试卷 2021年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷，共25页。

2021年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
一.选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数的绝对值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．±2 D．2
2．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．100°
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
4．（3分）据报道，2020年某市户籍人口中，60岁以上的老人有1230000人，预计未来五年该市人口“老龄化”还将提速．将1230000用科学记数法表示为（　　）
A．12.3×105 B．1.23×105 C．0.12×106 D．1.23×106
5．（3分）下列各式不成立的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
6．（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
9．（3分）函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1
11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．1
12．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：x2y﹣9y＝　 　．
14．（3分）写出不等式组的解集为　 　．
15．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　 　．

17．（3分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝　 　．

三、解答题（本题共8小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．
19．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　 　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

20．（8分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．

23．（8分）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．
（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？
（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
24．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．


2021年山东省聊城市莘县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）的倒数的绝对值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．±2 D．2
【分析】根据倒数的定义，两数的乘积为1，这两个数互为倒数，先求出﹣的倒数，然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值．
【解答】解：∵﹣的倒数是﹣2，
∴|﹣2|＝2，
则﹣的倒数的绝对值是 2．
故选：D．
2．（3分）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（　　）

A．60° B．70° C．80° D．100°
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CPF＝55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，
∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．a6÷a﹣2＝a﹣3
C．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6 D．（2a+b）2＝4a2+b2
【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a6÷a﹣2＝a8，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项合题意；
D、（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）据报道，2020年某市户籍人口中，60岁以上的老人有1230000人，预计未来五年该市人口“老龄化”还将提速．将1230000用科学记数法表示为（　　）
A．12.3×105 B．1.23×105 C．0.12×106 D．1.23×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1230000用科学记数法表示为1.23×106．
故选：D．
5．（3分）下列各式不成立的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【解答】解：﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；
＝＝2，B选项成立，不符合题意；
＝＝，C选项不成立，符合题意；
＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为＝3（册），
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C． D．2
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．

8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l＝＝5（cm），
∴S侧＝•2πr•l＝×2π××5＝15π（cm2）．
故选：B．
9．（3分）函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【解答】解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
10．（3分）不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1
【分析】根据不等式的性质求出不等式①的解集，根据不等式组的解集得出a+1≤2，求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x＞a+1，
又∵不等式组的解集是x＞2，
∴a+1≤2，
∴a≤1．
故选：C．
11．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　）

A． B． C．2 D．1
【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝2，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝2，
∴EF的最小值为2；
故选：B．

12．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）因式分解：x2y﹣9y＝　y（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x2y﹣9y，
＝y（x2﹣9），
＝y（x+3）（x﹣3）．
14．（3分）写出不等式组的解集为　﹣1≤x＜3　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集
【解答】解：不等式①的解集为x＜3，
不等式②的解集为x≥﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
故答案为：﹣1≤x＜3．
15．（3分）若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是　k≤5　．
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，其中k﹣1≠0时根据题意列出关于k的不等式求解可得．
【解答】解：当k﹣1＝0时，方程为4x+1＝0，显然有实数根；
当k﹣1≠0，即k≠1时，△＝42﹣4×（k﹣1）×1≥0，
解得k≤5且k≠1；
综上，k≤5．
故答案为：k≤5．
16．（3分）如图，一扇形纸片，圆心角∠AOB为120°，弦AB的长为cm，用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为　cm　．

【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形．先求出扇形的半径，再求扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系求底面半径．
【解答】解：设扇形OAB的半径为R，底面圆的半径为r，
则R2＝（ ）2+，
解得R＝2cm，
∴扇形的弧长＝＝2πr，
解得，r＝cm．
故答案为cm．
17．（3分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝　20110　．

【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1），依此求出a4，a200，再相加即可求解．
【解答】解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1），
则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110．
故答案为：20110．
三、解答题（本题共8小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（7分）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
由3x+7＞1，解得x＞﹣2，
∵x是不等式3x+7＞1的负整数解，
∴x＝﹣1，
∴原式＝3
19．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　200　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　81°　；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　微信　”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；

（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：

由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；

（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
20．（8分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．

【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．

【分析】（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN，即可求解．
【解答】解：（1）联立y＝x+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4＝，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y＝﹣②；

（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y＝x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y＝x+5交x轴于点C，
令y＝0，则x+5＝0，
∴x＝﹣10，
∴C（﹣10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，

则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC•AMOC•BN＝．
22．（8分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈l.43）．

【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．
【解答】解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，

则AE＝MN＝CF＝1.6，
EF＝AC＝35，
∠BEN＝∠DFN＝90°，
EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，
在Rt△DFN中，
∵∠DNF＝45°，
∴NF＝DF＝15，
∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，
在Rt△BEN中，
∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6，
∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30米．
23．（8分）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．
（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？
（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？
【分析】（1）设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设A型学习用品单价x元，
根据题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的根，
x+10＝20+10＝30．
答：A型学习用品20元，B型学习用品30元；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：
20（1000﹣a）+30a≤28000，
解得：a≤800．
答：最多购买B型学习用品800件．
24．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的长．

【分析】（1）首先连接OC，由OC＝OA，＝，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE＝3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF＝OA＝AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵＝，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＝30°，
∵△AEC为直角三角形，AE＝3，
∴AC＝2，
连接OF，
∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF＝OA＝AB，
在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，
∴AB＝＝＝4，
∴AF＝2．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y＝x2+mx+n与y＝kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM＝（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到
当t＝﹣＝时，PM最长为＝，再利用三角形的面积公式利用S△ABM＝S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM＝OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM＝OB＝3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM＝OB＝3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）＝3；当P在第三象限：PM＝OB＝3，t2﹣3t＝3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n，得

解得，
所以抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，
解得，
所以直线AB的解析式是y＝x﹣3；

（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），
因为p在第四象限，
所以PM＝（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
当t＝﹣＝时，二次函数的最大值，即PM最长值为＝，
则S△ABM＝S△BPM+S△APM＝＝．

（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴当PM＝OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM＝OB＝3，PM最长时只有，所以不可能有PM＝3．
②当P在第一象限：PM＝OB＝3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）＝3，
解得t1＝，t2＝（舍去），
所以P点的横坐标是；
③当P在第三象限：PM＝OB＝3，t2﹣3t＝3，
解得t1＝（舍去），t2＝，
所以P点的横坐标是．
综上所述，P点的横坐标是或．