2021年高考艺术生数学基础复习 考点40 导数与不等式、零点（教师版含解析）

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考点40 导数与不等式、零点
知识理解
一.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略
(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．
(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
二．证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．
三．证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1) 四．可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．
五．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．
考向分析
考向一 导数与零点
【例1】(2021·安徽安庆市)函数.
(1)讨论函数的极值；
(2)当时，求函数的零点个数.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】(1)由题意，函数，可得，
当时，，在上为单调增函数，此时无极值；
当时，令，解得，
所以在上为单调增函数，
令，解得，在上为单调减函数，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
综上所述：
当时，无极值，
当时，，无极大值.
(2)由(1)知当时，在上为单调增函数，在上为单调减函数，且，
又由，若时，；
若时，；
当，即时，无零点；
当，即时，有1个零点；
当，即时，有2个零点.
综上：当时，无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.

【举一反三】
1．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)令，当时，证明∶函数有2个零点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)
(2)当时，，∴是的一个零点，
由，设，则.
因为，
①当时，，∴，∴在单调递增，
∴，
∴在单调递增，∴，此时在无零点
②当时，，有，此时在无零点.
③当时，，，∴在单调递增，又，，
由零点存在性定理知，存在唯一，使得.
当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；
又，，所以在上有1个零点.
综上，当时，有2个零点．
2．(2021·安徽高三一模(文))已知函数f(x)=ax-ax(a>0且a≠1).
(1)当a=e时，求函数f(x)的最值；
(2)设g(x)是f(x)的导函数，讨论函数g(x)在区间(0，1)零点的个数.
【答案】(1)最小值为，无最大值；(2)答案见解析.
【解析】(1)当时，
令得显然在单调递增，
当时，；当时，，
所以，在单调递减，在单调递增，
则的最小值为无最大值.
(2)
(i)若在(0，1)恒成立，此时在(0，1)没有零点.
(ii)若所以在(0，1)单调递增.
，令因为所以在
单调递减，故所以；

①当时在(0，1)没有零点.
②当时，在(0，1)有且只有1个零点.
综上所述：若或在(0，1)没有零点；若在(0，1)
有且只有1个零点
3．(2021·山东潍坊市·高三一模)已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；
(2)当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)；(2)答案不唯一，具体见解析．
【解析】(1)，
所以在点处的切线方程为，
所以，即；
(2)因为，
所以，
所以可转化为，
设，
则
当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，设，
此时，
所以在时单调递增，
又，，
所以存在使得且时单调递减，
时单调递增．
综上，对于连续函数，在时，单调递减，
在时，单调递增．
又因为，
所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，
当，即时，函数在区间上无零点，
综上可知，当时，函数在上有个零点；
当时，函数在上没有零点．
考向二 导数与不等式
【例2】(2020·江苏苏州市)已知函数.
(1)若在时取得极值，求实数m的值；
(2)求的单调区间；
(3)证明：.
【答案】(1)；(2)单调减区间为，单调增区间为；(3)证明见解析.
【解析】(1)由题意得，
因为在时取得极值，所以，解得，
当时，，因为，所以，
所以当时，，则在递减；
当时，，则在递增，所以在时取得极小值，
综上；
(2)因为，由，
解得舍去，，
所以在时，，故在单调递减；
在时，，故在单调递增，
所以的单调减区间为，的单调增区间为.
(3)法一：由，则，
由(2)知，存在唯一的，使得，
即，

设，

所以
所以
(3)法二：因为
又，所以，.
又由(2)，
所以.
【举一反三】
1．(2021·贵州高三开学考试)已知函数.
(1)求函数在内的单调递增区间；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】(1)解析：由题意知，，，
所以当时，解得，
即在的单调递增区间是，
(2)令，，只需证即可

