2021年高考艺术生数学基础复习 考点32 对数函数（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点32 对数函数（教师版含解析），共19页。教案主要包含了对数函数的定义域，对数函数的单调性，对数函数的值域，对数函数的定点等内容，欢迎下载使用。
对数函数的概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
y＝lgax的3个特征
(1)底数a>0，且a≠1
(2)自变量x>0
(3)函数值域为R
三．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
四．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
考向分析
考向一 对数函数辨析
【例1】(2020·全国课时练习)下列函数为对数函数的是( )
A．y＝lgax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝lga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝lg(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2lgax(a＞0且a≠1)
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所以函数且是对数函数，而选项A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数函数.故选：C.
【举一反三】
1．(2020·全国单元测试)下列函数是对数函数的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由对数函数的定义：形如且的形式，则函数为对数函数，只有D符合.
故选D
2．(2021·全国高一)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B
3．(2020·全国练习)下列函数，是对数函数的是
A．y=lg10xB．y=lg3x2
C．y=lnxD．y=lg(x–1)
【答案】C
【解析】由对数函数的定义，形如y=lgax(a>0，a≠1)的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，
y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．
考向二 对数函数的定义域
【例2】(1)(2020·云南省保山第九中学高三开学考试(理))函数的定义域是( )
A．B．C．D．
(2)(2021·湖北鄂州市·高一期末)已知的定义域为，那么的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】(1)A(2)A
【解析】对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域是.故选：A.
(2)由条件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范围是.故选：A
【举一反三】
1．(2021·四川资阳市)已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知函数的定义域为，对于函数，有，
即，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.
2.(2021·广西期末)函数的定义域为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知解得且.所以函数的定义域为故选：D
3．(2021·全国高一课时练习)函数的定义域是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题可得，，解得．所以函数的定义域是．故选：D．
4．(2021·全国练习)函数的定义域是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以的定义域是故选：A
考向三 对数函数的单调性
【例3-1】(2021·四川高一开学考试)函数的单调递增区间为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，函数应满足：，解得：；
而在上单增，在上单减；
∵是减函数，
∴的单调递增区间为
故选：D
【例3-2】(2021·吴县中学)函数在上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则要使在上单调递增，
则满足，即，得，
即实数的取值范围是，
故选：．
【例3-3】．(2021·浙江)已知，，，则，，的大小关系是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即；
，即；
，即，
所以.
故选：A
【方法总结】
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
【举一反三】
1．(2021·重庆北碚区·西南大学附中)函数的单调递增区间是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，
因此，函数的单调递增区间为.
故选：D.
2．(2021·广东广州市·高三二模)已知，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，即；
，即.
所以.
故选：D
3．(2021·陕西西安市·西安中学高三月考(理))设函数，则使得成立的x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，可得是偶函数，
所以等价于
当时，
因为单调递增，单调递减，
所以为单调递增函数，
所以，即，整理可得，
解得：或，
所以使得成立的x的取值范围是，
故选：B
4．(2021·广东珠海市)已知，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，则，
所以，
故选：B
5．(2021·湖北开学考试)已知，，，则下列关系正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，故选：D．
8．(2021·全国)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：
在上是单调增函数，且，所以，所以，
故选:C．
9(2021·全国课时练习)函数在区间内单调递增，则的取值范围( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
因为函数在区间内单调递增，
所以t在上递减，且恒成立,
即，且，
解得，又，即，
所以，
所以的取值范围，
故选：C
考向四 对数函数的值域
【例4-1】(2021·广西玉林市)若函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，函数的值域包含，当时，符合题意；
当时，则，解得；
当时，显然不符合题意，故实数的取值范围是．
故选：A.
【例4-2】(2021·贵州毕节市)已知函数的值域为，则实数a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
【举一反三】
1．(2021·重庆)已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
故选：D.
2．(2020·新疆乌鲁木齐市·乌鲁木齐101中学)求下列函数的定义域与值域：
(1)；
(2).
【答案】(1)定义域是，值域是；(2)定义域是，值域是.
【解析】(1)对于函数，有，可得，
由于，则，
因此，函数的定义域为，值域是；
(2)，，则，
因此，函数的定义域是，值域是.
