2021年高考艺术生数学基础复习 考点33 幂函数（教师版含解析）

考点33  幂函数

一．幂函数的概念

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征

(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数

(2)xα的系数为1

(3)只有一项

二．五种常见幂函数的图象与性质

考向一  幂函数的定义

【例1】(2021·四川资阳市)已知幂函数的图象过点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】幂函数的图象过点，则，解得：，故选：B.

【举一反三】

1．(2020·四川达州市)如果幂函数的图象经过点，那么的值是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将点代入可得，即，可得：，解得：，故选：D

2．(2021·福建三明市)若幂函数的图象过点，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设幂函数，

因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以，故选：D

3．(2021·浙江丽水市)已知幂函数的图象经过点，则_______.

【答案】

【解析】由函数为幂函数，可知，故，

由函数图象经过点，所以，即，故，故答案为：

考向二 幂函数的定义域值域

【例2】(2020·全国课时练习)(1)函数的定义域是_____，值域是_____；

(2)函数的定义域是____，值域是_____；

(3)函数的定义域是______，值域是_____；

(4)函数的定义域是_____，值域是______.

【答案】R                               

【解析】(1)的定义域是，值域是；

(2)的定义域是，值域是；

(3)的定义域是，值域是；

(4)的定义域是，值域是；

故答案为：；；；；；；；．

【举一反三】

1．(2020·全国课时练习)在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个.

【答案】3

【解析】①的定义域为，值域为.

②的定义域为，值域为.

③的定义域为，值域为.

④的定义域为，值域为.

⑤的定义域为，值域为.

⑥的定义域为，值域为.

故定义域与值域相等的有①, ②和⑤

故答案为：3

2．(2020·全国课时练习)已知幂函数，该函数的值域为_________.

【答案】

【解析】根据幂函数的定义，得，函数为，由图象得函数的值域为，故答案为：．

3．(2020·全国高一课时练习)5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是(    )

A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤

【答案】C

【解析】①的定义域为，

②的定义域为R，

③的定义域为，

④的定义域为R，

⑤的定义域为，

故选：C.

考向三 幂函数的性质

【例3-1】(2021·河北邯郸市)已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为(    )

A． B． C．1 D．或1

【答案】A

【解析】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，故选：A

【例3-2】．(2020·河南高三期中)已知幂函数为奇函数，则实数的值为(    )

A．4或3 B．2或3 C．3 D．2

【答案】D

【解析】是幂函数，，解得或3，

当时，为奇函数；当时，为偶函数，∴.故选：D.

【例3-3】．(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，，，

因为在单调递增，所以，即，

因为在上单调递增，，所以，即，

所以，即故选：D.

【举一反三】

1．(2021·繁昌县第一中学)已知幂函数是偶函数，则________.

【答案】

【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或.

当时，，函数为奇函数，不合题意；

当时，，函数为偶函数，所以.

故答案为：.

2．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.

【答案】0

【解析】为幂函数， ，解得：或；

当时，，是偶函数，满足题意；

当时，，是奇函数，不满足题意；

综上所述：；故答案为：0.

3．(多选)(2020·全国课时练习)已知幂函数(m，，m，n互质)，下列关于的结论正确的是(    )

A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数

B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数

C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数

D．时，幂函数在上是减函数

E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为

【答案】ACE

【解析】，

当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；

当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误

当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；

时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；

当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.

故选：ACE.

4．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)已知，，，则的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵， ∴，

，,∴故选：B

5．(2021·重庆九龙坡区·高一期末)已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为上的减函数，故，故，

又为上的增函数，故，故，

而为上的增函数，故，故，

故，故选：B.

考向四  幂函数的图像

【例4】(2021·山东滨州市)已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由图象可知，当时，，则故选：B

【举一反三】

1．(2021·浙江)幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数，，的图像如图所示，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图象可得曲线①为对数函数，在定义域为为增函数，则，

曲线②为指数函数，为减函数，则

曲线③为幂函数，在上为减函数，则

所以

故选：A

2．(2020·福建宁德市)已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是(    )

A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②

【答案】D

【解析】①：函数是实数集上的增函数，且图象过点，因此从左到右第三个图象符合；

②：函数是实数集上的减函数，且图象过点，因此从左到右第四个图象符合；

③：函数在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；

④：函数在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，

故选：D

3．(2021·西安高新唐南中学)在同一直角坐标系中，函数的图象可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数，与，

选项A：没有幂函数图像；

选项B：中，中，不符合；

选项C：中，中，不符合；

选项D：中，中，符合.

故选：D.

4．(2020·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中)函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图可知，单调递增，则；单调递减，则，

A：0不一定成立，如；

B：不一定成立，如；

C：，成立；

D：不成立，，，.

故选：C.

1．(2021·湖北鄂州市)“函数是幂函数”是“函数值域为”的(      )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】“函数是幂函数”等价于：，即，故或，即取值集合为；

“函数值域为”等价于：中，且，

即，故，即取值集合为.

故是的真子集，“或”是“”的必要不充分条件，即“函数是幂函数”是“函数值域为”的必要不充分条件.

