试卷 2021年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷）

这是一份试卷 2021年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷）
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（4分）下列计算中正确的是（　　）
A．b6÷b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．（a3）3＝a9 D．a2+a2＝a4
3．（4分）今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成3900000贫困人口的搬迁建设任务，数据3900000用科学记数法应表示为（　　）
A．0.39×108 B．3.9×107 C．3.9×106 D．39×105
4．（4分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当∠1＝15°时，∠2的度数是（　　）

A．15° B．25° C．25° D．45°
6．（4分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
7．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
8．（4分）我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0
C．（c﹣a）（c+3a）＞0 D．a﹣b≥m（am+b）（m为实数）
10．（4分）如图，一个长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（　　）

A．EF B．FG C．GH D．FH
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（5分）分解因式：8a﹣2a3＝　 　．
13．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：　 　，使得四边形AEDF是菱形．

14．（5分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为　 　．

15．（5分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为　 　．

16．（5分）如图，点B，D在x轴正半轴上，点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AO＝AB，CB＝CD，且OA∥CB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，则的值为　 　；当k＝4时，S2的值为　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）化简：m（m+2）﹣（m﹣1）2．
（2）解不等式：≤1．
18．（8分）图①②分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．
（1）请在图①中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形；
（2）请在图②中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形
19．（8分）如图，小甬的家在某住宅楼AB的最顶层，他家对面有一建筑物CD，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A到地面的距离（AB）为20m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，≈1.7）

20．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

21．（10分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，

（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
22．（10分）如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）求线段CD所在直线的函数表达式．
（2）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？

23．（12分）【基础巩固】
（1）如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED．
【尝试应用】
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为边AD，AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB，求的值．
【拓展提高】
（3）如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB，PC，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长．

24．（14分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“奇点”．
（1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有　 　（填写正确的序号）．
①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点．
（2）如图②，△ABC中，BC＝11，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“奇点”，求线段BD的长．
（3）如图③，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC上一点，连接OD，AD，若OD⊥AD．
①求证：点D是△ABC中BC边上的“奇点”；
②若AD是△ABC的角平分线，求的值．


2021年浙江省宁波市中考数学模拟试卷（潮卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】根据求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，即可得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．（4分）下列计算中正确的是（　　）
A．b6÷b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．（a3）3＝a9 D．a2+a2＝a4
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A．b6÷b3＝b3，故本选项不合题意；
B．b3•b3＝b6，故本选项不合题意；
C．（a3）3＝a9，正确，故本选项符合题意；
D．a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成3900000贫困人口的搬迁建设任务，数据3900000用科学记数法应表示为（　　）
A．0.39×108 B．3.9×107 C．3.9×106 D．39×105
【分析】根据科学记数法形式：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，即可求解．
【解答】解：3900000用科学记数法应表示为：3.9×106．
故选：C．
4．（4分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是黄球的有5种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，
故选：D．
5．（4分）如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边可以自由滑动上．当∠1＝15°时，∠2的度数是（　　）

A．15° B．25° C．25° D．45°
【分析】根据BE∥CD得到∠EBC＝15°，依据∠ABC＝60°，∠EBC＝15°，由角的和差关系可求∠2＝45°．
【解答】解：如图，
∵BE∥CD，
∴∠EBC＝∠1＝15°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠2＝45°．
故选：D．

6．（4分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：D．
7．（4分）4月23日为世界读书日，倡导全民多读书、读好书．成都高新区某学校为了了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们在今年世界读书日所在的这一周的读书时间进行了统计，统计数据如表所示：
读书时间（小时）
4
5
6
7
8
学生人数
6
10
9
8
7
则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（　　）
A．6，5 B．6，6 C．6.5，6 D．6.5，5
【分析】根据表格中的数据可知该班有学生40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，读书时间为5小时最多，故一周读书时间的众数为5，
该班学生一周读书时间的第20个数6和第21个数是6，故该班学生一周读书时间的中位数为＝6，
故选：A．
8．（4分）我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：D．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项正确的是（　　）

