试卷 2021年天津市红桥区中考数学结课质检试卷

这是一份试卷 2021年天津市红桥区中考数学结课质检试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年天津市红桥区中考数学结课质检试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将对应题目所选的答案标号填入下面的表格中）
1．（3分）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
2．（3分）sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
3．（3分）下列图标中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在一艘小船A上测得海岸上高为42m的灯塔BC的顶部C处的仰角是30°，则船离灯塔的水平距离AB等于（　　）

A．42m B．14m C．21m D．42m
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和AC的中点，若S△ADE＝5，则S△ABC等于（　　）

A．30 B．25 C．22.5 D．20
7．（3分）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3
8．（3分）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC＝3：2，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
9．（3分）反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A．k＝2
B．当x＞0时，y 随x的增大而增大
C．函数图象分布在第一、三象限
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
10．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠AEF＝∠B
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
…
y
…
6
0
﹣6
﹣4
6
…
有下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数的最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在该二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan60°的值等于　 　．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为　 　．
15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的大小为　 　（度）．

16．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，请写出符合上述条件的k的一个值：　 　．
17．（3分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　 　（nmile）（结果保留根号）．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于　 　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在DC上，AC与BE相交于点F，若AB＝12，CE＝8，AF＝9，求FC的长．

20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）图象的一支．
（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；
（Ⅱ）点A（2，3）在该反比例函数的图象上．
①判断点B（3，2），C（4，﹣2），D（﹣1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？

22．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

23．（10分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留整数）．
参考数据：tan50°≈1.2．

24．（10分）在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（，0），点C（0，1）．以点O为中心，逆时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30时°，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在y轴的正半轴上时，OD与BC交于点M，求点M的坐标；
（Ⅲ）将矩形OABC旋转一周，求边AB扫过的面积S（直接写出结果即可）．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；
（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．

2021年天津市红桥区中考数学结课质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将对应题目所选的答案标号填入下面的表格中）
1．（3分）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．
【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，
（﹣2）×（﹣3）＝6．
故选：D．
2．（3分）sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°＝．
故选：C．
3．（3分）下列图标中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：主视图：底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；
俯视图：底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形；
故选：A．
5．（3分）如图，在一艘小船A上测得海岸上高为42m的灯塔BC的顶部C处的仰角是30°，则船离灯塔的水平距离AB等于（　　）

A．42m B．14m C．21m D．42m
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（m），
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和AC的中点，若S△ADE＝5，则S△ABC等于（　　）

A．30 B．25 C．22.5 D．20
【分析】由三角形的中位线定理可得DE＝BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用面积比是相似比的平方即可求解，即可求解．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABC＝20，
故选：D．
7．（3分）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
则x+3＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
故选：B．
8．（3分）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC＝3：2，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．2
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AM＝BM，再计算出OM的长，然后根据勾股定理计算出AM的长，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，
∵CD＝20，
∴OC＝10，
∵OM：MC＝3：2，
∴OM＝6，
在Rt△OAM中，AM＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．

9．（3分）反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A．k＝2
B．当x＞0时，y 随x的增大而增大
C．函数图象分布在第一、三象限
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），
∴1＝，
解得，k＝2，故选项A说法正确；
∵k＝2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项C说法正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B说法错误、选项D说法正确；
故选：B．
10．（3分）若点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝﹣2＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣1＜0，0＜1＜2，
∴点A（﹣1，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AB＝CD C．∠B＝∠D D．∠AEF＝∠B
【分析】由旋转的性质可得BC＝CE，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠CED，∠A＝∠D，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠CED，∠A＝∠D，
∴∠AEF＝∠CED＝∠B，
故选：D．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
…
y
…
6
0
﹣6
﹣4
6
…
有下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数的最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在该二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
【解答】解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得，，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
∵a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x＝﹣，即当x＝﹣时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方程x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）tan60°的值等于　　．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：tan60°＝，
故答案为：．
14．（3分）一个不透明的袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，这些球除颜色外其它均相同．现从中随机摸出一个球，则摸出的球是白球的概率为　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子里装有9个球，其中有5个红球，4个白球，
∴摸出的球是白球的概率为；
故答案为：；
15．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的大小为　110　（度）．

【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
16．（3分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，请写出符合上述条件的k的一个值：　﹣1　．
【分析】反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，符合上述条件的k的一个值可以是﹣1．（负数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
只要是小于0的所有实数都可以．例如：﹣1．
故答案为﹣1．
17．（3分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　10　（nmile）（结果保留根号）．

【分析】先作辅助线AC⊥BD于点C，然后根据锐角三角函数可以求得AC的长，从而可以得到AD的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥BD于点C，
由已知可得，∠BAC＝45°，∠DAC＝60°，AB＝20，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AC＝AB•cos45°＝20×＝10，
∴AD＝＝＝20，
故答案为：10．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AB的长等于　　；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在△ABC的内部画出点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P　．

【分析】（Ⅰ）根据勾股定理得出AB即可；
（Ⅱ）根据平行四边形的面积公式和三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝，

故答案为：；
（Ⅱ）如图，AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，则点P即为所求，
由图可知，AE：CD：DE＝1：1：3，且AC∥FN，
∴平行四边形ABME，CDNB，DEMG的高相等，
∴S▱ABME：S▱CDNB：S▱DEMG＝1：1：3，
∵，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：1：3．
故答案为：AC与网格相交得到D，E，取格点F，连接FB，并延长，与网格相交得M，N，G，连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E在DC上，AC与BE相交于点F，若AB＝12，CE＝8，AF＝9，求FC的长．

