2021年高考艺术生数学基础复习 考点31 指数函数（教师版含解析）

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考点31  指数函数一．指数函数的概念函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．　形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．二．．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0，1)当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 考向一   指数函数辨析【例1】(2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学)函数是指数函数，则a的取值范围是(    )A． B． C． D．或【答案】C【解析】函数是指数函数，且，，由解得或，，故选．【举一反三】1．(2021·定远县育才学校)函数是指数函数，则a的取值范围是________．【答案】【解析】因为是指数函数,所以,解得: 或即a的取值范围是.故答案为: 2．(2020·上海市松江二中)已知指数函数是严格增函数，则实数a的取值范围是____.【答案】【解析】因为指数函数是严格增函数，所以，解得：，故答案为：.3．(2020·全国高三专题练习)若函数是指数函数，则实数的值为_________．【答案】2【解析】因为函数是指数函数,所以且,解得.故答案为2考向二 指数函数定义域值域【例2】(2020·全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3).【答案】(1)定义域，值域为且；（2）定义域，值域；(3)定义域，值域【解析】(1)要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.(2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.(3)函数的定义域为.因为，所以.又，所以函数的值域为.【举一反三】1．(2020·全国高三专题练习)函数的定义域为___，值域为____.【答案】        【解析】∵，∴x2﹣1≠0，即x≠±1，即函数的定义域为{x|x≠±1}．∴x2﹣1∴∴函数的值域为故答案为2．(2020·上海课时练习)函数的定义域为__________，值域为_________.【答案】        【解析】令，即，则，解得且.即函数的定义域为；当时，，所以，则；当时，，且当时，，则且，所以，即；当时，    ，则，所以；综上所述，值域为.故答案为: ;.3．(2020·全国课时练习)求下列函数的定义域和值域：(1)；(2).【答案】(1)或；(2)【解析】(1)或.∴定义域为.由于，即，∴值域为.(2)，∴定义域为.由于，且，即且，∴值域为.考向三 指数式比较大小【例3】(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知，则a，b，c的大小关系为(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，因为在单调递增，所以，即，因为在上单调递增，，所以，即，所以，即故选：D.【举一反三】1．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考)设，，，则，，的大小关系为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，，，则，又，所以，故选：D.2．(2021·四川高三月考(文))设.则的大小关系是(    )A． B．C． D．【答案】A【解析】由指数函数的单调性知：，，由幂函数的单调性知：，，又，∴综上有：.故选：A3．(2019·江西九江市)设，，，则大小关系是(  )A． B．C． D．【答案】C【解析】由幂函数和指数函数知识可得，，即，.下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，在上单调递增，在上单调递减，，即，即，，即，即，故选C.考向四 指数函数过定点【例4】(2020·浙江)函数恒过定点_______．【答案】.【解析】因为函数过定点，而函数是将函数的图像向左平移个单位，向上平移个单位得到，所以函数恒过定点.故答案为：.【举一反三】1．(2021·上海市大同中学)已知函数的图像恒过定点，则的坐标为_____________.【答案】【解析】过定点(0,1)，而可以看成的图像右移3个单位，再下移2个点位得到的，所以函数的图像恒过定点即A故答案为：2．(2021·上海市建平中学)对于任意实数，函数(且)的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．【答案】【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数(且)恒过定点，所以函数(且)的图像经过定点.故答案为：3．(2020·江苏课时练习)已知函数(且)恒过定点，则______．【答案】【解析】∵函数(且)恒过定点，∴，，则，故答案为：．一、单选题1．(2021·全国高一课时练习)若指数函数是R上的减函数，则a的取值范围为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由指数函数的单调性可知，所以.故选C.2．(2010·吉林长春市)如果指数函数是增函数，则的取值范围是(  )A． B． C． D．【答案】A【解析】由于指数函数是增函数，所以，解得，故选A.3．(2021·四川雅安市)函数的定义域为(　　)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．4．(2020·全国课时练习)函数的定义域是(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函数有意义，则需，即为，解得，，则定义域为.故选：A.5．(2021·河北石家庄市·石家庄一中)若，则(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，，所以.故选：D6．(2021·浙江丽水市)已知，，，则(     )A． B． C． D．【答案】D【解析】，又函数单调递增，故，即，故选：D.7．(2021·云南高三期末)若，，，则、、的大小关系是(    )A． B．C． D．【答案】D【解析】，即，又，因此，.故选：D.8．(2021·浙江)已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】对于函数，令，得，所以图象恒过定点，故选：D.9．(2021·长沙市·湖南师大附中)函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为(    )A．-8 B．-9 C． D．【答案】A【解析】∵，令，得，∴，∴的图象恒过点，设，把代入得，∴，∴，∴.故选：A10．(2020·怀仁市第一中学校云东校区)函数(且)的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为(    )A．4 B．8 C．9 D．16【答案】C【解析】∵，令得，∴，∴的图象恒过点，设，把代入得，∴，∴，∴.故选：C.11．(2020·毕节市实验高级中学)函数的图象一定经过点(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由解析式可得当时，，故函数过定点.故选：C.12．(2020·浙江高一期末)已知是指数函数，则实数m的值是___________．【答案】3【解析】是指数函数，，解得或，不满足题意故舍去，.故答案为：313．(2020·全国单元测试)指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上是增函数，则a的取值范围是_____．【答案】(2，+∞)【解析】∵指数函数f(x)=(a﹣1)x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是(2，+∞)故答案为(2，+∞)．14．(2020·全国高三专题练习)函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数的自变量满足：，解得即 .故答案为：15．(2021·湖南长沙市)函数的值域为_________．【答案】【解析】设，则，因为，在定义域内为减函数，所以，即，所以函数的值域为，故答案为：16．(2021·曲靖市沾益区第四中学)函数(，且)恒过一个定点，则该点的坐标为_________.【答案】【解析】令得，.所以，所以函数恒过定点 故答案：17．(2021·山东济宁市)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为____________.【答案】【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．18．(2020·浙江高一期末)函数的定义域为__________，值域为_________．【答案】    且    【解析】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为：，令，则，且，即，故函数的值域为且，故答案为：；且19．(2020·浙江杭州市·学军中学高一期中)函数的定义域是__________________；值域是_________________.【答案】；    ；    【解析】由题意知：指数中有， ∴，令，则有，故答案为：，；20．(2021·长春市第八中学)若函数，(，且)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________，若点P在角的终边上，则________.【答案】        【解析】对于函数(，且)，令，求得，，可得它的的图象恒过定点，点在角的终边上，，，故答案为：，．