A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0
C．（c﹣a）（c+3a）＞0 D．a﹣b≥m（am+b）（m为实数）
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、由图示知，抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即ab＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＞0，故本选项不符合题意．
B、由图示知，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以4ac﹣b2＜0，故本选项不符合题意．
C、由对称轴x＝﹣＝﹣1得到：b＝2a．
又∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∴c﹣a＞0．
∴（c﹣a）（c+3a）＝（c﹣a）（c+a+b）＜0．
故本选项不符合题意．
D、∵x＝﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，
∴a﹣b≥m（am﹣b），
故本选项符合题意．
故选：D．

10．（4分）如图，一个长方形ABCD是由四块小长方形拼成（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙），其中②和③两块长方形的形状大小完全相同，如果要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道哪条线段的长（　　）

A．EF B．FG C．GH D．FH
【分析】根据题意和图形，可以写出①和④两块长方形的周长之差，然后整理化简即可．
【解答】解：∵②和③两块长方形的形状大小完全相同，
∴FH＝BE＝CH，AE＝DH＝GH，
∴①和④两块长方形的周长之差是：
2（EG+EB）﹣2（AE+EF）
＝2（EG+EB﹣AE﹣EF）
＝2[（EG﹣EF）+（EB﹣AE）]
＝2[FG+（FH﹣GH）]
＝2（FG+FG）
＝4FG，
∴要求出①和④两块长方形的周长之差，则只要知道线段FG的长即可，
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≠﹣2　．
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若代数式在实数范围内有意义，则x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案是：x≠﹣2．
12．（5分）分解因式：8a﹣2a3＝　2a（2+a）（2﹣a）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（4﹣a2）
＝2a（2+a）（2﹣a）．
故答案为：2a（2+a）（2﹣a）．
13．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：　AB＝AC（答案不唯一）　，使得四边形AEDF是菱形．

【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，由AB＝AC，得出DE＝DF＝AE＝AF，即可得出结论．
【解答】解：添加条件：AB＝AC．理由如下：
∵AD⊥BC，点E，F分别是AB，AC边的中点，
∴DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，
∵AB＝AC，
∴DE＝DF＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是菱形；
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）．
14．（5分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为　π　．

【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝8，
由勾股定理得，OB＝＝4，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝2，
∴阴影部分的面积＝﹣×4×4×+×4×2﹣＝π，
故答案为：π．

15．（5分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为　或　．

【分析】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴HC＝3，
∵∠AHC＝90°，AC＝5，
∴cosC＝＝＝，
∴DC＝，
∴BD＝＝，
①⊙O与AC相切时，切点为D，
∵半径为，
∴OD＝，
∵BD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；
②⊙O与BC相切时，切点为M，
∴OM⊥BC，
∴∠BMO＝∠BDC＝90°，
∵∠MBO＝∠DBC，
∴△MBO∽△DBC，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝；
③⊙O与AB相切时，切点为N，
∴ON⊥AB，
∴∠BNO＝∠BDA＝90°，
∵∠NBO＝∠DBA，
∴△NBO∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝．

当圆O与AB相切时，OB的长为，
∵BD＝，
∵＞，
也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，
故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．
综上所述，AP的长为或．
故答案为：或．
16．（5分）如图，点B，D在x轴正半轴上，点A，C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AO＝AB，CB＝CD，且OA∥CB，设△AOB，△CBD的面积分别为S1，S2，则的值为　3+2　；当k＝4时，S2的值为　12﹣8　．

【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设A（a，），C（b，），由OA∥CB，可得∠AOE＝∠CBF，进而可得tan∠AOE＝tan∠CBF，应用三角函数定义即可得到b2﹣2ab﹣a2＝0，解得b＝（1+）a，再根据三角形面积公式分别求得S1＝k，S2＝（3﹣2）k，从而可得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
设A（a，），
∴OE＝a，AE＝，
∵OA＝AB，AE⊥OB，
∴OE＝BE＝a，
∴B（2a，0），
设C（b，），
∴OF＝b，CF＝，
∴BF＝OF﹣OB＝b﹣2a，
∵OA∥CB，
∴∠AOE＝∠CBF，
∴tan∠AOE＝tan∠CBF，
∴＝，
∴AE•BF＝CF•OE，即：（b﹣2a）＝•a，
整理得：b2﹣2ab﹣a2＝0，
解得：b1＝（1+）a，b2＝（1﹣）a（舍去），
∴CF＝＝＝（﹣1），BF＝b﹣2a＝（1+）a﹣2a＝（﹣1）a，
∴BD＝2BF＝2（﹣1）a，
∴C（（1+）a，（﹣1）），
∵S1＝OB•AE＝×2a×＝k，
S2＝BD•CF＝×2（﹣1）a×（﹣1）＝（3﹣2）k，
∴＝＝3+2，
当k＝4时，S2＝（3﹣2）×4＝12﹣8．
故答案为：3+2；12﹣8．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）化简：m（m+2）﹣（m﹣1）2．
（2）解不等式：≤1．
【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则，完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可求解．
【解答】解：（1）m（m+2）﹣（m﹣1）2
＝m2+2m﹣（m2﹣2m+1）
＝m2+2m﹣m2+2m﹣1
＝4m﹣1；

