2021年高考艺术生数学基础复习 考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用（教师版含解析）

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考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用考向一 实际生活中运用【例1】(2020·辽宁高三期中)自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(，，，在同一水平面内)，则，间的距离为______.【答案】【解析】如图，连接，在中，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，，即，解得，因为，所以，在中，，所以，即，间的距离为，故答案为：【举一反三】1．(2020·湖南师大附中高三月考)既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道(C与A，B不重合)，A，B相距400米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为______米.(参考数据：，)【答案】880【解析】如图所示，设圆心为O，连接，，因为点C在半圆上，所以，所以，弧的长为，所以绿化带的总长度为，.所以.令，得，所以.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，所以.故答案为：880. 2．(2020·江苏常州·高三期中)欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点.先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若，则________.【答案】【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，可得，又，可得，在中，，又，解得，，由，化为，解得，又，可得，在中，，即，可得，故答案为：.3．(2020·全国高三其他模拟)在测量实践中，某兴趣小组为测量电视塔的高度，在与水平地面平行且距离地面1.4m的一条直线上选取了，，三点．已知，，，在，，三点测出电视塔顶部的仰角分别为45°，60°，60°，则电视塔的高度为______m．(结果精确到0.1m，参考数据：，)【答案】120.2【解析】根据题意画出示意图，如图所示，由题意，直线与不在同一平面内，平面，，，，过作于，易知，设，，则，．在中，由余弦定理可得：，解得，所以，故电视塔的高度为．故答案为：考向二 三角函数性质与正余弦的定理综合运用【例2】11．(2020·山西高三期中(文))已知函数.(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调性；(2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求A和b.【答案】(1)最小正周期为，在上单调递增，在上单调递减；(2)，或.【解析】(1)由题意可得，∴的最小正周期为.时，，当，即当时函数单调递增，当，即，即当时，函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，又恰是函数在上的最大值，A为锐角，故，∴，由余弦定理可得：.解得：或.【举一反三】1．(2020·山西高三期中(理))已知向量，，设函数．(1)求函数的最小正周期，以及在上的单调性．(2)已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和．【答案】(1)最小正周期为；在上单调递增，在上单调递减；(2)；或．【解析】(1)因为向量，，所以，∴的最小正周期为；由可得；由可得；所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，又，所以在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，又恰是函数在上的最大值，为锐角，故，∴；由余弦定理可得：解得：或．2．(2020·上海黄浦·格致中学高三期中)设函数 (1)求函数的单调递增区间；(2)在锐角中，若，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由已知得，令，解得，所以的单调递增区间为；(2)因为，所以，又锐角中，，即，所以，所以，由，，得，所以，故，由正弦定理得，，，故三角形面积.3．(2020·宁夏银川九中高三月考(文))已知、、为锐角三角形的三个内角，若向量与向量是共线向量.(1)求角；(2)求函数的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，且，所以，，即，即，即，所以，，为锐角，则，；(2)由三角形的内角和定理可得，所以，，为锐角三角形，则，即，解得，所以，，当时，函数取得最大值，即.考向三  解析几何中的运用【例3】(2020·福建莆田一中高三期中)在中，，为线段边上一点，，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【解析】(1)考察，记，由余弦定理得：，即化简得：，∴或6，由，，∴，∴为钝角，∴，∴．(2)记，则，由可得，考察，由正弦定理可得：即，∴，化简得：，∴，即．【举一反三】1．(2020·全国高三其他模拟)已知中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，为外一点，如图所示，且，，的面积为，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，由，根据正弦定理得，即，整理得，即，所以，又由，联立解得或，因为，所以，故，(2)由(1)知且，所以，故的面积，解得，又由，在中，由余弦定理可得，所以.在中，余弦定理，可得，解得．2．(2019·贵州高三期末(文))如图，在平面四边形中，与互补，，(1)求的长；(2)求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，在中，根据余弦定理得：，；(2)因为且，， 又与互补，则由正弦定理得：.3．(2020·广东高三月考)如图，在平面四边形中，的面积为.(1)求；(2)若，求四边形周长的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由面积公式得， 所以，在中，由余弦定理得，所以；(2)令，在中，由余弦定理得， 则，即，所以， 当且仅当时，等号成立. 