2021年高考艺术生数学基础复习 考点39 利用导数求极值最值（教师版含解析）

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考点39 利用导数求极值最值
知识理解

一．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
（3） 注意事项
①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点
二．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
考向分析
考向一 求极值
【例1】(2021·全国课时练习)函数在上的极大值点为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的导数为，
因为，由，可得，解得.
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以使得函数取得极大值的的值为，
故选：C.
【方法总结】
利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数的定义域；
（2）求导；
（3）解方程，当；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
【举一反三】
1．(2021·石泉县石泉中学)函数的极小值为( )
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，单调递增；
当或时，，单调递减；
所以当时，函数取得极小值，
极小值为.
故选：A.
2．(2021·河南新乡市)已知函数的图象在处的切线方程为，则的极大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为函数在图象在处的切线方程为，
所以，，解得，.
由，，，，，知在处取得极大值，.故选：A.
考向二 已知极值求参数
【例2】(2021·福建南平市)已知是函数的极小值点，则函数的极小值为( )
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】由题意，函数，可得，
因为是函数的极小值点，
则，即，解得，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当是函数的极小值点，所以函数的极小值为.故选：B.
【方法总结】
解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．


【举一反三】
1．(2020·全国课时练习)若函数的极小值点是，则的极大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
所以，解得，故，
可得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为．故选：C.
2．(2020·安徽省太和第一中学)若函数的极值为，则实数的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得.
当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值；
当时，令，可得，此时函数单调递减；
令，可得，此时函数单调递增.
所以，函数的极小值为，
令，则且，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，，由于，.
故选：D.
3(2021·全国课时练习)若函数在处取得极小值，则a=__________．
【答案】2
【解析】由可得，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得或，
若，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；
综上：.
故答案为：2.
4．(2021·全国高二课时练习)已知函数，当时函数的极值为，则__________．
【答案】
【解析】已知函数,
所以 ,
由题意知 ， ，
即解得或
当时,
此时函数在上是增函数,函数没有极值,不合题意;
当时,
令,解得,
当或时, ;
当时, ;
所以函数在和上是增函数,
函数在上是减函数,
当时取得极大值,符合题意,
所以,所以
所以.故答案为:


考向三 求最值
【例3】(2021·江苏单元测试)函数在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，故选：A
【方法总结】
导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．


【举一反三】
1．(2021·全国课时练习)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【解析】令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以故选：A.
2.(2021·平罗中学)已知在与时取得极值．
(1)求的值；
(2)求的极大值和极小值；
(3)求在上的最大值与最小值.
【答案】(1)；(2)，；(2)，
【解析】解：因为，所以，因为在与时取得极值．所以，，即，解得
所以，
(2)由(1)得
令得或，令得，即函数在和上单调递增，在上单调递减，
故函数在取得极大值，在处取得极小值，所以，
(3)由(2)知函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以函数在上的最大值为与最小值为
3．(2021·天津河西区)已知函数.
(1)求的极值；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)极大值为，极小值为；(2)最大值为4，最小值为.
【解析】(1)，
令，解得或，
当x变化时，，的变化情况如下表：




2



0

0



极大值

极小值

故当时，取得极大值，；当时，取得极小值，；
(2)由(1)可知的极大值为，极小值为，
又，，
因为，所以在上的最大值为4，最小值为.
考向四 已知最值求参数
【例4】(2021·南昌市新建一中)已知函数在处取得极小值，则在的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
由题意可得，解得，则，
，令，可得或，列表如下：














极大值

极小值

所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，
，则，
所以，.
故选：B.
【举一反三】
1．(2021·江苏)若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
令，解得或；令，解得.
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数在处取得极小值，
由于函数在区间内取到最小值，则，
由可得，可得,
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：C.
2.(2020·陕西省子洲中学)若函数在[0，3]上的最大值为5，则m=( )
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
当时，，当时，，
则函数在上的最大值为，则.
故选：C.
3．(2021·江苏单元测试)已知函数在上的最大值为，则a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增，
故当时，函数有最大值，
解得，不符合题意.
当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.
当时，函数在上单调递减.此时最大值为，
解得，符合题意.
故a的值为.
故选：A.
4．(2021·全国课时练习)已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．
【答案】
【解析】，时，或，
当或时，，当时，，
所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，
所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，
那么当，解得或，
所以函数在区间上存在最小值，
则 ，解得：.
故答案为：.
强化练习

一、单选题
1．(2021·河南平顶山市)已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由条件得，
令，可得解集为
令，可得解集为
则在和上单调递增，在上单调递减，又，，要使有3个不同的零点，则，所以.
故选：A
2．(2020·福建莆田市·高三其他模拟)已知函数，则“”是“有极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“有极值”，则有两个不等的实数根，
所以，解得，
当时，令可得，
此时在单调递增，在单调递减，
在单调递增，所以“”可以推出“有极值”，
所以“”是“有极值”的充要条件.
故选：C
3．(2021·宁夏吴忠市·高三一模(文))若函数在上有两个零点，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
令，则由知，
在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
∵，，，∴，
所以若函数在上有两个零点，
则实数m的取值范围为．
故选：C．
4．(2020·安徽六安市·六安二中)若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1
C．2 D．
【答案】C
【解析】，易知，当时，，当或时，，
所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时，
，当时，，所以最大值为，解得.
故选：C