（2）≤1，
去分母得3（1+x）﹣2（2x﹣1）≤6，
去括号得3+3x﹣4x+2≤6，
移项，合并同类项得﹣x≤1，
化系数为1得x≥﹣1．
18．（8分）图①②分别是4×5的网格，点A，B均在格点上，请按要求画出下列图形，所画的图形的各个顶点均在格点上．
（1）请在图①中画一个四边形ABCD，使得四边形ABCD为轴对称图形；
（2）请在图②中画一个四边形ABEF，使得四边形ABEF为中心对称图形
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图①中，四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图②中，四边形ABEF即为所求作（答案不唯一）

19．（8分）如图，小甬的家在某住宅楼AB的最顶层，他家对面有一建筑物CD，他很想知道建筑物的高度，他首先量出A到地面的距离（AB）为20m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，≈1.7）

【分析】（1）作AM⊥CD于M，根据矩形的性质得到CM＝AB＝20，AM＝BC，根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，即可得到答案．
【解答】解：（1）作AM⊥CD于M，

则四边形ABCM为矩形，∠DAM＝β＝53°，∠CAM＝α＝30°，
∴CM＝AB＝20，AM＝BC，
在Rt△ACM中，tanα＝，
则AM＝＝＝20（m），
答：AB与CD之间的距离20m；

（2）在Rt△AMD中，tanβ＝，
则DM＝AM•tan53°≈20×1.7×1.3＝44.2（m），
∴DC＝DM+CM＝44.2+20≈64（m），
答：建筑物CD的高度约为64m．
20．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y＝0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；
（2）求得D点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2+4，
把点C（0，3）代入，得3＝a+4，解得a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当y＝0时，解得x＝1或x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）∵点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣2，3），
由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x＜﹣2或x＞1．
21．（10分）某校九年级在一次体育模拟测试中，随机抽查了部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：A.40≤x＜45，45≤x＜50，C.50≤x＜55，D.55≤x＜60，E.60≤x＜65，F.65≤x≤70．并根据数据制作出如下不完整的统计图．请根据统计图解决下列问题，

（1）补全频数分布直方图，并求出m的值；
（2）若测试成绩不低于60分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（3）在（2）的条件下，若该校九年级有1800名学生，且都参加了该次模拟测试，则成绩优秀的学生约有多少人？
【分析】（1）根据B组的频数和所对的圆心角的度数，可以计算出本次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，可以得到E组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，根据直方图中的数据，可以计算出m的值；
（2）根据直方图中的数据，可以计算出本次测试的优秀率是多少；
（3）根据（2）中的结果，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人．
【解答】解：（1）本次抽查的学生有：6÷＝50（人），
E组学生有：50﹣2﹣6﹣8﹣16﹣4＝14（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
m＝360×＝115.2，
即m的值是115.2；
（2）×100%＝36%，
即本次测试的优秀率是36%；
（3）1800×36%＝648（人），
答：成绩优秀的学生约有648人．

22．（10分）如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）求线段CD所在直线的函数表达式．
（2）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？

【分析】（1）由图象可得甲、乙两地相距300km，轿车比货车晚出发1.2小时，利用待定系数法求解析式；
（2）求出OA解析式，联立方程组，可求解．
【解答】解：（1）设线段CD所在直线的函数表达式为：y＝kx+b，
由图象可得：甲、乙两地相距300km，轿车比货车晚出发1.2小时，
由题意可得：
，
解得：，
∴线段CD所在直线的函数表达式为：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）设OA解析式为：y＝mx，
由题意可得：300＝5m，
∴m＝60，
∴OA解析式为：y＝60x，
∴，
解得：，
300﹣234＝66（千米），
答：货车出发3.9小时两车相遇，此时两车距离乙地66千米．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图①，∠ABC＝∠ACD＝∠CED＝α，求证：△ABC∽△CED．
【尝试应用】
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为边AD，AB上两点，将菱形ABCD沿EF翻折，点A恰好落在对角线DB上的点P处，若PD＝2PB，求的值．
【拓展提高】
（3）如图③，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，连接PB，PC，若PA＝2，PD＝4，∠BPC＝120°，求AB的长．