所以四边形周长的最大值为. 1．(2020·四川阆中中学高三月考)“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹤雀楼》，鹤雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹤雀在此停留，故有此名，下面是复建的鹤雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC=2AC，则楼高AB约为____(保留到整数位，【答案】74米【解析】设，则，在中，，所以是等腰直角三角形，所以，在中，，所以，即，解得：，所以，故答案为：74米2．(2020·云南昆明一中高三月考)在平面直角坐标系中，已知顶点和，点在双曲线的右支上，则(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】因为点在双曲线的右支上，且和为双曲线的两个焦点，所以；又因为，所以由正弦定理得，故选：D.3．(2020·黑龙江铁人中学高三期中)某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西，灯塔B在观察站C北偏东，则两灯塔A，B间的距离为(    )A． B． C．7 D．【答案】C【解析】由题意，中，，，，利用余弦定理可得：，∴.故选：C.4．(2020·重庆高三月考)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为(3丈=5步)(    )A．1200步 B．1300步 C．1155步 D．1255步【答案】D【解析】设海岛的高为步，由题意知，步，步，步，步，则，即，，所以，则，解得，即海岛的高为步，故选：D.5．(2020·安徽高三月考(文))如图，地面四个5G中继站A．B．C．D，已知A．B两个中继站的距离为，，，，则C，D两个中继站的距离是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，在中，，设，则，，在中，由余弦定理，，解得，故选：C6．(2020·全国高三其他模拟)如图，海岸三角洲地区有，，三座城市，，城市到城市，的距离均为．为缓解陆上交通压力，决定在，上分别建立两个交通码头，，并在两个交通码头之间开通直线型水上航道．但以城市为中心的水域为水上经济区，航道不能通过，故当所建航道最短时，码头到城市的距离为______，水上航道的最短距离为______．【答案】20        【解析】过点作的垂线，垂足为，当时满足题意.设，则，，故.，因为，所以，所以，当，时等号成立时，此时，.故答案为：20；7．(2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中)已知．(1)求的最大值及该函数取得最大值时的值；(2)在中，分别是角所对的边，，是的面积，，比较与的大小．【答案】(1)当时，有最大值2；(2)．【解析】(1)∵，∴当，即时，有最大值2；(2)由题意可得，∴，∴，∴，由余弦定理，代入数据得，又∵，∴，当且仅当时取等号，∴．8．(2020·天津经济技术开发区第一中学高三期中)已知向量，，设函数.(1)求函数取得最大值时取值的集合； (2)设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)，要使函数取得最大值，需要满足取得最小值，所以，所以，所以当取得最大值时取值的集合为，(2)因为A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，所以，由，得，因为所以，解得，所以所以.9．(2020·山东省淄博实验中学高三月考)已知向量，，函数．(1)若，求的取值范围；(2)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，求的面积．【答案】(1)；(2).【解析】(1)向量，．由此可得函数，又，得．，即的取值范围是；，(B)，又，，，可得．，根据正弦定理，可得，由得，所以，因此，可得是以为直角顶点的直角三角形，的面积．10．(2020·营口市第五中学高三月考(文))已知向量，，函数.(1)求的最小正周期；(2)记的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，且的面积为，，求的周长.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，，∴，∴.即.∴的最小正周期是.(2)由，得，∵，∴，∴，∴.∵的面积为，∴，由(1)知，∴，由余弦定理得：，∴，得：，∴的周长为.11．(2020·湖南衡阳市八中高三月考)某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道(不考虑宽度)，为赛道内的一条服务通道，，，.(1)求服务通道的长度；(2)求折线段赛道的长度的取值范围.【答案】(1)5；(2).【解析】(1)如图所示：连接，在中，由余弦定理得：，∴，∵，∴，又，∴，在中，；(2)在中，，，由余弦定理得，即，故，从而，即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.所以折线段赛道的长度的取值范围是.12．(2020·河南高三月考)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点，，．为增加景区人民的收入，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向上，还位于景点的北偏西方向上，已知，．(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求的正弦值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)在中，，，，设，则由余弦定理得，即，解得，而，舍去，∴，∴这条公路的长为．(2)在中，，∴，∴，在中，，∴，∴．13．(2020·广东高三月考)如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，.(1)求的长；(2)若，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以.(2)在中，由正弦定理得，所以，所以.因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以.