2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题第八章　概率与统计 61 word版含答案

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这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题第八章　概率与统计 61 word版含答案，共15页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

一、基础小题
1．设x∈，则sinxA.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析由sinx借助于正弦曲线可得x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，
∴P＝eq \f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq \f(1,3).
2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )
A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.1
答案 C
解析试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P＝eq \f(0.1,2)＝eq \f(1,20)＝0.05.
3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )
A.eq \f(1,13) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P＝eq \f(π×22,π×62)＝eq \f(1,9).
4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析以时间的长短进行度量，故P＝eq \f(30,75)＝eq \f(2,5).
5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为eq \f(1,3)，所以阴影部分的面积约为9×eq \f(1,3)＝3.
6．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝eq \f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝eq \f(\f(2π,3),2π)＝eq \f(1,3)，故选C.
7．向等腰直角三角形ABC(其中AC＝BC)内任意投一点M，则AM小于AC的概率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．1－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(π,8) D.eq \f(π,4)
答案 D
解析以A为圆心，AC为半径画弧与AB交于点D.依题意，满足条件的概率P＝eq \f(S扇形ACD,S△ABC)＝eq \f(\f(1,8)π·AC2,\f(1,2)AC2)＝eq \f(π,4).
8．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析不妨设矩形的长为x cm，则宽为(12－x) cm，由x(12－x)>20，解得29．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(π,12) B．1－eq \f(π,12) C.eq \f(π,6) D．1－eq \f(π,6)
答案 B
解析正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πr3＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)×π×13＝eq \f(2,3)π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq \f(\f(2,3)π,8)＝1－eq \f(π,12).
10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )
A．1－eq \f(π,12) B．1－eq \f(π,10) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,24)
答案 A
解析记昆虫所在三角形区域为△ABC，且AB＝6，BC＝8，CA＝10，则有AB2＋BC2＝CA2，AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于eq \f(1,2)×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于eq \f(A＋B＋C,2π)×π×22＝eq \f(π,2)×22＝2π，因此所求的概率等于eq \f(24－2π,24)＝1－eq \f(π,12).
11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x，y,3－x－y，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,y>0，,3－x－y>0，))而恰有两条线段的长度大于1，则需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,y>1，,0<3－x－y<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,01))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y>1，,01.))作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P＝eq \f(\f(1,2)×1×1×3,\f(1,2)×3×3)＝eq \f(1,3).
12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．
答案 eq \f(4,5)
解析设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P＝eq \f(4×8,5×8)＝eq \f(4,5).
二、高考小题
13．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 B
解析解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为eq \f(10＋10,40)＝eq \f(1,2).故选B.
解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－eq \f(20,40)＝eq \f(1,2).
14．从区间随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.eq \f(4n,m) B.eq \f(2n,m) C.eq \f(4m,n) D.eq \f(2m,n)
答案 C
解析如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得eq \f(m,n)＝eq \f(\f(1,4)π,12)⇒π＝eq \f(4m,n).故选C.
15．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.eq \f(3,4)＋eq \f(1,2π) B.eq \f(1,4)－eq \f(1,2π) C.eq \f(1,2)－eq \f(1,π) D.eq \f(1,2)＋eq \f(1,π)
答案 B
解析 ∵|z|≤1， ∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相交于O(0,0)，A(1,1)两点，作出如右图．
∵∠OMA＝90°，∴S阴影＝eq \f(π,4)－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(π,4)－eq \f(1,2)，
故所求的概率P＝eq \f(S阴影,S⊙M)＝eq \f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2π).
16．在区间上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq \f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq \f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq \f(1,2)”的概率，则( )
A．p1C．p3答案 B
解析依题意知点(x，y)形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S＝1.
而满足x＋y≥eq \f(1,2)的区域如图1中的阴影部分，
其面积为S1＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(7,8)，
∴p1＝eq \f(S1,S)＝eq \f(7,8)；
满足|x－y|≤eq \f(1,2)的区域如图2中的阴影部分，
其面积为S2＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，
∴p2＝eq \f(S2,S)＝eq \f(3,4)；
满足xy≤eq \f(1,2)的区域如图3中的阴影部分，
其面积为S3＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2x)dx
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)ln xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,\f(1,2)))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)ln 2，
∴p3＝eq \f(S3,S)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)ln 2.
∵p1－p3＝eq \f(3,8)－eq \f(1,2)ln 2＝eq \f(3－4ln 2,8)＝eq \f(1,8)lneq \f(e3,16)，
而e3>16，∴p1－p3>0，即p1>p3.
而p2－p3＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)ln 2＝eq \f(1,4)lneq \f(e,4)<0，
∴p2p3>p2.