【分析】（1）∠ABC＝∠ACD＝α，∠ACE＝∠A+∠ABC，则∠A＝∠ECD，进而求解；
（2）证明△ABD为等边三角形，由（1）得△ABC∽△CED，则，即，即可求解；
（3）证明△BEP∽△PFC，则，即，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACD＝α，∠ACE＝∠A+∠ABC，
∴∠DCE+α＝∠A+α，即∠A＝∠ECD，
∵∠ABC＝CED∠＝α，
∴△ABC∽△CED；

（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠EPF＝∠A＝∠ADB＝∠ABD＝60°，
由（1）得：△ABC∽△CED，
∴，
设BP＝a，则DP＝2a，AE＝PE＝x，AF＝PF＝y，
则DE＝3a﹣x，BF＝3a﹣y，
∴，
解得：，
∴的值为；

（3）如图，在AD上取点E、F，使∠ABE＝∠DCF＝30°，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠BEP＝∠BPC＝∠PFC＝120°，
∵∠EPB+∠FPC＝180°﹣120°＝60°，∠EPB+∠EBP＝60°，
∴∠FPC＝∠EBP，
∴△BEP∽△PFC，
∴，
设AB＝CD＝m，
则，
解得：m＝﹣或﹣﹣（舍去），
∴AB＝．
24．（14分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“奇点”．
（1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有　③　（填写正确的序号）．
①1点；②2点；③1点或2点；④1点或2点或3点．
（2）如图②，△ABC中，BC＝11，tanB＝，tanC＝，点D是BC边上的“奇点”，求线段BD的长．
（3）如图③，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC上一点，连接OD，AD，若OD⊥AD．
①求证：点D是△ABC中BC边上的“奇点”；
②若AD是△ABC的角平分线，求的值．

【分析】（1）根据“奇点”的定义即可判断直角三角形．
（2）根据三角函数，转化为边的比例，求出BH＝5、CH＝6、AH＝3．结合点D的位置分类讨论，利用已知定义建立方程即可求解．
（2）①延长AD叫⊙O于点E，连接BE．证明△BDE∽△ADC．利用对应边成比例即可求证．
②先判定△ABE∽△ADC．利用对应边比例即可求解．
【解答】解：（1）若直角三角形为等腰直角三角形有一个“奇点”．
若直角三角形非等腰直角三角形，则有两个：奇点．
故直角三角形有1或者2个“奇点”．
故答案为：③．
（2）作AH⊥BC于H．
由tanB＝，tanC＝，
可设AH＝3x，则BH＝5x、CH＝6x．
∴BC＝11x＝11，
∴x＝1．
∴BH＝5、CH＝6、AH＝3．
设DH＝a．
如图①，当点D在点H左侧时，

由点D是BC边上的“奇点”，有：AD2＝BD•CD．
∴a2+9＝（5﹣a）（6+a）．
解得：a＝3或a＝（舍）
∴BD＝5﹣a＝2．
如图②，当点D在点H右侧时，

∵AD2＝BD•CD．
∴a2+9＝（5+a）（6﹣a）．
解得：a＝或a＝﹣3（舍）．
∴BD＝5+a＝．
综上：BD的长为2或．
（3）①证明：如图③，延长AD叫⊙O于点E，连接BE．

∵OD⊥AD．
∴AD＝ED．
∵∠E＝∠C，∠BDE＝∠ADC．
∴△BDE∽△ADC．
∴，即：AD•ED＝BD•CD．
∴AD2＝BD•CD．
∴点D是△ABC中边BC边上的“奇点”．
②∵AD是角平分线．
∴∠BAE＝∠CAD．
∵∠E＝∠E．
∴△ABE∽△ADC．
∴．
∴AB•AC＝AD•AE＝2AD2
∴．