2021年高考艺术生数学基础复习 考点11 平面向量的坐标运算（教师版含解析）

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考点11  平面向量的坐标运算一．平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘及向量的模设＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝.2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线⇔x1y2－x2y1＝0.4．向量的夹角(1)已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π](2)夹角cos θ＝＝5．平面向量的数量积定义设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·投影||cos θ叫做向量在方向上的投影，||cos θ叫做向量在方向上的投影几何意义数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即·＝·⇏＝②结合律，即(·)·⇏·(·)．6．向量数量积的运算律(1)·＝·.(2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·.(3)(＋)·＝·c＋·7．向量在平面几何中的应用问题类型公式表示线平行、点共线等问题∥⇔＝λ⇔x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0垂直问题⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量夹角问题cos θ＝(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量长度问题||＝＝，其中＝(x，y)，为非零向量考向一 向量坐标的加减法【例1】(2020·全国高三专题练习)已知点则与同方向的单位向量为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】,所以与同方向的单位向量为，故选A.【举一反三】1.(2020·全国高三专题练习)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为(　　)A．(－8,1) B．C． D．(8，－1)【答案】B【解析】设P(x，y)，则＝ (x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以，解得，即， 故选B.2．(2020·四川资阳市·高三)已知，，，，则向量(    ).A． B． C．4 D．6【答案】C【解析】，，所有.故选：C考向二 向量坐标的垂直平行运算【例2】(1)(2020·河津中学高三月考)向量，若，则k的值是(    )A．1 B． C．4 D．(2)(2020·海口市·海南中学高三月考)3.设向量，，，且，则(    )A． B． C． D．【答案】(1)B(2)A【解析】(1)因为所以，因为，所以 ，所以故选：B(2)因为，，所以，当时，则有，解得.故选：A.【举一反三】1．(2020·贵州安顺市·高三)已知向量，若，则实数的值为(    )A． B．-3 C． D．3【答案】B【解析】，，，则有，解得：.故选：B2．(2020·宁县第二中学)已知平面向量，，若，则实数(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.3．(2020·永安市第三中学高三期中)已知向量，，若，且，则实数(   )A． B．C． D．【答案】D【解析】因为向量，，则，又，所以，解得 .故选：D．4．(2020·西藏拉萨市)设，向量，，，且，，则_____________.【答案】0【解析】因为向量，，，且，，所以，得，，解得，所以.故答案为：0  考向三 模长【例3】(1)(2021·全国高三专题练习)已知，，则(  )A．2 B． C．4 D．(2)(2020·舒兰市实验中学校高三学业考试)若，则(    )A．0 B． C．4 D．8【答案】(1)C(2)B【解析】(1)由题得=(0,4)所以．故选C(2)因为.所以.故选：B.【举一反三】1．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)已知向量，，则(    )A． B．2 C． D．50【答案】A【解析】由题意得，所以，故选：A2．(2020·黑龙江大庆市·大庆中学)已知向量，，若，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，且，则，解得，因此，.故选：B.3．(2020·静宁县第一中学高三)已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则(    )A．25 B．7 C．5 D．【答案】D【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量向量，的夹角为，所以，故.故选：D4．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)设为单位向量，且，则___________.【答案】【解析】∵为单位向量，∴，∴．∴．故答案为：．考向四  数量积及投影【例3】(1)(2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中)已知平面向量，，则与的夹角为______.(2)(2020·莆田第十五中学高三)已知，，，则在方向上的投影等于_______.