2021年高考艺术生数学基础复习 考点45 抛物线（学生版）

考点45  抛物线

一．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 

二．．抛物线的标准方程和几何性质

三．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

考向一 抛物线的定义

【例1】(2021·陕西宝鸡市·高三二模(文))设抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则(    )

A． B．5 C． D．

【举一反三】

1．(2021·山东烟台市·高三一模)已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则(    )

A． B． C． D．

2．(2021·内蒙古高三月考(文))点为抛物线的焦点，点，点为物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为(    )

A． B．

C． D．

3．(2021·全国高三专题练习(文))已知抛物线上的动点P到直线l∶的距离为d，A点坐标为(2，0)，则的最小值等于(    )

A． B． C． D．

4．(2021·浙江杭州市·学军中学)已知拋物线的焦点坐标为，则的值为___________；若点在抛物线上，点则的最小值为___________.

考向二 抛物线的标准方程

【例2-1】(2021·全国单元测试)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为(    )

A．y2＝x B．y2＝－x

C．x2＝y D．x2＝－y

【例2-2】(2021·浙江)已知抛物线的焦点，则拋物线C的标准方程为___________，焦点到准线的距离为___________.

【举一反三】

1．(2021·全国课时练习)以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(    )

A． B．

C．或 D．或

2．(2021·山东德州市·高二期末)抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是(    )

A． B． C． D．

3．(2021·绵阳南山中学实验学校(文))顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(    )

A． B．

C． D．

4(2021·广东湛江市·高三一模)已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=(    )

A．4 B．6 C．8 D．10

考向三 抛物线的几何性质

【例3】(2021·江苏省天一中学高三二模)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

【举一反三】

1．(2021·四川遂宁市·高三二模(文))若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为(    )

A．3. B．4 C．5 D．6

2．(2021·广西玉林市·高三其他模拟(理))已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则(    )

A．12 B．14 C．16 D．18

3．(2021·商丘市第一高级中学)设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线与该抛物线交于两点，且为坐标原点，则的面积为(    )

A． B． C． D．

1．(2021·四川高三月考(理))设为坐标原点，直线过定点，与抛物线交于两点，若，则抛物线的准线方程为(    )

A． B． C． D．

2．(2021·北京丰台区·高三一模)为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则(    )

A．2 B．4 C．或 D．或

3．(2021·河南高三其他模拟(文))已知点为抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

4．(2021·浙江高三其他模拟)已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为(    )

A． B． C． D．

5．(2021·吉林长春市·高三二模(理))已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足则抛物线方程为(    )

A． B． C． D．

6．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))已知双曲线有一个焦点在抛物线：准线上，则的值为(    )

A．2 B．1 C． D．

7．(2021·辽宁丹东市·高三月考)倾斜角为45°的直线经过点，且与抛物线：交于，两点，若为的焦点，则(    )

A．5 B．8 C．10 D．12

8．(2021·广西南宁市·高三一模(文))已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则(    )

A．12 B．14 C．16 D．18

9．(多选)(2021·广东广州市·高三一模)已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则(    )

A． B．

C．的面积为 D．线段的中点到直线的距离为2

10(2021·湖北高三月考)已知点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.

11．(2021·江西高三其他模拟(理))已知离心率为2的双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是与的公共点，若，则的标准方程为______.

12．(2021·浙江)抛物线焦点为F，P为抛物线线上的动点，定点，则的最小值为_________．

13．(2021·广东肇庆市·高三二模)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.

14．(2021·河北张家口市·高三一模)若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．

15．(2021·全国高三其他模拟)已知抛物线，点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为-1，则抛物线的方程为______.

16．(2021·桃江县第一中学)已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.

17．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模(理))人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.

18．(2021·贵溪市实验中学)若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于___________.

19．(2021·江苏南通市)已知抛物线，过焦点且斜率为1的直线与相交于、两点，且、两点在准线上的投影分别为，两点，则的面积为________．

20．(2021·全国高三其他模拟)已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．

21(2021·陕西安康市)已知抛物线上一点到其焦点的距离为.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积.

22．(2021·湖北开学考试)已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

23．(2020·江苏)求适合下列条件的曲线的标准方程：

(1)，焦点在轴上的椭圆的标准方程；

(2)，焦点在轴上的双曲线的标准方程；

(3)焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.

24．(2021·内蒙古包头市)、是抛物线上两个不同的点，、纵坐标之和为4．

(1)求直线的斜率；

(2)为原点，若，求直线的方程．

25．(2021·广西玉林市)已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点)．

(1)求抛物线的方程；

(2)直线：与抛物线交于，两点，若，求直线的方程．