四川省攀枝花市第十五中学校2021届高三下学期第21次周考数学（理）试题

这是一份四川省攀枝花市第十五中学校2021届高三下学期第21次周考数学（理）试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：
(试卷满分150分,时间120分钟)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。（在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，则S7＝( )
A．28 B．14 C．7 D．2
4．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannn）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（ ）（参考数据：）
A．1559B．3943C．1579D．2512
5．下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7．已知两点，是函数与轴的两个交点，且两点A，B间距离的最小值为，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5 D．6
9．已知随机变量服从二项分布，其期望，当时，目标函数的最小值为，则的展开式中各项系数之和为（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知方程的两根分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
12．已知函数，若存在实数，且，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．复数的共轭复数的虚部是______．
14．在中，，，分别为，，的对边，如果，那么的值为______．
15．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则______．
16．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：
①平面A1D1P⊥平面A1AP；②多面体的体积为定值；
③直线D1P与BC所成的角可能为；④APD1能是钝角三角形.
其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为，，，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量，求随机变量的分布列及其期望值．
18．（12分）已知数列满足：.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，试比较与的大小.
19．（12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是菱形，是线段上一点(不含)，在平面内过点作//平面交于点.
（Ⅰ）写出作点P､GP的步骤(不要求证明)；
（Ⅱ）若，，P是SD的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小
20. （12分）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若满足，求证：直线l经过定点．
21．（12分）已知函数，其中，是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系下，方程ρ＝2sin 2θ代表的图形为如图所示的“幸运四叶草”，该图形又被称为“玫瑰线”．
（Ⅰ ）当θ∈[0，eq \f(π,2)]时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；
（Ⅱ ）求曲线ρ＝eq \f(2\r(2),sinθ＋\f(π,4))上的点M与玫瑰线上的点N的距离的最小值及取得最小值时点M，N的极坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）若且，已知有最小值为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，使不等式成立，求实数的取值范围.
市十五中高2021届第21次周考试题（理科数学）参考答案
一、单选题
1-12 B ABC A CBACD AD
二、填空题
13．1 14． 15．4 16.①②④
三、解答题
17．解：（1）由得，
平均得分
.
（2）由已知得：，1，2，3，
，
，
，
，则分布列为：
则期望．
18．解：（1）因为数列满足：，所以，当时，
当时，，
相减可得，所以综上可得，
（2）因为，
所以
时，.
所以
综上，对都有，.
19．解：（1）第一步：在平面ABCD内作GHBC交CD于点H；
第二步：在平面SCD内作HPSC交SD于P；
第三步：连接GP，点P､GP即为所求.
（2）因是的中点，//，所以是的中点，
而GH//，所以是的中点.
连交于，连，设在底面ABCD的射影为，
因为，所以，即为的外心，所以与重合，因，，
所以，，
过作//交于，以分别为，，轴建立空间直角坐标系，
所以，设平面的法向量为，
则，取，则，
所以.又平面，故为平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，因为，
所以.故平面与平面所成锐二面角的大小为.
20.解（1）由题意，椭圆，且长轴长等于，离心率为，
可得 ，解得，所以，所以椭圆C的方程为．
（2）设，则，
由，可得三点共线，
所以，即，又由，
所以，
整理得．①
由，可得，则，
代入①，可得，整理得，
所以直线l的方程为，即，即直线l恒过定点．
21．解：（Ⅰ）因为，
所以，因为，，
所以①当即时，恒成立，即恒成立，
所以单调递增，即的单调递增区间为；
②当即时，方程的两根为：
，，且，
由得或；
由得，
则的单调递增区间为，；
综上当时，的增区间为，
②当时，的增区间为，；
（Ⅱ）关于的不等式对恒成立，等价于对恒成立，
因为，，所以，
令，
则，
令，则在上恒成立，
所以在上递增；则，即；
①当，即时，因为，所以，
当，，即，所以在上递增，
所以，故；
②当即时，
因为，，即，
所以在上递减，所以，故；
③当，即时，因为在上递增，
所以存在唯一实数，使得，即，则当时，，即；当时，，即，故在上单减，上单增，
所以，所以，设，则，所以在上递增，所以．综上所述，．
22．解：
(1)以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为ρ＝1，与ρ＝2sin2θ联立，得2sin2θ＝1，所以sin2θ＝eq \f(1,2)，因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq \f(π,12)或θ＝eq \f(5π,12)，则所求交点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,12)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5π,12))).
(2)易得曲线ρ＝eq \f(2\r(2),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))的直角坐标方程为x＋y＝4，玫瑰线ρ＝2sin2θ上点的极径的最大值为2，且可于点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))处取得．连接ON，易知其所在的直线与直线x＋y＝4垂直且交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))，所以点M与点N的距离的最小值为2eq \r(2)－2，此时Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4))).
23．解：（1）由即，
解得或(舍去)，当且仅当时取得“=，所以，
即的最小值为.
（2）由，，当时，等号成立
又使不等式成立，所以即，解得，
所以的取值范围是．
0
1
2
3