北京市海淀区十一学校龙樾实验中学2020-2021学年九年级下学期4月份数学阶段诊断Word版

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一．选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1．将数字 258000 用科学记数法可表示为(
A． 258103B． 2.58104
)
C． 2.58105
D． 0.258106
2．已知 x  y ，则下列不等式成立的是( )
A． 2x  5  2y  5
B． x  3  y  3
C． 5x  5y
D． 2x  2 y
3．下列立体图形中，俯视图是三角形的是( )
4．若关于 x 的分式方程 2m 1 
x 1
7x
x 1
 5有增根，则 m 的值是 ( )
A．4B．3C．2D．1
5．如图，一次函数 y1  mx  2与 y2  2x  5交于点 A(a,3) ，则不等式 mx  2  2x  5 的解集为 ( )
A． x  3
B． x  3
C． x  1
D． x  1
6．如图，在ABC 中， C  60 ， AD 是 BC 边上的高，点 E 为 AD 的中点，连接 BE 并延长交 AC 于点
F ．若AFB  90 ， EF  2 ，则 BF 长为 ( )
A．4B．6C．8D．10
7．如图，正三角形 PMN 的顶点分别是正六边形 ABCDEF 三边的中点，则三角形 PMN 与六边形 ABCDEF
的面积之比( )
A．1: 2
B．1: 3
C． 2: 3
D． 3: 8
8．《九章算术》是我国古代数学成就杰出代表，其中《方田》给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积
（弦 矢 矢 2 ) ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长
AB ，“矢”
等于半径长与圆心O 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“ 弦 ”为 8，“矢”为 3，则csOAB  ( )
二．填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1
x  2
9．二次根式中 x 的取值范围是 ．
10．如图是三个反比例函数的图象的分支，其中 k1 ， k2 ， k3 的大小关系是
11．把多项式 mx2  4mxy  4my2 分解因式的结果是 ．
12．关于 x 的一元二次方程 kx2  (2k 1)x  k  0 总有两个实数根，则常数 k 的取值范围是 ．
13．在一个不透明的袋子里装有 20 个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅拌均匀， 每次从袋子里随机摸出一个球，记录下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，发现摸到蓝球的频率稳定在 0.6 左右，请你估计袋子中装有蓝球的个数是 ．
14．如图， AD 是ABC 的中线， ADC  45 ， BC  10 ，把 ABC 沿直线 AD 折叠， 点C 落在点C 处，那么BC 的长为 ．
15．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方
程为“友好方程”，如果关于 x 的一元二次方程 x2  2x  0与 x2  3x  m 1  0
为“友好方程”，则 m 的值 ．
16．如图，抛物线 y  1 x2  3与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点 C(0, 4)为圆心，
3
为半径的圆上的动点， M 是线段 PA 的中点，连接 OM ．则段 OM 的最大值是 ．
三．解答题（本题共 68 分，第 17-22 题 5 分，第 23-26 题每小题 6 分，第 27-28 题每小题 7 分）
17．计算：
18．解不等式组

19．化简求值： (
5
x  3
 x  3)  2x  4 ，其中 x  5 ．
x  3
20．已知关于 x 的一元二次方程 mx2  (m  3)x  3  0．
（1）求证：无论 m 为何值， x  1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数 m 的值．
21．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， E 是 AB 延长线上一点且 BE  AB ，连接 CE ， BD ．
（1）求证：四边形 BECD 是平行四边形；
（2）连接 DE ，若 AB  BD  4 ，DE  2 2 ，求平行四边形 BECD 的面积．
22．如图，在ABC 中， AB  AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC 、 AC
于点 D 、 E ，连接 EB 交 OD 于点 F ．
（1）求证： OD  BE ；
（2）连接 AD ，交 BE 于点G ，若 AGE  DGF ，且 AB  2 ，求 AE 的长．
23．定义：关于 x 的一次函数 y  ax  b 与 y  bx  a(ab  0) 叫做一对交换函数，例如：一次函数 y  3x  4
