2021年高考艺术生数学基础复习 考点01 方程与不等式的解法（教师版含解析）

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考点01  方程与不等式的解法一．一元二次方程1.概念：只含有一个未知数且未知数项的最高次数为2的其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是；c是2.解一元二次方程的方法(1)直接开方：(2)提公因式：(3)求根公式：(4)十字相乘：二、一元二次不等式的解集1.一元二次不等式的解法(1)根据解一元二次方程方法选择方法求根(2)看二次项系数大于0或小于0，选择图像(3)根据图像选择取中间还是取两边2.一元二次不等式(a>0)的图像判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c=0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅三．绝对值不等式四．分式不等式考向一 一元二次方程【例1】解方程(1)(y－1)2－9=0                            (2)x2－4x－45=0(3)x(x－4)=－3(x－4)                         (4)3x2＋6x－5=0 (5)(x＋3)2=2x＋5                               (6)(2x＋1)(x－3)=－6【答案】(1)；(2)；(3) ；(4)；(5)；(6)【解析】(1)(y－1)2－9=0 移项得(y－1)2＝9，开平方得y－1＝±3，∴y－1＝3或y－1＝－3，解得y1＝4，y2＝－2；(2)x2－4x－45＝0因式分解得(x−9)(x＋5)＝0，∴x−9＝0，x＋5＝0， 解得x1＝−5，x2＝9；(3)x(x－4)＝−3(x－4)移项得x(x－4)＋3(x－4)＝0，因式分解得(x－4)(x＋3)＝0，∴x－4＝0，x＋3＝0，解得x1＝4，x2＝−3；(4)3x2+6x-5=0∵a＝3，b＝6，c＝-5，∴△＝b2−4ac＝36＋60＝96，∴，解得，；(5)(x＋3)2＝2x＋5方程可化为x2＋6x＋9−2x−5＝0，即x2＋4x＋4＝0，分解因式得(x＋2)2＝0，解得x1＝x2＝−2；(6)(2x＋1)(x−3)＝−6方程可化为2x2−5x＋3＝0，分解因式得(2x−3)(x−1)＝0，∴2x−3＝0，x−1＝0，解得x1＝1，x2＝．【举一反三】1．用适当方法解下列方程．(1)x2-6x+9=(5-2x)2                (2)2x2-3x-6=0              (3)(x-3)(x-4)=5x          (4)2(5x-1)2=3(1-5x)       (5)3(x＋1)2＝27；　　　　    (6)2x2＋6＝7x；(7)3x(x－2)＝2(2－x)；　 (8)y2－4y－3＝0.【答案】(1)x1=，x2=2；(2)x1=，x2=；(3)x1=，x2=；(4)x1=，x2=(5)x1＝2，x2＝－4.(6)x1＝2，x2＝；(7)x1＝－，x2＝2；(8)y1＝2＋，y2＝2－.【解析】(1)x2-6x+9=(5-2x)2∴(x-3)2=(5-2x)2，∴x-3=5-2x或x-3=2x-5，解得x1=，x2=2；(2)2x2-3x-6=0∴a=2，b=-3，c=-6，∴△=(-3)2-4×2×(-6)=57＞0，则x=，
即x1=，x2=；(3)(x-3)(x-4)=5x  ∴a=1，b=-12，c=12，
∴△=(-12)2-4×1×12=96＞0，则x=，即x1=，x2=；(4)2(5x-1)2=3(1-5x) ，，解得，x1=，x2=．(5)原方程可化为(x＋1)2＝9，∴x＋1＝±3，∴x1＝2，x2＝－4.(6)原方程可化2x2－7x＋6＝0，a＝2，b＝－7，c＝6，b2－4ac＝(－7)2－4×2×6＝1>0，∴x＝=，∴x1＝2，x2＝；(7)    原方程可化为3x(x－2)－2(2－x)＝0，∴3x(x－2)＋2(x－2)＝0，即(3x＋2)(x－2)＝0，∴x1＝－，x2＝2；(8)原方程可化为y2－4y＝3，∴y2－4y＋4＝7，∴(y－2)2＝7，∴y－2＝±，∴y1＝2＋，y2＝2－.考向二 一元二次不等式【例2】(2020·黑龙江)解下列不等式(1)        (2).     (3)(4)           (5)        (6)【答案】(1)(2)(3)(4)或；(5)；(6)不等式无解【解析】(1)，所以不等式的解集为.故答案为：（2）原不等式可化为，由于，方程的两根为，，∴不等式的解集为.(3)所以不等式的解集为.(4)不等式可化为，∴不等式的解是或.(5)不等式可化为，∴不等式的解是.(6)不等式可化为．∴不等式无解.【举一反三】解下列不等式：(1)；         (2)；           (3)．(4)；           (5)；       (6).(7).          (8).             (9).(10).【答案】(1)；(2)；(3)或.(4)或；(5)；(6)或.(7)或；(8)；(9)或；(10)；【解析】(1)由题意，不等式，可化为，所以不不等式的解集为；(2)由题意，可得，所以不等式的解集为；(3)由不等式，可化为，即，所以不等式的解集为或.(4)不等式即为，解得或，因此，不等式的解集为或；(5)不等式即为，解得，因此，不等式的解集为；（6）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.