2021年高考艺术生数学基础复习 考点49 合情推理与证明（教师版含解析）

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考点49 合情推理与证明
知识理解

一．合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．
②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
二．演绎推理
(1)演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——一般性的原理；
②小前提——特殊对象；
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．
三．直接证明
(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．
(2)一般形式
⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．
(3)综合法
①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．
②推证过程
⇒…⇒…⇒
(4)分析法
①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．
②推证过程
⇐…⇐…⇐
四．间接证明
(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．
(2)反证法的基本步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
考向分析
考向一 推理
【例1】(2021·河南)有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以”，这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
【答案】D
【解析】由等比数列的定义可知等比数列中没有等于的项，即，可知推理正确.
故选：D.
【举一反三】
1．(2021·河南高二月考(文))已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，可得，，，…，
观察知呈周期性变化，周期为4，
所以．
故选：D.
2．(2021·全国高三月考(理))某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有( )
A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁
【答案】D
【解析】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话.
若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁.
故选：D.
3．(2021·安徽省泗县第一中学)将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )

A．1915 B．1917 C．1919 D．1921
【答案】B
【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，
归纳可得第31行有个奇数，
且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．
又因为前31行共有个奇数，
则第31行第1个数是第961个奇数即是，则第3个数为1917．故选：
考向二 证明
【例2】(2020·全国高三专题练习(理))已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.
【答案】证明见解析.
【解析】因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证aln b>bln a，只需证
取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)b>e时，有f(b)>f(a)，即得证.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习(文))已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
【答案】证明见解析
【解析】①设，因为，
所以.
又由，则，
所以，与题设矛盾.
②若，则与矛盾，
所以必有.
同理可证：，.
综上可证.
2．(2020·全国高三专题练习(文))已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0c.
【解析】(1)∵f(x)＝ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)＝0的两个根x1，x2满足 ，
又f(c)＝0，不妨设x1＝c
∴即是的一个根．
(2)假设 又
由0＜x＜c时，f(x)＞0，得 与矛盾
∴
∵f(x)＝0的两个根不相等
∴只有；
3．(2020·全国高三专题练习(理))已知a>5，求证：－－.
【答案】证明见解析.
【解析】要证－－，
只需证＋