5．(2021·江苏高二)函数的极小值是___．
【答案】
【解析】函数的f(x)的导数f′(x)＝＝，令＝0，
解得x＝1，
由x＞1可得f′(x)＞0，函数单调递增，
由x＜1，可得f′(x)＜0，函数单调递减，
故当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝ ，
故答案为：
6．(2021·江苏泰州市·泰州中学)函数在处取得极值10，则___________.
【答案】
【解析】由题意，函数，可得，
因为在处取得极值10，可得，
解得或，
检验知，当时，可得，
此时函数单调递增，函数为极值点，不符合题意，(舍去)；
当时，可得，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得极小值，符合题意.
所以.
故答案为：.
7．(2021·安徽宿州市)已知函数在，时取得极小值0，则__________．
【答案】11
【解析】

依题意可得即
解得或
当，时函数，
函数在上单调递增，函数无极值，故舍去；
所以，所以
故答案为：
8．(2021·全国课时练习)已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】或
【解析】由题可知：，
因为函数在上存在极值点，所以有解
所以，则或
当或时，函数与轴只有一个交点，即
所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去
所以或，即或
故答案为：或
9．(2021·河南郑州市·高三一模(理))已知，若存在极小值，则的取值范围是_______________________．
【答案】
【解析】，
若存在极小值，则存在极小值，
所以方程有两个不等的实根，
所以，解得：，
所以的取值范围是，
故答案为：
10．(2020·辽宁沈阳市·高三月考)函数(，)在区间上存在极大值，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
设，，
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
且，又，
则当，即时，先增后减，即函数存在极大值
故答案为：
11．(2021·全国课时练习)若函数在区间上有极大值，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由得，
所以在和上，，在上，，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得极大值，
若函数在区间上有极大值，则a<1且a+2>1，解得-1 故答案为： .
12．(2021·南昌市·江西师大附中)若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由题可知：
所以函数在单调递减，在单调递增，故函数的极大值为 .所以在开区间内的最大值一定是又， 所以 得实数的取值范围是
故答案为：
13．(2020·通榆县第一中学校高三月考(文))若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意得：，
令解得；令解得或，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处取到极大值2，
所以极大值必是区间上的最大值，
∴，
解得.检验满足题意
故答案为：.
14．(2021·定远县育才学校4)已知函数在处有极值.
(1)求实数、的值；
(2)判断函数的单调区间，并求极值.
【答案】(1)，；(2)单调递减区间是，单调递增区间是，极小值，无极大值.
【解析】(1)由，知.
又∵在处有极值，则，即，
∴，.
(2)由(1)可知，定义域为，
∴.
令，则(舍去)或；当变化时，，的变化情况如表：


1


-
0
+

↘
极小值
↗
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.
15．(2021·江苏单元测试)已知函数
(1)当a=0时，求函数f(x)的极大值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
【答案】(1)极大值为；(2)答案见解析.
【解析】函数的定义域为．
(1)当时，，，
令得．
列表：


1



0



极大值

所以的极大值为(1)．
(2)．
令得，记．
(ⅰ)当时，，所以单调减区间为；
(ⅱ)当时，函数在单调减
当时，由得，，
①若，则，
由，得，；由，得．
所以，的单调减区间为，，，单调增区间为，；
②若，由(1)知单调增区间为，单调减区间为；
③若，则，
由，得；由，得．
的单调减区间为，，单调增区间为．
综上可得，当时，单调减区间为；当时， 的单调减区间为，，，单调增区间为，；当时， 的单调减区间为，，单调增区间为．
16．(2020·四川内江市·高三一模(理))已知函数，､，若在处与直线相切.
(1)求，的值；
(2)求在上的极值.
【答案】(1)；(2)极大值为，无极小值.
【解析】(1)由题意，函数，可得，
因为函数在处与直线相切，
所以，即，解得.
(2)由(1)得，定义域为，且，
令，得，令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的极大值为，无极小值.
17．(2020·四川成都市·华阳中学高二期中(文))已知函数，曲线过点.
(1)求函数解析式.
(2)求函数的单调区间与极值.
【答案】(1)；(2)在上单调递增，在上单调递减，极大值为.
【解析】(1)由过点得，，
即，所以.
(2)由(1)知，，
令，，令，，
SY在上单调递增，在上单调递减，
极大值为，无极小值.
18．(2020·莆田第十五中学高三期中(理))已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)极大值，极小值；(2)答案见解析.
【解析】(1)当时，，，
令，得或.




0


+
0
-
0
+






∴时，有极大值，
时，有极小值；
(2)，
当时，，由得，
即函数在上单调递增，
由得，即函数在上单调递减；
当时，令得或.
①当，即时，无论或，均有，
又，即在上，从而函数在上单调递增；
②当，即时，
由或时，
函数在和上单调递增；
由时，
函数在上单调递减；
③当，即时，
　由或时，
函数在和上单调递增；
　由时，
函数在上单调递减.
综上，当时， 单调递增区间是上，
单调递减区间是上；
当时，单调递增区间是,，
单调递减区间是；
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间是,，
单调递减区间是.
19．(2020·全国)已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在区间上的最小值．
【答案】(1)极大值为，极小值是；(2)．
【解析】(1)，
令，则或，
当或时，，故在区间或上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
故函数的极大值为，极小值是；
(2)，，由(1)知，，
比较可知三个数中的最小值为在区间上的最小值，为．
20(2020·江西高三其他模拟(文))已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性.
【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)答案见解析.
【解析】(1)若，则，
则
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故函数的极大值为，无极小值；
(2)依题意，
若，，则函数在单调递增；
若，当时，；当时，，
此时函数在单调递减，在单调递增；
若，则当时，；当时，，
此时函数在单调递增，在单调递减.