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2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章 概率与统计 66 word版含答案
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这是一份2018年高考考点完全题数学（理）考点通关练习题 第八章 概率与统计 66 word版含答案，共15页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
一、基础小题
1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为( )
A．40 B．20 C．30 D．60
答案 B
解析 由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.
2．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
答案 B
解析 由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 C
解析 由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.
4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( )
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
答案 C
解析 产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，选C.
5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．
答案 甲
解析 根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为eq \f(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96,7)＝85，乙同学成绩的平均数为eq \f(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96,7)＝85，故甲同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq \f(398,7)>40，故成绩较稳定的是甲．
6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．
答案 乙
解析 甲的平均数x1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x1＝x2；甲的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)＝4，乙的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)＝1.2，所以seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2)，即参加比赛的最佳人选为乙．
二、高考小题
7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
答案 D
解析 由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.
8．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20 C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图，可知这组数据的中位数为eq \f(20＋20,2)＝20.
9．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
答案 C
解析 设数据x1，x2，…，x10的平均数为eq \x\t(x)，标准差为s，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均数为2eq \x\t(x)－1，方差为eq \f([2x1－1－2\x\t(x)－1]2＋[2x2－1－2\x\t(x)－1]2＋…＋[2x10－1－2\x\t(x)－1]2,10)＝eq \f(4x1－\x\t(x)2＋4x2－\x\t(x)2＋…＋4x10－\x\t(x)2,10)＝4s2，因此标准差为2s＝2×8＝16.故选C.
10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8 C．12 D．18
答案 C
解析 由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有eq \f(20,0.40)＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.
11．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a
C．1,4 D．1,4＋a
答案 A
解析 ∵x1，x2，…，x10的均值eq \x\t(x)＝1，方差seq \\al(2,1)＝4，且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(y1＋y2＋…＋y10)＝eq \f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq \f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝eq \x\t(x)＋a＝1＋a，其方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)＝eq \f(1,10)＝seq \\al(2,1)＝4.故选A.
12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．
答案 4
解析 由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间上的共有4组，故成绩在区间上的运动员人数是4.
三、模拟小题
13． 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )
A．13 B．14 C．15 D．16
答案 C
解析 由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为eq \f(14＋16,2)＝15，故选C.
14．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
答案 B
解析 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.
15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则( )
A．me＝m0＝x B．me＝m0C．me答案 D
解析 显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数eq \f(5＋6,2)＝5.5(分)，众数为5，平均数
x＝eq \f(2×3＋8＋9＋10＋3×4＋7＋10×5＋6×6,30)
≈5.97(分)，所以m016．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
17．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
答案 54
解析 前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.
18．某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．
答案 67.5
解析 平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.
一、高考大题
1．某工厂36名工人的年龄数据如下表：
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值eq \x\t(x)和方差s2；
(3)36名工人中年龄在eq \x\t(x)－s与eq \x\t(x)＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?
解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)可得其样本的均值
eq \x\t(x)＝eq \f(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37,9)＝40，
方差s2＝eq \f(1,9)＝eq \f(1,9)＝eq \f(100,9).
(3)由(2)知s＝eq \f(10,3)，所以eq \x\t(x)－s＝36eq \f(2,3)，eq \x\t(x)＋s＝43eq \f(1,3).
因为年龄在eq \x\t(x)－s与eq \x\t(x)＋s之间共有23人，
所以其所占的百分比是eq \f(23,36)≈63.89%.
2．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解 (1)由频率分布直方图，知月均用水量在 中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1.
解得a＝0.30.
(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
二、模拟大题
3．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：
经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的平均值为eq \x\t(x)乙＝120 g/km.
(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；
(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．
解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值
eq \x\t(x)甲＝eq \f(80＋110＋120＋140＋150,5)＝120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2排放量的方差
seq \\al(2,甲)＝÷5＝600.
(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值
eq \x\t(x)乙＝eq \f(100＋120＋x＋y＋160,5)＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差
seq \\al(2,乙)＝÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以seq \\al(2,乙)4．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．
解 (1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.
(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，
由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.
X的分布列为：
E(X)＝136×eq \f(1,10)＋147×eq \f(3,10)＋154×eq \f(1,5)＋189×eq \f(3,10)＋203×eq \f(1,10)＝eq \f(1655,10)＝165.5(元)．
(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．
5．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.
又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克．
50个样本小球重量的平均值为eq \x\t(x)＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为0.2，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5))).
X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))＝eq \f(12,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125).
∴X的分布列为：
∴E(X)＝0×eq \f(64,125)＋1×eq \f(48,125)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(1,125)
＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或EX＝3×\f(1,5)＝\f(3,5))).
6．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，试比较seq \\al(2,1)与seq \\al(2,2)的大小；(只需写出结论)
(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．
解 (1)根据频率分布直方图的性质，得
(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.
根据频率分布直方图，估计seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2).
(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．
则P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝0.3.
所以P(C)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.42.
(3)由题意，可知X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×0.30×0.73＝0.343，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×0.31×0.72＝0.441，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×0.32×0.71＝0.189，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×0.33×0.70＝0.027.
所以X的分布列为：
所以X的数学期望E(X)＝0×0.343＋1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
0.15
0.1
甲
乙
丙
丁
平均环数eq \x\t(x)
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
X
136
147
154
189
203
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
一、基础小题
1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为( )
A．40 B．20 C．30 D．60
答案 B
解析 由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.
2．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )
A．平均数与方差均不变
B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变
D．平均数与方差均发生变化
答案 B
解析 由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.
3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 C
解析 由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.
4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( )
A．20 B．25 C．22.5 D．22.75
答案 C
解析 产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，选C.
