
它们是第二象限角，其中绝对值最小的角为（当）.
【解析】判断一个角是第几象限角，常把它写成的形式，其中.有时也可以写成的形式，其中.

【例4】写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素
写出来： （1）； （2）； （3）．
【难度】★
【答案】（1），
中适合的元素是

（2），
S中适合的元素是

（3）
S中适合的元素是


【例5】设 ，
，　　　　　
，则相等的角集合为_ _。
【难度】★★
【答案】B＝D，C＝E

【例6】求下列各角的集合：
（1）终边在轴的非正半轴上；
（2）终边在轴上；
（3）终边在坐标轴上；
（4）终边在第二象限的角平线上.
【难度】★
【答案】（1）；
（2）;
（3）；
（4）.

【例7】写出下列终边位置特殊关系的角：
（1）终边与角的终边互为反向延长线的角的集合；
（2）终边与角的终边关于x轴对称的角的集合是；
（3）终边与角的终边关于y轴对称的角的集合是；
（4）终边与角的终边互相垂直的角的集合是.
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）


3、象限角
【例8】分别写出下列角的集合：
（1）第一象限的角；（2）第四象限的角；
（3）终边在上半平面（不含轴）的角；
（4）终边在左半平面（不含轴）的角；
（5）终边在第二象限或第四象限的角.
【难度】★
【答案】 （1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
或.
【解析】第（2）题角的集合也可以写成.
第（5）题角的集合也可以写成.

【例9】在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
【难度】★★
【答案】C

【例10】已知是第二象限角，判断下列各角是第几象限角：
（1）； （2）.
【难度】★★
【答案】（1）∵是第二象限角，∴.
.
∴角是第三象限角，或是第四象限角，或是终边在轴非正半轴上的轴线角.
（2）由（1）得，.
当，，
∴是第一象限角.
当，
，
∴是第二象限角.
当，，
∴是第四象限角.

【例11】回答下列问题
(1)锐角是第几象限角?
(2)第一象限的角一定是锐角吗?
(3)小于的角一定是锐角吗?
(4)的角一定是锐角吗?
【难度】★
【答案】(1)第一象限；(2)不一定，反例；
(3)不一定，反例零角或负角；(4)不一定，反例.


【巩固训练】
1．一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________．
【难度】★
【答案】

2．若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ）
Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角
【难度】★
【答案】B

3．集合中，各角的终边都在（   ）
A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，
C．轴或 轴上，　　　　 D．轴正半轴或 轴正半轴上
【难度】★
【答案】C

4．下列命题正确的是： （ ）
（A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。
（C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于的角都是锐角。
【难度】★
【答案】C

5．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
【难度】★★
【答案】B

6．下列命题中的真命题是 （ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．=
【难度】★★
【答案】D

7．若是第一象限的角，则是第 象限角。
【难度】★★
【答案】二，四

8．若，试判断角所在象限。
【难度】★
【答案】∵
∴与终边相同， 所以，在第三象限。

9．在的范围内，求终边在轴上的角组成的集合.
【难度】★
【答案】

10．在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1） （2） （3）
【难度】★
【答案】（1），
所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；
（2），
所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；
（3），
所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。

11．在间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角。
（1） ；（2） ；（3）
【难度】★
【答案】（1）∵
∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
（3）
所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．


二、弧度制与扇形公式
【例12】把角化为弧度制．
【难度】★
【答案】.

【例13】若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角．
【难度】★★
【答案】设这两个角为弧度，则 解得，

【例14】指出下列各角所在的象限：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】三，一
【解析】 解：（1）=2π+.
∵π<，∴是第三象限角.
（2）.∵，∴是第一象限角.

【例15】设集合M={α|α=，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π，则M∩N等于（ ）
A．{－} B．{－}
C．{－} D．{ }
【难度】★
【答案】C

【例16】若，且角的终边与角的终边互相垂直，求角.
【难度】★★
【答案】

【例17】已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？
【难度】★★
【答案】设扇形半径为，扇形弧长为，扇形的圆心角为，则. ，解得，扇形面积
∴当时，扇形面积最大，最大值为625.

【例18】在扇形中，，弧长为，则此扇形内切圆的面积是___________
【难度】★★
【答案】


【巩固训练】
1．把角化为角度制。
【难度】★
【答案】。

2．在内与终边重合的角是___________。
【难度】★
【答案】

3．与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
【难度】★
【答案】；

4．的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。
【难度】★
【答案】

5．已知（），且，问是第几象限角？
【难度】★★
【答案】解 .
当，
∴ 是第二象限角.
当 ，
∵ ∴ 是第四象限角.
∴ 是第二象限角或是第四象限角.

