高中人教版新课标A第一章 集合与函数概念综合与测试同步测试题

这是一份高中人教版新课标A第一章 集合与函数概念综合与测试同步测试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有 ( )
①1∈A ②{－1}∈A
③∅⊆A ④{1，－1}⊆A
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．
∴①③④均正确．
答案：C
2．设全集U＝R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，
又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，
∴N∩(∁UM)＝{x|1答案：C
3．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2，x＞0，,π，x＝0，,0，x＜0)) 则f(f(f(－2)])＝ ( )
A．0 B．π
C．π2 D．4
解析：f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π2.
答案：C
4．给出下列集合A到集合B的几种对应：
其中，是从A到B的映射的有 ( )
A．(1)(2) B．(1)(2)(3)
C．(1)(2)(4) D．(1)(2)(3)(4)
解析：由映射定义可知(3)(4)不是映射．
答案：A
5．(2011·浙江高考)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则 ( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
解析：∵P＝{x|x＜1}，∴∁RP＝{x|x≥1}，
又Q＝{x|x＞－1}，∴∁RP⊆Q.
答案：C
6．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－eq \f(3,2))与f(a2＋2a＋eq \f(5,2))的大小关系是 ( )
A．f(－eq \f(3,2))＞f(a2＋2a＋eq \f(5,2))
B．f(－eq \f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq \f(5,2))
C．f(－eq \f(3,2))＜f(a2＋2a＋eq \f(5,2))
D．f(－eq \f(3,2))≤f(a2＋2a＋eq \f(5,2))
解析：∵a2＋2a＋eq \f(5,2)＝(a＋1)2＋eq \f(3,2)≥eq \f(3,2)，
又函数f(x)为偶函数，
f(－eq \f(3,2))＝f(eq \f(3,2))，f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f(－eq \f(3,2))≥f(a2＋2a＋eq \f(5,2))．
答案：B
7．下列四个命题：(1)函数f(x)在x>0时是增函数，x<0也是增函数，所以f(x)是增函数；(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a<0且a>0；(3)y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)．其中正确命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)反例：f(x)＝－eq \f(1,x)；(2)不一定a>0，开口向下也可；(3)画出图像可知，递增区间有[－1，0]和[1，＋∞)．
答案：A
8．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
解析：∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，
得f(|a|)≤f(2)．
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.
答案：D
9．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有eq \f(x2－x1,f（x2）－f（x1）)>0，则 ( )
A．f(－5)B．f(4)C．f(6)D．f(6)解析：∵对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，都有eq \f(x2－x1,f（x2）－f（x1）)>0，∴对任意x1，x2∈(－∞，0]，若x1∴f(x)在(－∞，0]上是增函数．
∴f(－4)>f(－5)>f(－6)．
又∵函数f(x)是偶函数，
∴f(－6)＝f(6)，f(－4)＝f(4)．
∴f(6)答案：C
10．设数集M＝{x|m≤x≤m＋eq \f(3,4)}，N＝{x|n－eq \f(1,3)≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是 ( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,12) D.eq \f(5,12)
解析：由集合长度的定义知M的长度为eq \f(3,4)，N的长度为eq \f(1,3)，若要使M∩N的长度最小则应使M的左端点m与N的右端点n离得最远，又∵M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，∴应使m＝0，n＝1.此时M＝{x|0≤x≤eq \f(3,4)}，N＝{x|eq \f(2,3)≤x≤1}，此时M∩N＝{x|eq \f(2,3)≤x≤eq \f(3,4)}，其长度为eq \f(3,4)－eq \f(2,3)＝eq \f(1,12).
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝eq \r(x－1)＋eq \r(x)的定义域是________．
解析：要使函数y＝eq \r(x－1)＋eq \r(x)有意义,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x≥0，))
∴x≥1.
答案：{x|x≥1}
12．已知函数满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，则下列各式恒成立的是________．
①f(0)＝0 ②f(3)＝3f(1) ③f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)f(1)
④f(－x)·f(x)<0
解析：①令x＝y＝0，则f(0)＝0成立；
②f(2)＝2f(1)，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)
＝3f(1)恒成立；
③f(eq \f(1,2)＋eq \f(1,2))＝2f(eq \f(1,2))．
∴f(eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)f(1)成立．
④当x＝0时不成立．
答案：①②③
13．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，由f(x)为偶函数可得2a＋ab＝0.若a＝0，则f(x)＝bx2，其值域不可能为(－∞，4]，故b＝－2，此时f(x)＝－2x2＋2a2≤2a2.
又由值域为(－∞，4]可得2a2＝4.
∴f(x)＝－2x2＋4.
答案：－2x2＋4
14．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq \f(1,f（x）)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________．
解析：∵f(x＋2)＝eq \f(1,f（x）)，
∴f(x＋2＋2)＝eq \f(1,f（x＋2）)＝f(x)．
∴f(x＋4)＝f(x)，f(5)＝f(1)＝－5.
∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝
f(3)＝f(1＋2)＝eq \f(1,f（1）)＝－eq \f(1,5).
答案：－eq \f(1,5)
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A⊆B，求实数a的值．
解：B＝{1，2}，且A为∅或单元素集合，
由A⊆B⇒A可能为∅，{1}，{2}．
(1)A＝∅⇒a＝0；
(2)A＝{1}⇒a＝1；
(3)A＝{2}⇒a＝eq \f(1,2).
综上得a＝0或1或eq \f(1,2).
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2x＋m，其中m为常数．
(1)求证：函数f(x)在R上是减函数；
(2)当函数f(x)是奇函数时，求实数m的值．
解：(1)证明：任取x1＝2(x2－x1)．
又∵x10.
∴f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)为R上的减函数．
(2)∵f(x)为奇函数．
∴f(－x)＝2x＋m＝－f(x)＝2x－m，
∴m＝0.
17．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f(eq \f(x,y))＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f(eq \f(1,3))<2.
解：(1)在f(eq \f(x,y))＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f(eq \f(1,3))<2＝f(6)＋f(6)，
∴f(3x＋9)－f(6)即f(eq \f(x＋3,2))∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)>0，,\f(x＋3,2)<6))
解得－3即不等式的解集为(－3，9)．
18．(本小题满分14分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．
由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．
解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，
∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.
即小张家距离景点150 km，
小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．
∴当3小张从景点回家所花时间为eq \f(150,60)＝2.5(h)，
故s(10.5)＝2×150＝300.
∴当8s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.
综上所述，这天小张的车所走的路程
s(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－5t（t－13） 0≤t≤3,150 3(2)当0≤t≤3时，
令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，
解得t＝1或t＝12(舍去)，
当8令60t－330＝2×150－60＝240，
解得t＝eq \f(19,2).
答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．