（7）原不等式等价于，解得不等式的解集为：或；(8)由于，并且开口向上，故原不等式的解集为空集；(9)原不等式等价于，即，解得不等式的解集为：或；(10)由，解得不等式的解集为：； 考向三 绝对值不等式【例3】(1)(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)因为所以或，或，所以不等式的解集为(2)或，解得或，所以不等式的解集为；(3)，解得，所以不等式的解集为；【举一反三】解下列不等式(1)；   (2).(3)； (4).(5)  【答案】(1)(2)(3)；(4)(5)【解析】(1)，，即，不等式的解集是.(2)，或，或.原不等式的解集为.(3)原不等式可化为.解不等式，得.(4)原不等式可化为.两边平方，得.解不等式组，得.(5)∵，∴，即，解得：或，即不等式的解为.考向四 分式不等式【例4】解下列不等式：(1)；       (2)           (3).(4)；        (5)；        (6)．【答案】(1)；(2)(3)或.(4)(5)(6)【解析】(1)等价于，解得，∴原不等式的解集为.(2)由题意，不等式可转化为或，解得或，所以不等式的解集为. (3)∵，∴，∴，即.此不等式等价于且x－≠0，解得或，∴原不等式的解集为或. (4)移项、通分，，此不等式与不等式组的解集相同．解不等式组，得．(5)将原不等式转化为同解的整式不等式，即，所以原不等式解集为．(6)移项、通分，得．转化为整式不等式组或．解不等式组，得或．∴不等式的解集为．【举一反三】解下列不等式(1)  (2)  (3)  (4)(5)； (6).【答案】(1) (2){x|x≤－1或x>3} (3)(4)(5) 或；    (6) 或.【解析】(1)由题意，原不等式可化为，解得，所以不等式的解集为.(2)不等式可转化成不等式组，解得x≤－1或x>3，原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．(3)解得或故不等式的解集为(4) ，即 ，解得： ，不等式的解集是.(5)即所以不等式的解集为：或；(6)即等价于且所以不等式的解集为：或.一．解下列方程(1)     (2)     (3)；(4)        (5)                  (6)(7)        (8)；       (9)．(10)     (11)           (12) 【答案】(1)或；(2)或(3)；(4)．（5）；(6)(7)，(8)，；(9)，(10)(11)，   (12)，【解析】(1)由可知：∴即或．(2)由可知：从而可得：∴，．(3)，，∴，；(4)，，，，∴，．(5)解得：                   (6)或解得：．(7)(8)．．．．，；(9)∵，，，∴，∴．即，．（10），解得：．（11）(1)   ∴x+2=0或x-4=0∴，(12)∴x-2=0或2x-6=0，． 二．解下列一元二次不等式(1)             (2)        (3)；(4).         (5)         (6)(7)             (8)        (9)(10)(11)；      (12)；【答案】(1)；(2)(3)；(4).(5)或(6)或（6）{或}；(8)；(9)；(10).(11)；(12)或【解析】(1)不等式可化为，解得，所以不等式的解集为；(2)不等式中，，所以不等式的解集为．(3)原不等式可化为，∵，∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为.(4)原不等式可化为，∵，∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为.(5)由得，即，解得或，所以不等式的解集为或；(6)，∴不等式的解集为或.(7)不等式可化为，解得或，所以该不等式的解集为或；(8)不等式，因式分解得，可得不等式的解集为.(9)不等式，即，对应的方程的根为，可得不等式的解集为.(10)不等式，化简得，可得不等式的解集为.(11)由得，则，即不等式的解集为；(12)由得，解得或，即原不等式的解集为或三．解绝对值不等式（1）          (2)          (3)(4)             (5)          (6)【答案】(1)(2)(3)或.(4)(5)或(6)【解析】(1)由得，所以，则，所以原不等式的解集为；(2)或， 解得或，所以不等式的解集为.(3)当时，原不等式恒成立；当时，原不等式两边平方，得，令，则，解得或，又，有或.综上，原不等式的解集为或.(4)由得，解得，故原不等式的解集为.(5)由，可得或，解得或，解集为或；(6)因为，所以或，解得；解得，即原不等式的解集为四．解分式不等式（1）             (2).             (3)(4)             (5)                    (6) (7)              (8)                      (9) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)或(8)(9)【解析】(1)由，得，即，或，得或，得或，即不等式的解集为．(2)因为.所以. 所以.    所以.                            经检验，是原方程的解.∴原方程的解是.(3)由得，即，即，解得，即不等式的解集为；(4)(1)，即，解得：，不等式的解集是；(5)，解得或，所以不等式的解集为.(6)，即，，即且，∴不等式的解集为.(7)，，，或，即原不等式的解集为或；（7）∵，∴，即，所以且解得：或，故不等式的解集是.(9)由整理可得：，等价于，解得：，解集为：.