令，则，
当时，，递减，
即在单调递减，即，
所以，从而在上单调递减，即恒成立；
当时，
由(1)知，的极大值点满足，这些极大值点使得的分子值不变，但分母随的增大而增大(当然)，
∴当时，，恒成立．
综上，得证.
2．(2021·安徽高三一模(理))已知函数f(x)=2ex+aln(x+1)-2.
(1)当a=-2时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x∈[0，π]时，f(x)≥sinx恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)函数在(-1，0)单调递减，在单调递增；(2).
【解析】(1)当时.
在单调递增，且
当时，；当时.
所以函数在(-1，0)单调递减，在单调递增.
(2)令
当时，恒成立等价于恒成立.
由于，
所以(i)当时，函数在单调递增，
所以，在区间恒成立，符合题意.
(ii)当时，在单调递增，.
①当即时，
函数在单调递增，所以在恒成立，符合题意.
②当即时，
若，即时在恒小于
则在单调递减，，不符合题意.
若即时，存在使得
所以当时，则在单调递减，
不符合题意.
综上所述，的取值范围是
强化练习

1．(2021·山东菏泽市·高三一模)已知函数.
(1)若有唯一零点，求的取值范围;
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2).
【解析】(1)由有唯一零点，
可得方程，即有唯一实根，
令，则
由，得由，得
在上单调递增，在上单调递减.
，
又所以当时，;
又当时，

由得图象可知，或.
(2)恒成立，且，
恒成立，
令，则，
令，则，
在单调递减，
又，
由零点存在性定理知，存在唯一零点，使即，
两边取对数可得即
由函数为单调增函数，可得，
所以当时，，，当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以
即的取值范围为.
2．(2021·浙江高三月考)已知函数.
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(I)，，
又，
故是的极大值点，所以，；
另一方面，当时，，，在区间单调递减，
故在单调递增，单调递减，
所以，恒成立
(II)当时，，，
当时，，在区间单调递减，又，
故在区间有唯一实根，
① 若，，
当时，，在区间单调递减，
故在区间至多有一个实根，不符合题意，
② 若，令，()是方程的两不同实根，
则，则
故在区间，上单调递减，在区间上单调递增.
()，，，，同理可证.
取，.
取，，
.
故在，，各存在一个零点，
实数的取值范围是.
3．(2021·湖北荆门市·高三月考)已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)记的极值点为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】解：(1)由得，
∵函数有两个不同的零点，，
∴在上不单调，
∴，
令得，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，
∴，∴.
∵时，时，
∴的取值范围是.
(2)由(1)知，
∵，∴，
∴.
令，，则，且，
要证，只需证.
下面先证明，
这只要证明，设，所以只要证明
，设，
则，所以递增，
则成立.于是得到，
因此只要证明，构造函数，
则，故在上递减，在上递增，
则，即成立.
4．(2021·辽宁高三其他模拟(文))已知函数．
(Ⅰ)设函数，当时，证明：当时，；
(Ⅱ)若有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)
，
所以在上为单调递增函数，
且，
当时，.
(Ⅱ)设函数，则，
令，
当时，当时，，
当时，，得，
所以当时，，
在上为单调递增函数，此时至多有一个零点，
至多一个零点不符合题意舍去.
当时，有，
此时有两个零点，设为，且．
又因为，，
所以.
得在，为单调递增函数，
在上为单调递减函数，且，
所以，，
又因为，，
且图象连续不断，
所以存在唯一，使得，
存在唯一，使得，
又因为，
所以，当有两个不同的零点时，.
5．(2021·山西晋中市·高三二模(文))已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)对，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】(1)，
令，
①当时，，
在上，，所以单调递增．
②当时，，令，
得，且，
所以当时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
③当时，，
当时，，
在上，，所以单调递增．
当时，，令，
得，且，
所以当或时，，所以单调递增；
当时，，所以单调递减．
综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
(2)因为，根据(1)的讨论可知，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，所以成立．
当时，在上单调递减，时，，
所以存在使得，故此时不成立．
当时，在上单调递增；在上单调递减，而，所以当时，单调递减，此时，不合题意．
综上可得：．
6．(2021·湖南永州市·高三二模)已知函数，.
(1)讨论在上的单调性；
(2)当时，讨论在上的零点个数.
【答案】(1)答案见解析；(2)有3个零点.
【解析】(1)，，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令，则，令，则，
若，即时，在上单调递增；
若，即时，在上单调递减；在上单调递增；
(2)当时，，
令，得，
令，则，
所以为奇函数，且，
所以0是的一个零点，
令，则，
当，，则在上单调递增，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
令，则恒成立，所以在上单调递减，
所以，则，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，则当时，恒成立，
即当时，恒成立，所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
