试卷 2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：反比例函数综合题（含解析）

这是一份试卷 2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：反比例函数综合题（含解析），共27页。试卷主要包含了反比例函数综合题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：反比例函数综合题
一、反比例函数综合题（共10小题）
1．（2020秋•岫岩县月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，下列结论错误的是：
①△OCN≌△OAM；
②四边形DAMN与△OMN面积相等；
③ON＝MN；
④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．
其中正确的结论有（　　）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．（2020•浙江自主招生）如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，，，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点总在一条曲线上运动，则这条曲线为　　

A．直线 B．抛物线
C．圆 D．反比例函数的曲线
3．（2020•恩平市模拟）如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线经过、两点，若平行四边形的面积为10，则的值是　　

A． B． C． D．
4．（2018春•巴南区期中）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点的坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过的中点，交于点，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；②直线的解析式为；③；④；其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2018•单县三模）如图，点为轴上任意一点，过点作垂直于轴交轴于点，交双曲线于点，则的面积为　　

A．9 B．10 C．12 D．15
6．（2020•深圳模拟）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若＝，则＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
7．（2019•兰山区二模）已知点，分别在反比例函数，的图象上且，则为　　

A． B． C． D．
8．（2020春•天心区校级月考）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是　　
①；
②；
③若，则平分；
④若，则

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
9．（2020秋•莒南县期末）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：
①菱形的面积为80；②点的坐标是；③双曲线的解析式为；④．
其中正确的结论有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020•邯山区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形斜靠在轴上，顶点，反比例函数图象经过点，将正方形绕点顺时针旋转一定角度后，得正方形，且恰好落在轴的正半轴上，此时边交反比例图象于点，则点的纵坐标是　　

A． B．3 C． D．4

2021年中考数学复习之挑战压轴题（选择题）：反比例函数综合题（10题）
参考答案与试题解析
一、反比例函数综合题（共10小题）
1．（2020秋•岫岩县月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，下列结论错误的是：
①△OCN≌△OAM；
②四边形DAMN与△OMN面积相等；
③ON＝MN；
④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．
其中正确的结论有（　　）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】①根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC＝S△OAM＝k，即OC•NC＝OA•AM，而OC＝OA，则NC＝AM，再根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；②根据S△OND＝S△OAM＝k和S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN＝S△OMN；③根据全等的性质得到ON＝OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；④作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE＝x，则OM＝ON＝x，EM＝x﹣x＝（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2＝2+，所以ON2＝（x）2＝4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN＝MN＝，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．
【解答】解：①∵点M、N都在y＝的图象上，
∴S△ONC＝S△OAM＝k，即OC•NC＝OA•AM，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°，
∴NC＝AM，
∴△OCN≌△OAM（SAS），
∴①正确；

②∵S△OND＝S△OAM＝k，
而S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴②正确；

③∵△OCN≌△OAM，
∴ON＝OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴③错误；

④作NE⊥OM于E点，如图所示：

∵∠MON＝45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE＝OE，
设NE＝x，则ON＝x，
∴OM＝x，
∴EM＝x﹣x＝（﹣1）x，
在Rt△NEM中，MN＝2，
∵MN2＝NE2+EM2，即22＝x2+[（﹣1）x]2，
∴x2＝2+，
∴ON2＝（x）2＝4+2，
∵CN＝AM，CB＝AB，
∴BN＝BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BN＝MN＝，
设正方形ABCO的边长为a，则OC＝a，CN＝a﹣，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2＝ON2，
∴a2+（a﹣）2＝4+2，解得a1＝+1，a2＝﹣1（舍去），
∴OC＝+1，
∴C点坐标为（0，+1），
∴④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质等，本题难度较大，综合性强．
2．（2020•浙江自主招生）如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，，，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点总在一条曲线上运动，则这条曲线为　　

A．直线 B．抛物线
C．圆 D．反比例函数的曲线
【考点】：反比例函数综合题
【专题】16：压轴题；25：动点型；31：数形结合
【分析】如图：延长交的延长线于，连接．只要证明是的中位线，可得，即可解决问题．
【解答】解：如图：延长交的延长线于，连接．