考向五 对数函数的定点
【例5】(2021·四川开学考试)函数(，且)的图象一定经过的点是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．
【举一反三】
1．(2020·平罗中学)函数的图像一定经过点( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当，即时，，即函数的图象一定经过点.故选：B.
2．(2020·平罗中学)函数的图象过定点( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为对数函数且过定点，
函数可以由数向左平移个单位，再向上平移个单位得到，
故函数的图象过定点
故选：D.
3．(2020·河南信阳市)函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则( )
A．2B．3C．8D．9
【答案】D
【解析】由可得当时，，，
设，则，解得， 于是，∴.故选：D.
强化练习
一、单选题
1．(2021·全国课时练习)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为( )
A．B．
C．或D．不确定
【答案】A
【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选：A．
2．(2021·全国课时练习)已知函数(且)的图象必经过定点P，则P点坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．故选：C．
3．(2020·全国课时练习)下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lg3(x＋1)B．y＝lga(2x)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx
【答案】D
【解析】形如的函数为对数函数，只有D满足.故选D.
4．(2021·江苏盐城市·高三一模)已知函数的定义域为集合M，函数的值域为N，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，故.故选:C.
5．(2021·安徽高三一模(理))已知函数f(x)=e|lnx|，，b=f(lg2)，c=f(21.2)，则( )
A．b>c>aB．c>b>a
C．c>a>bD．b>a>c
【答案】B
【解析】
所以故选：B
6．(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的大小关系是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由指数幂与对数的运算公式，可得，
因为，可得，所以，即，
所以，即，
又由，即，所以.故选：C.
7．(2021·四川开学考试)已知，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由对数的运算性质可知：，
，，所以，故选：A.
8．(2021·湖南永州市·高三二模)已知，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,,因为，所以故
故选：D
9．(2021·陕西西安市·西安中学高三月考(文))设，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以．故选：A．
10．(2021·云南师大附中高三月考(文))已知，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，故选：B.
11．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考(理))函数的单调递减区间为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
所以函数的定义域为.
因为函数在上为减函数，为增函数，
所以的单调递减区间为.
故选：D
12．(2021·湖北开学考试)已知函数(且)的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则( )
A．B．2C．1D．
【答案】C
【解析】函数中，令，解得，此时；
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，
所以．
故选：C．
13．(2020·全国高三专题练习)已知对数函数，则______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
14．(2020·全国课时练习)若函数y＝(a2－3a＋3)lgax是对数函数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：，
据此可得：.
15．(2020·全国高一课时练习)函数的定义域为____________；单调增区间____________；单调减区间____________；值域是____________．
【答案】
【解析】由，解得，所以函数的定义域为；
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递减，
所以函数的减区间是，增区间为；
因为，所以，
以为在上是减函数，且，
所以函数的值域为；
故答案为：①；②；③；④.
16．(2020·天津经济技术开发区第一中学高一月考)函数的值域是________.
【答案】
【解析】解：由题可知，函数，
则，解得：，
所以函数的定义域为，
设，，
则时，为增函数，时，为减函数，
可知当时，有最大值为，
而，所以，
而对数函数在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴函数的值域为.
故答案为：.
17．(2020·陕西省子洲中学高三月考(文))函数的值域为_____.
【答案】
【解析】当时，，则，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
18．(2020·福建省厦门第六中学高一期中)函数的值域是________.
【答案】
【解析】由，解得，即函数的定义域为
令，则
，
即函数的值域是
故答案为：
19．(2021·寿县第一中学高一开学考试)不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，即，因为，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集为
故答案为：
20．(2020·河南高二月考(文))函数在单调递减，则的范围是___________.
【答案】
【解析】令，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
由于函数在区间上为减函数，
外层函数为增函数，则内层函数在区间上为减函数，
所以，，且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
21．(2021·湖北宜昌市·高三期末)若函数的图像过定点P，且点P在幂函数的图像上，则__________．
【答案】
【解析】令，得，此时，故，
代入幂函数解析式，有，即，解得，
所以，所以.
故答案为：.
22．(2021·山东滨州市·高一期末)已知函数且，且的图象恒过定点，则点的坐标为_________.
【答案】
【解析】令，则，，即图象过定点．
故答案为：底数
a>1
00；
当0