与 y  4x  3就是一对交换函数．
（1）一次函数 y  2x  b的交换函数是 ；
（2）当b  2 时，（1）中两个函数图象交点的横坐标是 ；
（3）若（2）中两个函数图象与 y 轴围成的三角形的面积为 4，求b 的值．
24．某防护服生产公司旗下有 A 、B 两个生产车间，为了解 A 、B 两个生产车间工人的日均生产数量，公司领导小组从 A 、 B 两个生产车间分别随机抽取了 20 名工人的日均生产数量 x （单位：套），并对数据进
行分析整理（数据分为五组： A.25
出了以下部分信息：
x  35 ， B.35
x  45 ，C.45
x  55 ， D.55
x  65 ， E.65
x  75)．得
车间
平均数（个)
中位数（个)
众数（个)
极差
A
54
56
62
42
B
a
b
64
45
A ．B 两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表：
“ B 生产车间”工人日均生产数量在C 组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为 807． 根据以上信息，回答下列问题：
（1）上述统计图表中， a  ， b  ．扇形统计图 B 组所对应扇形的圆心角度数为  ．
（2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若 A 生产车间共有 200 名工人， B 生产车间共有 180 个工人，请估计该公司生产防护服数量在
“ 45
x  65 ”范围的工人数量．
25．中考“新体考”增设了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购 100 个足球，x 个排球(x  50) ．现有 A 、B 两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个 50 元，排球每个 40 元．他们的优惠政策是： A 公司足球和排球一律按标价 8 折优惠； B 公司规定每购买 2 个足球，赠送 1 个排球（单买排球按标价计算）．
（1）请用含 x 的代数式分别表示出购买 A 、 B 公司体育用品的费用；
（2）当购买 A 、 B 两个公司体育用品的费用相等时，求此时 x 的值；
足球
排球
篮球
1 人用 1 个
1 人用 1 个
2 人共用 1 个
（3）已知学校原有足球、排球各 50 个，篮球 100 个．在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表：若学校要满足 600 名学生同时训练，计
划拨出 10500 元经费采购这批足球与排球，这批经费够吗？若够，应在哪家公司采购？若不够，请说明理由．
26．已知一次函数 y  x  a 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A 、B ．二次函数 y  x2  2x  m的图象经过点
A ，且与 x 轴交于另一个点 C ，与 y 轴交于点 D ．
（1）若 a  3 ，求 m 的值；
（2）当 a  0 时，试用含 a 的代数式表示 BD 的长；
（3）是否存在 a 的值，使得直线 AB 与直线CD 互相垂直？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
27．在ABC 中， C  90 ， AC  BC ，点 D 在射线 BC 上（不与点 B 、C 重合），连接 AD ，将 AD 绕点
D 顺时针旋转90 得到 DE ，连接 BE ．
（1）如图 1，点 D 在 BC 边上．
①求证： AB  BE 
2BD ；
②若 BE  2BD  2 ，求CD 的长．
（2）如图 2，点 D 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 AB 、BD 、BE 之间的数量关系（直接写出结论）．
28．如图 1， ⊙I 与直线 a 相离，过圆心 I 作直线 a 的垂线，垂足为 H ，且交 ⊙I 于 P 、 Q两点 (Q在 P、
H 之间）．我们把点 P 称为 ⊙I 关于直线 a 的“远点“，把 PQ·PH 的值称为 ⊙I 关于直线 a的“特征数”．
（1）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0, 4) ．半径为 1 的⊙O 与两坐标轴交于点 A 、B 、
C 、 D ．
过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m ，则 ⊙O 关于直线 m 的“远点”是点
（填 A 、B 、C 或 D ) ，⊙O关于直线 m 的“特征数”为 ；
②若直线 n 的函数表达式为 y  3x  4．求⊙O 关于直线 n 的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 M (1, 4) ，点 F 是坐标平面内一点，以 F 为圆心， 2 为半径
作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点 N(1,0) 是⊙F 关于直线l 的“远点”．且⊙F 关于直线l 的“特征数”是
5 ，求直线l 的函数表达式．