，
，
，，
为的平分线，
，
，
，，
，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
点在以为圆心为半径的圆上运动．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020•恩平市模拟）如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线经过、两点，若平行四边形的面积为10，则的值是　　

A． B． C． D．
【答案】
【考点】反比例函数综合题
【分析】设的坐标是，则，平行四边形中是的中点，则的坐标是：，的纵坐标是，表示出的横坐标，则可以得到即的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得的值．
【解答】解：设的坐标是，则，
平行四边形中是的中点，
的坐标是：，的纵坐标是，
把代入得：，即的横坐标是：．
，边上的高是，
，
即，
，
解得：．
故选：．
【点评】本题是平行四边形与反比例函数的综合应用，根据点的坐标表示出的长度是关键．
4．（2018春•巴南区期中）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点的坐标为，对角线、相交于点，双曲线经过的中点，交于点，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；②直线的解析式为；③；④；其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】：反比例函数综合题
【专题】16：压轴题
【分析】①过作轴于点，过作轴于点，由菱形的性质可求得的长度，在中，可求得，结合三角形中位线定理可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式；
②设．将其代入反比例函数解析式求得点的横坐标，利用待定系数法求得直线表达式；
③过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；
④在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案．
【解答】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
，
，
，即，
，
在中，，，由勾股定理可得，
为中点，
是的中位线，
，
，
双曲线过点，
，
双曲线解析式为，
故①正确；

②由①知，，故设．
将其代入双曲线，得，

，．
易得直线解析式为：，
故②正确；

③过作轴于点，
可知四边形为矩形，
，
，
，
，

且，
，
故③正确；

④在直角中，，，由勾股定理得到：．
，
，
，
故④正确．
综上所述，正确的结论由4个，
故选：．

【点评】本题主要考查反比例函数综合题，涉及待定系数法、菱形的性质、直角三角形、菱形的面积等知识．利用菱形的面积求得到轴的距离是解题的关键，注意菱形两个面积公式的灵活运用．本题考查知识点较基础，综合性很强，但难度不大．
5．（2018•单县三模）如图，点为轴上任意一点，过点作垂直于轴交轴于点，交双曲线于点，则的面积为　　

A．9 B．10 C．12 D．15
【考点】：反比例函数综合题
【分析】连接、，，，根据反比例函数中的几何意义即可求得，根据求解．
【解答】解：连接、．
轴，
，
，，
又双曲线的解析式是，
，
．
故选：．

【点评】本题考查了三角形的面积公式以及反比例函数中比例系数的几何意义，正确理解，，是关键．
6．（2020•深圳模拟）如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若＝，则＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题；推理能力．
【答案】A
【分析】设点B的坐标为（b，a），得到A（0，a），C（b，0），进而求出P（，a），E（b，），再求出直线PE的解析式为y＝﹣x++a，进而求出F（+b，0），进而判断出四边形ACFP是平行四边形，再用平行四边形的面积公式判断出①正确，由四边形ACFP是平行四边形，判断出AC∥DF，进而判断出②正确；由＝，判断出ab＝4k，再求出点D坐标，即可判断出③错误；先由S△CEF＝1，判断出＝2，再由S△PBE＝4，得出（b﹣）•（a﹣）＝4，计算之后，判断出④正确，即可得出结论．
【解答】解：设点B的坐标为（b，a），
∵四边形ABCD为矩形，
∴A（0，a），C（b，0），
∵点P，E在反比例函数图形上，
∴P（，a），E（b，），
∴直线PE的解析式为y＝﹣x++a，
令y＝0，则﹣x++a＝0，
∴x＝+b，
∴F（+b，0），
∴CF＝+b﹣b＝，
∵P（，a），
∴AP＝，
∴AP＝CF，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，AB∥OC，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CF•OA＝•a＝k，故①正确；
∵四边形ACFP是平行四边形，
∴AC∥DF，
∵OA∥∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；
∵＝，
∴＝，
∵B（b，a），
∴OB＝b，
∵P（，a），
∴AP＝，
∴＝，
∴ab＝4k，
∵直线PE的解析式为y＝﹣x++a，
∴D（0，+a），
∵A（0，a），
∴AD＝+a﹣a＝，
∴＝＝＝，故③错误；
∵S△CEF＝1，
∴××＝1，
∴＝2，
∵S△PBE＝4，
∴（b﹣）•（a﹣）＝4，
∴ab﹣k﹣k+＝8，
∴k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，三角形平行四边形的面积公式，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APFC是平行四边形是解本题的关键．
7．（2019•兰山区二模）已知点，分别在反比例函数，的图象上且，则为　　

