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2021年高考艺术生数学基础复习 考点44 双曲线(学生版)
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这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点44 双曲线(学生版),共12页。教案主要包含了直线与曲线的位置关系,弦长,离心率与渐近线等内容,欢迎下载使用。
考点44 双曲线一.双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.三.双曲线的几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:x轴,y轴对称中心:(0,0)对称轴:x轴,y轴对称中心:(0,0)顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长A1A2=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长B1B2=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 四.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程.例:由消去y,得ax2+bx+c=0.(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则:Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.考向一 双曲线的定义【例1-1】(2021·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左、右焦点分别为、,若点在的右支上,且,则( )A.3 B.5 C. D.【例1-2】.(2020·河北张家口市)已知,动点P满足,当分别为4和12时,点P的轨迹分别为( )A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线【例1-3】.(2021·全国课时练习)已知F1,F2分别为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于________.【举一反三】1.(2021·上海普陀区)设P是双曲线上的点,若,是双曲线的两个焦点,则( )A.4 B.5 C.8 D.102.(2021·上海市)已知两点和,动点满足,则动点的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.一条射线 D.双曲线的右支3.(2021·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中,,,(),若点的轨迹为双曲线,则的取值范围是( )A. B. C. D.4.(2021·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则的面积为____________考向二 双曲线的标准方程【例2-1】(2021·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【例2-2】.(2021·全国课时练习)过点(1,1),且的双曲线的标准方程是( )A. B.C. D.或 【举一反三】1.(2021·海原县第一中学)根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)焦点在轴上,离心率,求双曲线的标准方程;(2),,焦点在轴上,求双曲线的标准方程. 2.(2021·浙江)已知曲线,( )A.若E表示双曲线,则 B.若,则E表示双曲线C.若E表示椭圆,则 D.若且,则E表示椭圆3.(2021·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的( )A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件考向三 直线与曲线的位置关系【例3】(2021·全国课时练习)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,求实数k的取值范围. 【举一反三】1.(2021·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线,则为何值时,直线与双曲线有一个公共点? 2.(2021·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点,则的取值有( )个A. B. C. D.3.(2021·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点,则符合条件的直线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条考向四 弦长【例4】(2020·全国高三专题练习)直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为( )A. B. C. D.【举一反三】1.(2020·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为,,则( )A.2 B. C.4 D.2.(2021·全国高三专题练习)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C:-y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|=( )A.2 B.2C.3 D.4考向五 离心率与渐近线【例5】(2021·浙江湖州市)双曲线的离心率是_______,渐近线方程是_______.(两条都写出)【举一反三】1.(2021·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是___________;离心率为___________.2.(2021·湖北高三一模)已知分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在一点满足,则该双曲线的离心率为___________.3.(2020·河北张家口市)已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点,且,则双曲线的离心率为_____________. 1.(2021·甘肃高三一模(文))设,是双曲线的左、右焦点,一条渐近线方程为,为双曲线上一点,且,则的面积等于( )A. B. C. D.2.(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文))点为双曲线右支上一点,分别是双曲线的左、右焦点,若,则双曲线的一条渐进方程是( )A. B. C. D.3.(2021·云南高三其他模拟(理))设双曲线:的左、右焦点分别为,,若为右支上的一点,且,则( )A. B. C.2 D.4.(2021·江西赣州市·高三期末(理))已知双曲线的离心率为,则实数的值为( )A.1 B. C. D.1或5.(2021·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线,那么k的取值范围是( )A. B. C.或 D.6.(2021·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线,则的取值范围是( )A.或 B.C.或 D.7.(2021·全国单元测试)焦距为10,且的双曲线的标准方程为( )A. B.C. D.或8.(2021·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点,则双曲线的方程为( )A. B.C. D.9.(2021·安徽)已知双曲线:经过点,则的渐近线方程为( )A. B.C. D.10.(2021·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上,焦距为4,且一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程是( )A. B. C. D.11.(2021·宁夏银川市·银川一中)已知两定点,曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为( )A. B. C. D.12.(2021·全国高三月考(理))已知双曲线的一个顶点坐标为,且该双曲线的离心率是,则( )A. B. C. D.13.(2021·全国高三月考(文))若双曲线的离心率等于,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B.C. D.14.(2021·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10,则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.15.(2021·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为,双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.16.(2020·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有( )条.A.1 B.2 C.3 D.417.(多选)(2020·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是( )A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线18.(多选)(2021·广东东莞市)已知曲线,则下列选项正确的是( )A.,曲线表示椭圆B.,曲线表示椭圆C.,曲线表示双曲线D.,曲线表示双曲线19.(多选)(2021·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点,则双曲线离心率可能为( )A. B. C. D.20.(多选)(2020·武冈市第二中学)已知直线过点,且与双曲线仅有一个公共点,则直线的方程可能为( )A. B.C. D.21.(2021·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为,则( )A.的焦点在轴上 B.的虚轴长为2C.直线与相交的弦长为1 D.的渐近线方程为22.(2021·广西玉林市)已知双曲线的左、右焦点分别是,,点关于,对称的点分别是,,线段的中点在双曲线的右支上,则___________.23.(2021·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线,则的取值范围___________.24.(2021·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.25.(2020·北京人大附中高三月考)若直线l:与双曲线C:有两个公共点,则实数的取值范围是__________.26.(2021·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________.27.(2021·河南新乡市)过双曲线:的右焦点作圆:的切线,此切线与的右支交于,两点,则___________.28.(2020·全国课时练习)已知双曲线:的一条渐近线方程是,过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于,两点,则截得的弦长________.29.(2020·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1,作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B,则|AB|=_____.30.(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点,且与双曲线C交于A,B两点,则_________.31.(2021·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为,,点,则双曲线的渐近线方程为__________;__________.32.(2021·全国课时练习)已知曲线C:x2-y2=1和直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A、B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. 33.(2021·六安市裕安区新安中学)已知双曲线及直线.(1)若与有两个不同的交点,求实数的取值范围.(2)若与交于,两点,且线段中点的横坐标为,求线段的长. 34.(2020·福建福州)双曲线C:,过点,作一直线交双曲线于A、B两点,若P为的中点.(1)求直线的方程;(2)求弦的长 35.(2021·全国高三专题练习)过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l,交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线的离心率和渐近线;(2)求的长.
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