17．在上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
答案 eq \f(3,4)
解析直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件为eq \f(|5k－0|,\r(1＋k2))<3，解之得－eq \f(3,4)18. 如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
答案 eq \f(5,12)
解析由题图可知阴影部分的面积S阴影＝S矩形ABCD－eq \i\in(1,2,)x2dx＝1×4－eq \f(x3,3)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2,1))＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)－\f(1,3)))＝eq \f(5,3)，
则所求事件的概率P＝eq \f(S阴影,S矩形ABCD)＝eq \f(\f(5,3),4)＝eq \f(5,12).
三、模拟小题
19．若任取x，y∈，则点P(x，y)满足y≤x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的概率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析如图，∵阴影部分的面积S＝eq \i\in(0,1,)x eq \s\up15( eq \f (1,2)) dx＝eq \f(2,3)x eq \s\up15( eq \f (3,2)) eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,0))＝eq \f(2,3)，∴所求概率P＝eq \f(S,1×1)＝eq \f(2,3).
20．在区间上随机取两个数m、n，则关于x的一元二次方程x2－eq \r(n)x＋m＝0有实数根的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,7) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,5)
答案 A
解析 ∵方程x2－eq \r(n)x＋m＝0有实数根，∴Δ＝n－4m≥0，如图，易知不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－4m≥0，,0≤m≤1，,0≤n≤1))表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P＝eq \f(S阴影,S正方形)＝eq \f(\f(1,2)×\f(1,4)×1,1×1)＝eq \f(1,8).
21．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|022．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
答案 C
解析依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的eq \f(\r(2),4)倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的eq \f(1,8)倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为eq \f(1,8)，故选C.
23．设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4eq \r(3) cm，现将直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．
答案 eq \f(1,4)
解析如图所示，记事件A为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm，则小等边三角形的边长为4eq \r(3)－2eq \r(3)＝2eq \r(3)(cm)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝eq \f(\f(\r(3),4)×2\r(3)2,\f(\r(3),4)×4\r(3)2)＝eq \f(1,4).
24．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．
答案 eq \f(3,4)
解析当AM＝AC时，△ACM为以∠A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝eq \f(180°－45°,2)＝67.5°.
当∠ACM<67.5°时，AM所以AM小于AC的概率P＝eq \f(∠ACM的度数,∠ACB的度数)＝eq \f(67.5°,90°)＝eq \f(3,4).
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A，B，C，D区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．
已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.
(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；
(2)乙、丙二人各射击一次，记U，V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U，V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U解 (1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y，Z，则Y的所有可能取值为5,3,2，Z的所有可能取值为5,3,2，
P(Y＝5)＝eq \f(π,42π)＝eq \f(1,16)，
P(Y＝3)＝eq \f(32π－π,42π)＝eq \f(8,16)，
P(Y＝2)＝eq \f(42π－32π,42π)＝eq \f(7,16)，
P(Z＝5)＝eq \f(π,52π)＝eq \f(1,25)，
P(Z＝3)＝eq \f(32π－π,52π)＝eq \f(8,25)，
P(Z＝2)＝eq \f(52π－32π,52π)＝eq \f(16,25).
故所求概率P1＝eq \f(1,16)×eq \f(8,25)＋eq \f(1,16)×eq \f(16,25)＋eq \f(8,16)×eq \f(16,25)＝eq \f(19,50).
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤U≤4，,0≤V≤5，))不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤U≤4，,0≤V≤5，,U根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率
P2＝eq \f(\f(1,2)×1＋5×4,4×5)＝eq \f(3,5).
2．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
解这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，
当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈，y∈}．
A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝eq \f(A的面积,Ω的面积)＝eq \f(24－12×\f(1,2)＋24－22×\f(1,2),242)＝eq \f(1013,1152).
3．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝eq \f(b,x).
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈，b∈，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．
解 (1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈)所有的情况有：
x－eq \f(1,x)，x＋eq \f(1,x)，x＋eq \f(4,x)，4x－eq \f(1,x)，4x＋eq \f(1,x)，4x＋eq \f(4,x)，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a>0，b>0时，
ax＋eq \f(b,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(\f(b,a))))上递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(b,a))，＋∞))上递增；
x－eq \f(1,x)和4x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－eq \f(1,x)，x＋eq \f(1,x)，x＋eq \f(4,x)，4x－eq \f(1,x)，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，故所求概率是eq \f(2,3).
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间中任取的数，b是从区间中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋eq \f(b,2)≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝eq \f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(11,4)))×3,3×3)＝eq \f(19,24)，
故所求概率是eq \f(19,24).