2021年高考艺术生数学基础复习 考点30 周期性和对称性（教师版含解析）

考点30  周期性和对称性

一．函数的周期性

1.周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

二．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．

考向一 对称性

【例1】(2021·广东揭阳市·高三一模)已知函数定义域为，满足，且对任意均有成立，则满足的的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，

因为对任意均有成立，所以函数在上单调递减.

由对称性可知在上单调递增.

因为，即，

所以，即，解得.故选：D.

【举一反三】

13(2021·浙江)已知函数，且，则下列不等式中成立的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由得图象的对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

所以，故选：C.

2.(2019·福建师大二附中)函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵在上是增函数，

∴在上是增函数，

由函数是偶函数，知：在上是减函数，

而，由，

∴.故选：B

考向二 周期性

【例2】(2021·曲靖市第二中学)已知函数是定义在上的奇函数，，且，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵是奇函数，∴，

又，∴是周期函数，周期为4．

∴．故选：A．

【举一反三】

1．(2021·山东聊城市)已知定义在R上的奇函数满足，若，则(    )

A． B． C．0 D．2

【答案】B

【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是周期函数，周期为4

所以故选：B

2．(2021·安徽合肥市·)已知是R上的奇函数且，当时，，(    )

A． B．2 C． D．98

【答案】A

【解析】，是以4为周期的函数，，

是R上的奇函数，，.故选：A.

3．(2021·江西南昌市)若在上是奇函数，且有，当时，则(    )

A．242 B．-242 C．2 D．-2

【答案】D

【解析】由是定义在上的奇函数，得，

又时，，所以，

因为对任意都有，所以4为的周期，

所以故选：．

考向三 函数性质的综合运用

【例3】(2021·上海松江区)已知函数是定义域为R的奇函数，满足，若，则__________．

【答案】1

【解析】因为，

所以，

所以，即函数是周期为4的周期函数.

所以,,

,

所以原式等于

故答案为：

【举一反三】

1．(2021·广东高考模拟)已知是定义在上的奇函数，满足，且，则(    )

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数满足，

所以关于直线对称，所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

又由可得，

所以，故，

因此，函数是以4为周期的周期函数，

所以，又

因此.故选B

2．(2021·安徽亳州二中)定义在上的函数满足，且，则=__________。

【答案】-1

【解析】由题意知定义在上的函数满足，得是奇函数，所以，即，赋值得，故，得周期是8，所以

3.(2021·四川高考模拟)已知定义域的奇函数的图像关于直线对称,且当时,,则(  )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵f(x)是奇函数，且图象关于x＝1对称；∴f(2﹣x)＝f(x)；

又0≤x≤1时，f(x)＝x3；∴．故选：B．

4.(2019·永安市第一中学高考模拟)已知是定义在上的奇函数，满足,若，则(   )

A．1    B．0    C．1    D．2019

【答案】B

【解析】根据题意，函数f(x)满足f(1﹣x)＝f(x+1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则有f(﹣x)＝f(x+2)，

又由函数f(x)为奇函数，则f(﹣x)＝-f(x)，则有f(x)＝-f(x+2)，则f(x+2)=- f(x+4)，可得f(x)= f(x+4)则函数f(x)为周期为4的周期函数，

又由f(1)＝1，则f(1)=f(5)=……＝f(2017)＝1，

f(-1)=- f(1)=-1，则f(3)=f(7)=……= f(2019)=-1，

又f(-2)=f(2)＝-f(2)，则f(2)=0，且f(0)=0，所以f(2)=f(4)＝f(6)＝f(8)＝……＝f(2018)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)＝505-505+0=0；故选：B．

1．(2021·四川资阳市)定义在R上的偶函数满足,，则(    )

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】根据题意，函数满足，则，又由为偶函数，

则有，则，函数是周期为2的周期函数，故，故选：C.

2．(2021·重庆九龙坡区)已知函数的定义域为R且满足，，若，则(    )

A．6 B．0 C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以的周期，

因为函数的定义域为R且满足，所以，，

所以

.故选：C

3．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)定义在R上的奇函数满足，且时，，则(    )

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】C

【解析】因为定义在R上的奇函数满足，所以

所以，所以是以4为周期的周期函数

所以

故选：C

4．(2021·河南驻马店市·高三期末(文))已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为是定义在上的奇函数，

所以图象的对称中心为，且．

因为，

所以图象的对称轴方程为，

故的周期，

，，

从而，

故选：A．

5．(2021·湖北武汉市)已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，

由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：

，

，

因为在区间是减函数，，

所以，即，

故选：B

6．(2021·江苏南通市)已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知可知，

，即，

所以函数是一个以4为周期的周期函数，

又因为当时，，

所以，

故选：D.

7．(2021·江苏扬州市·扬州中学)已知函数为偶函数，在区间上单调递增，则满足不等式的x的解集是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称，

因为的图象向右平移1个单位得到的图象，

则的图象关于直线对称，

又因为在区间，上单调递增，

所以在区间上单调递减，

所以的函数值越大，自变量与1的距离越大，

的函数值越小，自变量与1的距离越小，

所以不等式等价于，

两边平方，

解得，

即不等式的解集为．

故选：A．

8．(2021·邵阳市第十一中学)已知函数满足，且，则下列结论正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】由条件，可知函数的周期，因为，则.故选：CD

9．(2020·全国课时练习)已知函数是周期函数，10是的一个周期，且，则________.

【答案】

【解析】因为10是函数的周期，

所以．故答案为：．

10．(2021·浙江金华市)设是定义在上的函数，对任意实数有，又当时，，则______．

【答案】

【解析】由，即

所以，所以是以4为周期的周期函数.

所以

故答案为：

11．(2021·上海市西南位育中学)已知函数，对任意，都有(为非零实数)，且当时，，则___________.

【答案】

【解析】当时，，则，

对任意，都有(为非零实数)，则，，

由可得，，

所以，函数是周期为的周期函数，因此，.

故答案为：.

12．(2021·陕西咸阳市·高三一模(文))若偶函数满足，则____________．

【答案】-1

【解析】，是周期函数，周期，且函数是偶函数，

，

故答案为：

13．(2021·浙江绍兴市)已知函数是定义域为R的偶函数，且周期为2，当时，，则当时，________.

【答案】

【解析】当时，，

则，

因为是定义域为R的偶函数，所以；

当时，，则，

又的周期为2，所以；

故答案为：.

14．(2021·上海市杨浦高级中学已知函数，满足，且当时，，则_______________.

【答案】

【解析】由函数，满足，即

得.故答案为：2.

15．(2021·福建福州三中高一期末)已知是定义在上的偶函数，且满足，当，，则_____________．

【答案】2.5

【解析】由，则周期，所以．

因为函数为偶函数，则因为当时，，

所以则故答案为：2.5.

16．(2021·湖北荆州市·沙市中学)已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________．

【答案】

【解析】因为，则，又函数为奇函数，

所以，所以是周期函数，周期为4．

又，所以．故答案为：．

17．(2021·长宁区·上海市延安中学)奇函数的图像关于直线对称，，则_________.

【答案】

【解析】因为函数是奇函数，所以，

因为函数关于直线对称，，则，

，所以.

故答案为：