6．设集合M={α|α=kπ±，k∈Z}，N={α|α=kπ+(－1)k，k∈Z}那么下列结论中正确的是（ ）
A．M=N B．MN C．NM D．MN且NM
【难度】★
【答案】C

7．已知，且的6倍角的终边与角的终边互为反向延长线，求角
【难度】★★
【答案】

8．圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________
【难度】★★
【答案】

9．一个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为 弧度；弧长为 cm．
【难度】★★
【答案】2,2
【解析】假设圆心角为，弧长为，则半径。则由题意，得
故 扇形的圆心角为2弧度，弧长为2厘米

10．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B． C． D．
【难度】★
【答案】B

11．一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）
A．70 cm B． cm C．()cm D． cm
【难度】★★
【答案】D

12．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（ ）
A．（） cm2 B．（ ）cm2
C．（）cm2 D．（） cm2
【难度】★
【答案】C


三、任意角的三角比
【例19】已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.
【难度】★
【答案】由已知，，.
∵，∴.
∴，，，
，，.

【例20】已知角的终边经过点，求的值.
【难度】★
【答案】 若，，，点在第四象限.
.
,.
∴.
若，，，点在第二象限.
.
，.
∴.
【解析】 因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.

【例21】若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D


【例22】是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【难度】★★
【答案】B

【例23】求值：
（1）；
（2）.
【难度】★★
【答案】
（1）


.
（2）

.

【例24】已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】C

【例25】求函数的定义域.
【难度】★★
【答案】 ②
①
由已知
由①，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.
由②，，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.
∴角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.
∴函数的定义域为.

【例26】下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且
是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相
同；④若，则.其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★★
【答案】A

【例27】 已知，，判断的符号.
【难度】★★
【答案】∵，，
∴是第二象限角，.
∴.
当，，
是第一象限角，.
当，，
是第三象限角，.
∴必为正数.

【例28】 若，利用三角函数线证明：
（1）；
（2）.
【难度】★★★
【答案】
（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦
线和余弦线.
由，为直角三角形，且，
，.
在中，
，∴.
（2）如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结.
由，显然有.
，
，
，
∴. .

【例29】若，则下列各不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D

【例30】用三角函数的定义证明：

【难度】★★
【答案】设为角终边上一点，，
则.
.



【巩固训练】
1．已知，则________.
【难度】★
【答案】 —2

2．如果＝，且是第四象限的角，那么＝ ．
【难度】★
【答案】

3．已知点在角的终边上，且，则＝ ．
【难度】★
【答案】

4．已知，求的值．
【难度】★
【答案】由得，位于第一象限或第三象限。
当位于第一象限时，；
当位于第三象限时，.

5．已知角终边上一点与轴的距离和点与轴的距离之比为，且，
求和的值.
【难度】★★
【答案】，，或，

6．已知角的终边经过点，求的六个三角函数值.
【难度】★★
【答案】



7．求值：
【难度】★★
【答案】原式＝0。

8．若，且有，则的取值范围是__________________.
【难度】★★
【答案】

9． 若，利用三角函数线证明：，且.
【难度】★★★
【答案】 在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.
在中，
∵，，
∴，∴，即.
在中，
∵，，
∴，，即.

10．求证角为第三象限角的充分必要条件是 ．
【难度】★★
【答案】必要性：当为第三象限角时，；
充分性：∵成立，∴角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于轴的非正半轴上；又∵成立，∴角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以角的终边只可能位于第三象限，于是角为第三象限角．

11．已知，且，判断点在第几象限.
【难度】★★
【答案】∵，∴，，为第
Ⅱ或第Ⅳ象限角.又∵，，∴是第Ⅳ象限角，，
，∴点在第二象限.

12．如果在第二象限，那么的值是什么符号？
【难度】★★
【答案】∵在第二象限，∴，
　　∴，∴ .





反思总结





1.在简单三角比的运算中要牢记角的正切、余切有意义时角的范围，避免产生增根.
2.三角比的结果表达中，不要弧度制与角度制混用.
3.在任意角的范围表达中请注意条件一定要写，尤其是在填空中.


课后练习



1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B

2．下列两组角的终边不相同的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D

3．当角与的终边互为反问延长线，则角与的关系一定是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C

4．一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于 （ ）
A．2 B．4
C． D．
【难度】★★
【答案】B

【解析】设扇形内切圆的半径为，则由图可见扇形半径为
.由弧长公式，扇形弧长


5．若角的终边与射线重合，则______________.
【难度】★
【答案】

6．若为的内角，且，则是_________三角形（填
“锐角”、“直角”或“钝角”）.
【难度】★
【答案】锐角

7．函数的值域是___________________.
【难度】★
【答案】
8．用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式在上的的集合为_______________.
【难度】★★
【答案】
【解析】如图可得所求集合为



9．求值：
（1）；
（2）.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式

（2）原式


10．已知扇形的圆心角是900，求此扇形面积与其内切圆面积之比.
【难度】★★
【答案】
【解析】设扇形半径为R，扇形的内切圆半径为r，由已知可得扇形面积扇形的内切圆面积∴所求面积比