5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．
答案 甲
解析 根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为eq \f(78＋79＋80＋85＋85＋92＋96,7)＝85，乙同学成绩的平均数为eq \f(72＋81＋81＋83＋91＋91＋96,7)＝85，故甲同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为eq \f(1,7)×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝eq \f(398,7)>40，故成绩较稳定的是甲．
6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．
答案 乙
解析 甲的平均数x1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x1＝x2；甲的方差seq \\al(2,1)＝eq \f(1,10)＝4，乙的方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)＝1.2，所以seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2)，即参加比赛的最佳人选为乙．
二、高考小题
7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A．56 B．60 C．120 D．140
答案 D
解析 由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.
8．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是( )
A．19 B．20 C．21.5 D．23
答案 B
解析 由茎叶图，可知这组数据的中位数为eq \f(20＋20,2)＝20.
9．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
答案 C
解析 设数据x1，x2，…，x10的平均数为eq \x\t(x)，标准差为s，则2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的平均数为2eq \x\t(x)－1，方差为eq \f([2x1－1－2\x\t(x)－1]2＋[2x2－1－2\x\t(x)－1]2＋…＋[2x10－1－2\x\t(x)－1]2,10)＝eq \f(4x1－\x\t(x)2＋4x2－\x\t(x)2＋…＋4x10－\x\t(x)2,10)＝4s2，因此标准差为2s＝2×8＝16.故选C.
10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8 C．12 D．18
答案 C
解析 由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有eq \f(20,0.40)＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.
11．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为( )
A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a
C．1,4 D．1,4＋a
答案 A
解析 ∵x1，x2，…，x10的均值eq \x\t(x)＝1，方差seq \\al(2,1)＝4，且yi＝xi＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的均值eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)(y1＋y2＋…＋y10)＝eq \f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝eq \f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝eq \x\t(x)＋a＝1＋a，其方差seq \\al(2,2)＝eq \f(1,10)＝eq \f(1,10)＝seq \\al(2,1)＝4.故选A.
12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．
答案 4
解析 由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间上的共有4组，故成绩在区间上的运动员人数是4.
三、模拟小题
13． 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )
A．13 B．14 C．15 D．16
答案 C
解析 由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为eq \f(14＋16,2)＝15，故选C.
14．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
答案 B
解析 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.
15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为x，则( )
A．me＝m0＝x B．me＝m0
解析 显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数eq \f(5＋6,2)＝5.5(分)，众数为5，平均数
x＝eq \f(2×3＋8＋9＋10＋3×4＋7＋10×5＋6×6,30)
≈5.97(分)，所以m0
答案 50 1015
解析 第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.
17．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．
答案 54
解析 前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.
18．某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．
答案 67.5
解析 平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.
一、高考大题
1．某工厂36名工人的年龄数据如下表：
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值eq \x\t(x)和方差s2；
(3)36名工人中年龄在eq \x\t(x)－s与eq \x\t(x)＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?
解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)可得其样本的均值
eq \x\t(x)＝eq \f(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37,9)＝40，
方差s2＝eq \f(1,9)＝eq \f(1,9)＝eq \f(100,9).
(3)由(2)知s＝eq \f(10,3)，所以eq \x\t(x)－s＝36eq \f(2,3)，eq \x\t(x)＋s＝43eq \f(1,3).
因为年龄在eq \x\t(x)－s与eq \x\t(x)＋s之间共有23人，
所以其所占的百分比是eq \f(23,36)≈63.89%.
2．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解 (1)由频率分布直方图，知月均用水量在 中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1.
解得a＝0.30.
(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
二、模拟大题
3．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO2排放量超过130 g/km的MI型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：
经测算发现，乙类品牌车CO2排放量的平均值为eq \x\t(x)乙＝120 g/km.
(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；
(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，求x的取值范围．
解 (1)甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值
eq \x\t(x)甲＝eq \f(80＋110＋120＋140＋150,5)＝120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2排放量的方差
seq \\al(2,甲)＝÷5＝600.
(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值
eq \x\t(x)乙＝eq \f(100＋120＋x＋y＋160,5)＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差
seq \\al(2,乙)＝÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以seq \\al(2,乙)
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；
(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．
解 (1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.
(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，
由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.
X的分布列为：
E(X)＝136×eq \f(1,10)＋147×eq \f(3,10)＋154×eq \f(1,5)＋189×eq \f(3,10)＋203×eq \f(1,10)＝eq \f(1655,10)＝165.5(元)．
(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．
5．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.
又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克．
50个样本小球重量的平均值为eq \x\t(x)＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为0.2，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5))).
X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))3＝eq \f(64,125)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝eq \f(48,125)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))＝eq \f(12,125)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))0＝eq \f(1,125).
∴X的分布列为：
∴E(X)＝0×eq \f(64,125)＋1×eq \f(48,125)＋2×eq \f(12,125)＋3×eq \f(1,125)
＝eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或EX＝3×\f(1,5)＝\f(3,5))).
6．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，试比较seq \\al(2,1)与seq \\al(2,2)的大小；(只需写出结论)
(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．
解 (1)根据频率分布直方图的性质，得
(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.
根据频率分布直方图，估计seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2).
(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．
则P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝0.3.
所以P(C)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.42.
(3)由题意，可知X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×0.30×0.73＝0.343，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×0.31×0.72＝0.441，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×0.32×0.71＝0.189，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×0.33×0.70＝0.027.
所以X的分布列为：
所以X的数学期望E(X)＝0×0.343＋1×0.441＋2×0.189＋3×0.027＝0.9.
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
0.15
0.1
甲
乙
丙
丁
平均环数eq \x\t(x)
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
y
160
X
136
147
154
189
203
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(1,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
X
0
1
2
3
P
eq \f(64,125)
eq \f(48,125)
eq \f(12,125)
eq \f(1,125)
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
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