当时，，所以在上单调递增，
又，，
所以在上有且只有一个零点，设该零点为，
因为为奇函数，所以在上的零点为，
所以在上有3个零点，分别为，0，，
所以在上有3个零点.
7．(2021·全国高三开学考试(文))已知函数.
(1)证明：当时，函数有唯一的极大值；
(2)当恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：，
因为，所以，
当时，，
令，
在区间上单调递减；，
存在，使得，
所以函数递增区间是，递减区间是.
所以函数存在唯一的极大值.
(2)由，
即令，
在区间上单调减函数，
，只要即可，即.
8．(2021·全国高三开学考试(文))已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)对任意，求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)由题意得，的定义域为，，
当时，恒成立，∴在上单调递增.
当时，令，解得；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减.
(2)要证，即证.
令，则.
令，则，
易得在上单调递增，且，，
∴存在唯一的实数，使得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
∵，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.
综上，，即.
9．(2021·湖北武汉市·高三月考)已知函数.
(Ⅰ)当时，求的最小值；
(Ⅱ)证明：当时，恒成立.
【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】(Ⅰ)时，，定义域为，
求导，设，
，在单调递增.
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故在处取得最小值.
(Ⅱ)设，求导.
设，，
，∴时，单调递减，.
，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，故，时，.
即，在上单调递减，则时，.
由(Ⅰ)知，，故时，.
即恒成立.
10．(2021·全国高三其他模拟)已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】(1)，
，，
当时，令，解得：或，
当，即，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当，即，
则，等号不恒成立，在上单调递增；
当，即，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
(2)，
即，
即，
即①，
当时，①式恒成立，；
当时，，，
当时，，，
故当时，①式恒成立,；
以下求当时，不等式恒成立时正数的取值范围，
令，则，，
则，
令，
则，
当时，，，，等号不恒成立，
故在上单调递增，
又，故，，时，，
即当时，①式恒成立；
当时，，，，
故的两个零点，
即的两个零点和，
在区间上，，，是减函数，
又，
，
即当时，①式不能恒成立.
综上所述：实数的取值范围是.
11(2021·江西上饶市·高三一模(理))已知.
(1)若，讨论的单调性；
(2)，，求实数的最小值.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】(1)时，，定义域为
，
令，则，
当，；当，；
∴在递增，在上递减，∴，
∴，∴在上递增．
(2)，
由，，∴可得，
令，则在上递增，
由，且当时，，
∴，
∴使得，
且当时，即；
当时，即，
∴在递增，在递减，
∴，
由，∴，
由得即，
由得，∴，
设，则，
可知在上递增∴，即
∴实数的最小值为．
12．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)函数定义域为，且，
，令，判别式，
当，即时，恒成立，所以，
∴在上单调递减；
当，时，由，解得，，
若，则，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；
若，则，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为.
(2)因为函数定义域为，且，
∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则，∴，
从而由且，可得，，


构造函数，，
则，∴在上单调递减，
∴，即证.
13．(2021·江苏连云港市·高三开学考试)已知函数，，.
(1)若，证明：当时，；
(2)讨论在上零点的个数.
【答案】(1)证明见解析；(2)当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点.
【解析】(1)令，所以
当时，，，所以.
所以在上单调递增.
当，有，
∴在上恒成立.
(2).所以，
设，，
①当时，因为，所以，而，
所以，即恒成立，所以零点个数为1个.
②当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，
因为，所以是唯一零点，此时零点个数为1个.
③当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，而，，
又因为图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，
在上有唯一零点，又因为也是零点，
所以在上有2个零点.
综上：当时，在上有1个零点；
当时，在上有2个零点.
14．(2021·贵州高三开学考试(理))已知函数
(1)求函数在内的单调递增区间；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间是；(2).
【解析】由题意知，
所以当时，解得，
即在的单调递增区间是
(2)令，
①当时，设由(1)知即与已知矛盾
②当时，显然不成立；
③当时，设
及
得在单调递减，即
此时在必有一零点
所以当时与已知矛盾
④当时，设

所以从而在上单调递减，
即恒成立
下面证明时，当时恒成立，即
由(1)知当时，恒成立，
所以
综上，的取值范围为