A． B． C． D．
【考点】：反比例函数综合题
【专题】16：压轴题；：探究型
【分析】首先设出点和点的坐标分别为：，、，，设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，然后根据，得到，然后利用正切的定义进行化简求值即可．
【解答】解：法一：
设点的坐标为，，点的坐标为，，
设线段所在的直线的解析式为：，线段所在的直线的解析式为：，
则，，
，

整理得：，
．

法二：过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
点，分别在反比例函数，的图象上，
，
，
．
故选：．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，解题的关键是设出、两点的坐标，然后利用互相垂直的两条直线的比例系数互为负倒数求解．
8．（2020春•天心区校级月考）如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是　　
①；
②；
③若，则平分；
④若，则

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【考点】：反比例函数综合题
【专题】66：运算能力；153：代数几何综合题；534：反比例函数及其应用
【分析】根据点是动点，得到与不一定相等，判断出①错误；设出点的坐标，得出，，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形，进而得出，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：点是动点，
与不一定相等，
与不一定全等，故①不正确；
设，
轴，
，
，
，
轴，
，
，
，
，②正确；
如图1，作于，于，
，，
，
，，，
平分，③正确；
如图2，延长交轴于，延长交轴于，
轴，轴，又，
四边形是矩形，
点，在双曲线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，④错误；
故选：．


【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键
9．（2020秋•莒南县期末）已知：如图，在直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，对角线，相交于点，双曲线经过点，交的延长线于点，且，有下列四个结论：
①菱形的面积为80；②点的坐标是；③双曲线的解析式为；④．
其中正确的结论有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】反比例函数综合题
【专题】综合题
【分析】作轴于，轴于，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得到菱形的面积；则的面积为20，根据三角形面积公式可计算出，再根据菱形的性质易得为的中位线，则，所以点的纵坐标为8；接着证明，得到，
由于，，则，解得或（舍去），可确定点坐标为，利用待定系数法得到反比例函数解析式为；同时可确定点坐标为；轴于，则，根据菱形性质得，根据勾股定理可计算出，然后利用正弦的定义即可得到，于是有．
【解答】解：作轴于，轴于，如图，
四边形为菱形，
菱形的面积，所以①正确；
菱形的面积的，
而点的坐标为，
，
，
与互相垂直平分，
，为的中位线，
，
点的纵坐标为8，
，
，
，
，即，
，，
，解得或（舍去），
点坐标为，
把代入得，
反比例函数解析式为，所以③错误；
把代入得，解得，
点坐标为，所以②正确；
轴于，如图，
，
四边形为菱形，
，
在中，，，
，
，
即，所以④正确．
故选：．

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象的点的坐标满足其函数解析式；熟练运用菱形的性质、相似三角形的相似比和勾股定理进行计算．
10．（2020•邯山区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形斜靠在轴上，顶点，反比例函数图象经过点，将正方形绕点顺时针旋转一定角度后，得正方形，且恰好落在轴的正半轴上，此时边交反比例图象于点，则点的纵坐标是　　

A． B．3 C． D．4
【答案】
【考点】反比例函数综合题
【分析】先根据勾股定理求出的长，再过点作轴于点，根据定理得出，故可得出点坐标，求出的值，再求出的长，进而可得出点坐标．
【解答】解：中，，，
．
过点作轴于点，
，，
，
同理，，
在与中，
，
，
，，
．
反比例函数图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
，
点的横坐标为8，
，
点的纵坐标是．
故选：．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．

考点卡片
1．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．