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，，设与的夹角为，则，又，所以，则与的夹角为.故答案为：(2)设，的夹角为，解得，则在方向上的投影等于故答案为：【举一反三】1．(2020·济南旅游学校)已知向量，．则向量，的夹角______．【答案】【解析】令向量与的夹角为，，由，，所以，，，所以，故向量，的夹角为，故答案为：.2(2020·全国福建省漳州市)已知，，若，则与的夹角为________.【答案】【解析】，，，解得，即又与的夹角的范围是，则与的夹角为故答案为：3．(2020·深州长江中学高三期中)若向量，，，则，的夹角的度数为_________．【答案】【解析】设向量，的夹角为()，，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴故答案为：0°．1．(2020·吉林市教育学院高三期中)下列向量中不是单位向量的是(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】A.   B. C. D. 为单位向量故选：B．2．(2020·贵州贵阳一中高三月考)已知向量，向量与共线，则(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：和不共线，所以和可以作为一组基底，而与共线，所以，故选：C．3．(2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中)已知向量，，若，则实数的值为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，向量，，可得，，因为，所以，解得.故选：A.4．(2020·湖南衡阳市一中高三期中)向量，满足，，则向量与的夹角为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，因为，且，所以，可得，所以向量，的夹角为.故选：D.5．(2020·山西省榆社中学高三)已知向量，，则在上的投影是(    )A．4 B．2 C． D．【答案】D【解析】由题意，向量，，可得，所以在上的投影是.故选：D.6．(2020·黑龙江高三月考)已知向量，，，若，则向量在上的投影为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，因为，所以，即，所以向量在上的投影为，故选：B7．(2020·四川省绵阳南山中学高三月考)已知向量，，则与的夹角为()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为向量，，所以,又因为,所以,故选B.8．(2020·深州长江中学高三期中)向量，，，则(    )A．2 B． C．2或 D．或3【答案】C【解析】由，，得所以，即，解得或．故选：C．9．(2021·福建省)已知向量，，若//，则________．【答案】【解析】因为//，则，得，所以.故答案为：.10．(2020·宁夏银川市·银川一中)已知向量，，若，，三点共线，则实数_____.【答案】或【解析】，，三点共线，，使， ，解得：或.故答案为：或.11．(2020·宁夏固原市·固原一中高三月考)若向量且，实数_______.【答案】【解析】由得，，解得.故答案为：.11(2020·福建省泰宁第一中学高三)已知向量，，如果，那么的值为_________.【答案】【解析】向量，，如果，则，解得，即，解得，所以.故答案为：12．(2020·山西高三月考)已知向量，，．若，则__________．【答案】2【解析】因为向量，，所以，又．且，所以，解得，故答案为：2．故答案为：13．(2020·宁县第二中学高三期中)已知平面向量，，若，则实数__________.【答案】【解析】因为向量，，若，则，解得.故答案为：.14．(2020·辽宁葫芦岛市·高三月考)已知，，若，则________.【答案】【解析】由题意，向量，，因为，可得，则.故答案为：.15．(2020·山西吕梁市·高三期中)若，，且，则__________.【答案】【解析】因为，，，所以，解得.故答案为：.16．(2020·上海徐汇区·高三一模)已知，，若∥，则＝_________________．【答案】－1或3【解析】，，即，解得：或.故答案为：或17．(2020·贵州安顺市·高三)已知向量，若，则实数__________．【答案】【解析】由题意，又，∴，解得．故答案为：．18．(2020·辽宁高三期中)设，是两个互相垂直的单位向量，则________.【答案】【解析】，是两个互相垂直的单位向量，，，则.故答案为：.19．(2020·威远中学校高三月考)已知向量，，且，则__________.【答案】8【解析】因为，，且，所以，解得，故答案为：8.20．(2020·江西高三其他模拟)已知向量，，若，则_____.【答案】8【解析】因为，，所以；因为所以；解得：.故答案为：21．(2020·河南开封市·高三一模)已知向量，，满足，则_________.【答案】【解析】∵，∴，解得(舍去)．故答案为：．22．(2020·四川宜宾市·高三)已知向量，，向量与向量的夹角为，则___________.【答案】0【解析】，则，结合条件可知： 故答案为：023．(2020·静宁县第一中学高三月考)已知向量，，若，则实数等于________.【答案】7【解析】因为向量，，所以，因为，所以，解得，故答案为：724．(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知向量，若，则__________或__________.【答案】        【解析】；∵；∴；解得m＝﹣3或1．此时或则或故答案为：；