【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，从而得到△CEF∽△ABF，得出比例式，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∵AB＝12，CE＝8，AF＝9，
∴FC＝6．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
21．（10分）如图，它是反比例函数y＝（m为常数，且m≠5）图象的一支．
（Ⅰ）图象的另一支位于哪个象限？求m的取值范围；
（Ⅱ）点A（2，3）在该反比例函数的图象上．
①判断点B（3，2），C（4，﹣2），D（﹣1，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点M（x1，y1）和N（x2，y2）．如果x1＜x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？

【分析】（Ⅰ）由反比例函数图象的对称性可得另一支所在的象限，并且可得到m的不等式，可求得m的取值范围；
（Ⅱ）①根据同一反比例函数图象上横纵坐标的积为6判断即可；
②由反比例函数的增减性可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由图象在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限，
∵图象在第一、三象限，
∴m﹣5＞0，解得m＞0；
（Ⅱ）∵点A（2，3）在该反比例函数的图象上，
∴m﹣5＝2×3＝6，
①点B（3，2）和D（﹣1，﹣6）在这个函数的图象上，
∵3×2＝6，4×（﹣2）＝﹣8≠6，﹣1×（﹣6）＝6，
∴点B（3，2）和D（﹣1，﹣6）在这个函数的图象上，点C不在这个函数图形上；
②∵反比例函数图象在第一、三象限，
∴在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
22．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．

【分析】（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB＝90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE＝∠BEC＝65°，利用同圆的半径相等知：OA＝OD，同理∠ODA＝∠OAD＝65°，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°；

（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝65°﹣50°＝15°．


23．（10分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留整数）．
参考数据：tan50°≈1.2．

【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
【解答】解：在Rt△ACD中，＝tan50°，
∴AC＝CD•tan50°＝40×1.2＝48（m），
在Rt△BCD中，∠BDC＝∠DBC＝45°，BC＝CD＝40m．
∴AB＝AC﹣BC＝48﹣40＝8（m）．
答：旗杆的高度AB约为8m．
24．（10分）在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（，0），点C（0，1）．以点O为中心，逆时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，当α＝30时°，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点E落在y轴的正半轴上时，OD与BC交于点M，求点M的坐标；
（Ⅲ）将矩形OABC旋转一周，求边AB扫过的面积S（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得OD＝OA＝，由直角三角形的性质可求解；
（Ⅱ）通过证明△OCM∽△ODE，可求CM的长，即可求解；
（Ⅲ）由圆的面积公式可求解．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点D作DH⊥OA于H，

∵四边形OABC是矩形，点O（0，0），点A（，0），点C（0，1），
∴点B（，1），OA＝，OC＝AB＝1，
∵以点O为中心，逆时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，
∴OD＝OA＝，
∵∠DOA＝30°，
∴DH＝，OH＝DH＝，
∴点D（，）；
（Ⅱ）∵以点O为中心，逆时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，
∴OD＝OA＝，DE＝AB＝1，∠D＝∠OAB＝90°，
∴OE＝＝＝2，
∵∠OCM＝∠D，∠COM＝∠DOE，
∴△OCM∽△ODE，
∴，
∴CM＝＝，
∴点M（，1）；
（Ⅲ）∵将矩形OABC旋转一周，
∴边AB扫过的面积S＝π×22﹣π×2＝π．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，a≠0）与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为（2，4）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；
（Ⅲ）点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC+QA的最小值．
【分析】（1）由顶点C的坐标为（2，4）列方程即可得答案；
（2）设P横坐标为m，用m的代数式表示△PAC面积即可得出答案；
（3）将QC+QA化为（QC+QA），属“胡不归”问题，作sin∠ECD＝，把所求问题转化为求垂线段即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx顶点C的坐标为（2，4），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x，
（2）过P作PQ交AC于Q，如答图1：

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴令y＝0得x1＝0，x2＝4，
∴A（4，0），
设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（4，0）、C（2，4）代入得：
，解得，
∴直线AC解析式为y＝﹣2x+8，
设P（m，﹣m2+4m），则Q（m，﹣2m+8），
∴PQ＝（﹣m2+4m）﹣（﹣2m+8）＝﹣m2+6m﹣8，
∴S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ＝PQ•（xA﹣xC）＝（﹣m2+6m﹣8）×（4﹣2）＝﹣m2+6m﹣8，
当m＝＝3时，S△PAC最大为1，
∴△PAC面积的最大值是1；
（3）∵QC+QA＝（QC+QA），
∴要使QC+QA最小，即是QC+QA最小，
设抛物线对称轴交x轴于D，以C为顶点，CD为一边，在对称轴左侧作∠ECD，使sin∠ECD＝，过A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，过Q作QF⊥CE于F，如答图2：

∵sin∠ECD＝，QF⊥CE，
∴QF＝QC，
∴QC+QA最小即是QF+QA最小，
此时F与B重合，Q与Q′重合，QC+QA的最小值即是AB的长度，
∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°，
∴∠ECD＝∠Q′AD，
∵sin∠ECD＝，
∴sin∠Q′AD＝，可得tan∠Q′AD＝，cos∠Q′AD＝，
而A（4，0）、C（2，4）知DA＝2，
∴Q′A＝，Q′D＝1，
∴Q′C＝3，
∵sin∠ECD＝，
∴Q′B＝，
∴AB＝Q′A+Q′B＝，
∴QC+QA最小为，
∴QC+QA最小为（QC+QA）＝8．