故选：B.

2．(2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=(    )

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】由幂函数定义，，

解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A．

3．(2021·陕西榆林市·高三一模)下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；

②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；

③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；

④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；

故选：C.

4．(2020·全国课时练习)设，则使函数的定义域为且函数为奇函数的所有的值为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，偶函数，不符合题意；时，函数解析式为满足题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意；时，函数解析式为，定义域为，不符合题意.

故选：C.

5．(2020·全国课时练习)已知幂函数的图像过点，则 的值域是(   )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】幂函数的图像过点，，解得，，

的值域是.故选：D.

6．(2021·内蒙古包头市)已知函数(，且)的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由得，，即定点为，

设，则，，所以，图象为B．

故选：B．

7．(2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试)在同一个直角坐标系下，函数，，且)图象可能是(    )

A．B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质，可得：

当时，函数为定义域上的单调的递减函数，

函数为定义域上的单调递增函数且上凸，所以ACD项不符合，B项符合；

当时，函数为定义域上的单调的递增函数，

函数为定义域上的单调递增函数且下凸，所以ABCD项都不符合.

故选：B.

8．(2020·湖北高三学业考试)已知函数，，的图像如图所示，则(    )

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

【答案】D

【解析】由的图象关于轴对称可知为偶函数，故，

由的图象可知，为非奇非偶函数，故，

由的图象关于原点对称可知为奇函数，故.

故选：D

9.(2021·全国高一)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(    )

A．①，②，③，④ B．①，②，③，④

C．①，②，③，④ D．①，②，③，④

【答案】B

【解析】对于图①，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上递增，故只有符合；

对于图②，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；

对于图③，函数的定义域为，且为增函数，故符合；

对于图④，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合.

故选：B．

10．(2021·湖北武汉市·高三月考)设，，，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

所以，故有.故选：C

11．(2021·江苏南通市·高三期末)已知，，，则，，的大小关系为(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

，，.故选：B.

12．(2021·江西宜春市·高安中学)设实数满足， 则的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解：因为，函数在上为减函数，

所以，

因为在上为增函数，所以，

因为在上为减函数，所以，所以，故选：B

13．(2021·四川凉山彝族自治州)已知幂函数，满足在为减函数，则的值为(    )

A．或 B． C． D．

【答案】C

【解析】由于幂函数在为减函数，

所以，，解得.故选：C.

14．(2021·云南玉溪市)已知幂函数，在上是减函数，则的值为(    )

A． B． C． D．或

【答案】A

【解析】因为幂函数，在上是减函数，

所以，，解得.故选：A.

15．(2021·江西赣州市·高三期末(理))若，，，其中为自然对数的底数，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数在上单调递增，所以；

，由时，，即在单调递减，故，即，从而得故.故选：A

16．(2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试)若幂函数的图象经过点，则__________.

【答案】

【解析】由题知：，，所以..故答案为：.

17．(2021·新疆乌苏市第一中学)若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为________.

【答案】

【解析】函数是幂函数，则，解得，

又，则，解得，即

令，解得，则的单调增区间为

故答案为：

18．(2021·重庆高一期末)已知函数是幂函数，则实数=___________.

【答案】

【解析】因为是幂函数，所以，解得，故答案为：

19．(2021·上海上外浦东附中)已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

【答案】

【解析】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，

又，即，的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为：.

20．(2021·山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为____________.

【答案】

【解析】时，，所以函数图象恒过定点．

故答案为：．

21．(2021·沙坪坝区·重庆一中)已知幂函数在区间上单调递减，则___________.

【答案】

【解析】由题意，解得或，

又函数在区间上单调递减，则，∴．故答案为：．

22．(2021·湖南衡阳市八中高一期末)若幂函数在单调递减，则___________

【答案】

【解析】为幂函数故，故或

或在单调递减，故故答案为：

23．(2021·贵溪市实验中学高三一模)函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．

【答案】

【解析】因为函数是幂函数，

所以，即，解得或，

当时，，是奇函数，满足条件；

当时，，是偶函数，不满足条件；

故.

故答案为：

24．(2020·湖南娄底市)已知幂函数的图象关于原点对称，则满足的实数的值构成的集合为_________.

【答案】

【解析】根据幂函数的定义，可得，解得或，

当时，函数，此时函数为为偶函数，不符合题意；

当时，函数，此时函数为奇函数，符合题意，

又由不等式可转化为等价于，解得.

即实数的值构成的集合为.

故答案为：.

259．(2020·上海高一课时练习)研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．

(1)；     

(2)；     

(3)；     

(4)．

【答案】(1)定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；

（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；

（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；

(4)定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析

【解析】(1)，设，的定义域为，

因为，所以值域为：

显然，为偶函数，

在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.

(2)，设，定义域：，

由，所以值域：，

由，所以奇函数，

在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.

(3)，设，所以定义域；R；值域：R；

由，所以奇函数，

在中，，在上单调递增.

(4)，设，由得定义域：值域：

因为定义域：，所以非奇非偶函数；

在中，，定义域为，所以在上单调递增；