2021高考数学（文科）习题 第八章 立体几何 课时撬分练8-2 word版含答案

这是一份2021高考数学（文科）习题 第八章 立体几何 课时撬分练8-2 word版含答案，共10页。
时间：45分钟
基础组
1.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( )
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
答案 B
解析 A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β，由线面垂直的性质知c⊥β；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线的逆定理知b⊥c；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理可得c∥α.故选B.
2．对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案 D
解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
3．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案 D
解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.
4．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.
5. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )
点击观看解答视频
A.eq \f(1,5) B.eq \f(3\r(10),10)
C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 如图，连接A1B.由题意知A1D1綊BC，所以四边形A1D1CB为平行四边形，故D1C∥A1B.所以∠A1BE为异面直线D1C与BE所成的角．不妨设AA1＝2AB＝2，则A1E＝1，BE＝eq \r(2)，A1B＝eq \r(5)，在△A1BE中，
cs∠A1BE＝eq \f(A1B2＋EB2－A1E2,2A1B·EB)
＝eq \f(5＋2－1,2×\r(5)×\r(2))＝eq \f(3\r(10),10)，故选B.
6. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
点击观看解答视频
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交， 则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．
答案 ①
解析 由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．
7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．
答案 eq \f(\r(6),6)
解析 由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA1C1中，A1B＝eq \r(6)，A1C1＝1，BC1＝eq \r(5)，cs∠BA1C1＝eq \f(6＋1－5,2\r(6)×1)＝eq \f(\r(6),6).
8．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．
答案 30°
解析 如图所示，设H为DA的中点，连接HF，HE，则易得FH⊥EF.在Rt△EFH中，HE＝1，HF＝eq \f(1,2)，
∴∠HEF＝30°，即EF与CD所成的角为30°.
9．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 过F点作HF∥BE，过A点作EF的垂线AG，垂足为G.连接HG，HE，AH.如图，设正方形ABCD的边长为2，
∵平面AEF⊥平面BCDFE，
且AG⊥EF，∴AG⊥平面BCDFE.
∵BE＝BH＝AE＝AF＝1，∴EH＝EF＝eq \r(2).∵G为EF的中点，∴EG＝eq \f(\r(2),2)，AG＝eq \f(\r(2),2).又∵HF＝2，∴∠HEG＝90°，
∴在Rt△EHG中，HG＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋\r(2)2)＝eq \f(\r(10),2).
∴在Rt△AGH中，
AH＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \r(3).
∵HF∥BE，∴AF与BE所成的角即为∠AFH.在△AHF中，AF＝1，HF＝2，AH＝eq \r(3)，∴∠HAF＝90°，
∴cs∠AFH＝eq \f(AF,HF)＝eq \f(1,2).
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 连接D1M，则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影，在正方形DCC1D1中，∵M，N分别是CD，CC1的中点，∴D1M⊥DN，由三垂线定理得A1M⊥DN.即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
11．在三棱锥S－ACB中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29)，则SC与AB所成角的余弦值为____________．
答案 eq \f(\r(17),17)
解析 如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DE∥AB，在平面SBC内作EF∥SC，则异面直线SC与AB所成的角为∠FED，过F作FG⊥AB，连接DG，则△DFG为直角三角形．
由题知AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29)，可得DE＝eq \f(\r(17),2)，EF＝2，DF＝eq \f(5,2)，在△DEF中，由余弦定理可得cs∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq \f(\r(17),17).
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
点击观看解答视频
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解 (1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°.
在Rt△AOB中，∵AB＝2，∴BO＝AB·sin30°＝1.
在Rt△POB中，∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq \r(3)，
∵底面菱形的面积S＝2×eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×eq \r(3)＝2.
(2)如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF.∵E为PB中点，
∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．
在Rt△AOB中，
AO＝AB·cs30°＝eq \r(3)＝OP，
∴在Rt△POA中，PA＝eq \r(6)，∴EF＝eq \f(\r(6),2).
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq \r(3)，由余弦定理得cs∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)
＝eq \f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq \f(\f(6,4),3\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
能力组
13.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l( )
A．与m、n都相交
B．与m、n至少一条相交
C．与m、n都不相交
D．至多与m、n中的一条相交
答案 B
解析 若l与m、n都不相交，则l∥m，l∥n.
∴m∥n与已知矛盾，故C、D不正确．
A中与m、n都相交，也不一定，如l∥m，n与l相交于一点．
14．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 分别取AB，AA1，A1C1的中点D，E，F，则BA1∥DE，AC1∥EF.
所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，
设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝eq \r(2)，DF＝eq \r(6)，
由余弦定理得，
cs∠DEF＝eq \f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝－eq \f(1,2)，
则∠DEF＝120°，从而异面直线BA1与AC1所成的角为60°.
15．如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)
C.eq \r(3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 A
解析 由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段，AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在Rt△DAE中，DE＝eq \r(2)，由于O是中点，在Rt△ABC中可以求得AO＝eq \r(2)，
在直角三角形DAO中可以求得DO＝eq \r(3).在△DOE中，由余弦定理得cs∠DOE＝eq \f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，故所求余弦值为eq \f(\r(3),3).
16．如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
(1)①求证：AE与PB是异面直线；
②求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A－EBC的体积．
解 (1)①证明：假设AE与PB共面，设平面为α，
∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，
∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线．
②取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
∴AF＝eq \r(3)，AE＝eq \r(2)，EF＝eq \r(2)，
cs∠AEF＝eq \f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,4)，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为eq \f(1,4).
(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为eq \f(1,2)PA＝1，
VA－EBC＝VE－ABC＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2×\f(\r(3),2)))×1＝eq \f(\r(3),3).