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小升初数学攻克难点真题解析-几何图形全国通用
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这是一份小升初数学攻克难点真题解析-几何图形全国通用，共43页。试卷主要包含了条线段，个三角形，个长方形等内容，欢迎下载使用。
几何图形
组合图形的计数
1．（2014•广州）如图中直角的个数为（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
[来源:学科网ZXXK]
2．（2014•成都）如图，共有（ ）条线段．
A．5 B．8 C．10 D．12
3．（2013•广州）图中直角的个数为（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
4．（2013•广州）数一数，在右图中共有（ ）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
E．14
5．（2012•长寿区）这里共有（ ）条线段．
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
6．（2012•宁化县） 如图中直角有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2012•广州）如图所示的7×7的方格内，有许多边长为整数的正方形，其中在有的正方形中黑方格与白方格的个数占一半（同样多）．像这样的正方形有（ ）个．
A．26 B．36 C．46 D．56
E．66
8．（2012•恩施州）某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（ ）条．
A．3 B．9 C．6 D．12
9．（2012•恩施州）图中共有（ ）个长方形．
A．30 B．28 C．26 D．24
10．（2011•慈溪市）把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（ ）
A．21 B．24 C．33 D．37
11．把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm
12．（2014•桐梓县模拟）面积相等的情况下，长方形、正方形和圆相比，（ ）的周长最短．
A．长方形 B．正方形 C．圆
二、填空题（共20小题）
13．（2015•长沙）如图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图中，正方形有 _________ 个，三角形有 _________ 个．
14．（2014•长沙）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取 _________ 个直径是2分米的圆形铁板．
15．（2014•长沙）如图，三角形一共有 _________ 个．
16．（2014•慈利县）一个棱长5厘米的正方体木块，分成两个完全一样的长方体木块后，表面积比原来增加了50平方厘米． _________ ．
17．（2014•楚州区）一个圆的周长是15.7分米，把这个圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，这个近似的长方形的长是 _________ 分米，宽是 _________ 分米．
18．（2014•成都）一个六面都是红色的正方体，最少要切 _________ 刀，才能得到180个各个面都不是红色的正方体．
19．（2013•天河区）如图，它是用6个棱长为1分米的正方体拼成的．
①它的表面积是 _________ ．
②它的体积是 _________ ．
20．（2013•泰州）有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料 _________ 立方厘米．
21．（2013•崇安区）在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 _________ ，阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
22．（2012•湛河区）20个点最多能连成 _________ 条线段．一个九边形的内角和是 _________ 度．
23．（2012•云阳县）把表填完整
多边形 …
边数 3 4 5 6 _________ …
内角和 180° 180°×2 180°×3 _________ 180°×5 …
24．（2012•宿迁）如图．A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的 _________ %．
25．（2012•台州）如图，A是一个圆，B是由三个半圆围成的图形，那么它们周长的大小关系是CA _________ CB．
26．（2012•陕西）如图的体积是 _________ ．（单位：厘米）
27．（2012•成都）如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，AC和BE相交于F，如果△EFC的面积是1平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是 _________ 平方厘米．
28．（2011•阆中市校级自主招生）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是 _________ 立方厘米．
29．（2011•成都）如右图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
30．（2010•成都）如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为 _________ ．
31．连接立方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）．已知立方体的边长为12cm，请问正八面体之体积是多少 _________ cm3？
32．把19个棱长为1cm的正方体按如图摆放，求这个几何体的表面积是 _________ ．
三、解答题（共20小题）
33．（2014•长沙）如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积9平方厘米，求阴影部分的总面积．
34．（2014•长沙）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
35．（2014•长沙）如图，三角形ABC面积为27平方厘米，AE=CE，BF=BC，求三角形BEF的面积．
36．（2014•长沙）如图，直角梯形ADCB中，三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大．已知BC=16、AD=20、AB=12，求三角形AEF的面积．
37．（2014•邵阳）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？
38．（2014•成都）如图：长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=15厘米，E、F分别是所在边的中点．求阴影部分的面积．
39．（2013•长沙）爸爸给女儿买了一个圆柱形的大生日蛋糕，女儿把蛋糕竖直方向切成22块分给22个小朋友，切成的大小不一定相等．那么至少需切的刀数为？
40．（2013•长沙）A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求
（1）2分钟容器A中的水有多高？
（2）3分钟时容器A中的水有多高．
41．（2013•二七区）请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
（1）分成2个 （2）分成3个 （3）分成4个 （4）分成6个
42．（2012•射洪县）把若干个边长2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是 _________ 平方厘米．
43．（2012•渠县）有一棱长为5cm的正方体机器零件，现在它的上下面挖去了一个直径为2cm的圆孔，求剩下机器零件的表面积和体积？
44．（2012•湖北）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少．
45．（2012•广州校级自主招生）如图中，三角形的个数有多少？
[来源:学&科&网]
46．（2012•恩施州）水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
47．（2012•北京）如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，，若S△ADM=1求：梯形的面积．
48．（2011•长沙）把自然数依次排成以下数阵：
1，2，4，7，11，…
3，5，8，12，…
6，9，13，…
10，14，…
15，…
…
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？
（2）第5行第10列排的是哪一个数？
（3）2004排在第几行第几列？
49．（2010•吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？
50．（2008•建阳市）一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？
51．（2006•北京校级自主招生）在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少 _________ ．
52．（2005•邳州市）探索
（1）完成表格中未填部分．
（2）根据表中规律，八边形的内角和是 _________ 度．
（3）假设图形的边数为a，内角和为s，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与内角和的关系．S= _________ ．
图形
边数 3 4 5
内角和 180 180×2 180×3
三角形面积与底的正比关系
53．（2014•长沙）如图，梯形ABCD中共有（ ）对面积相等的三角形
A．%22 B．3 C．4 D．5
三视图与展开图
54．（2013•邹平县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
长度比较
55．（2013•安图县）在图形中甲的周长（ ）乙的周长．
A．大于 B．小于 C．等于
56．（2012•无棣县）下面三个图形中，哪两个图形的周长相等？（ ）
A．图形①和② B．图形②和③ C．图形①和③
不规则立体图形的表面积
57．（2012•瑶海区）如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A．比原来大 B．比原来小 C．不变
图形的拆拼（切拼）
58．（2012•南昌）在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片．
A．3 B．4 C．5 D．6
59．（2012•龙山县）用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，有几种分法（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
数阵图中找规律的问题
60．（2012•南昌）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（ ）根小棒．
A．60 B．61 C．65 D．75
答案与试题解析
组合图形的计数
1．（2014•广州）如图中直角的个数为（ ）个．
A． 4 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 两条直线相交的地方各有4个，共8个，再加上单独的两个直角，共有8+2=10（个）．
解答： 解：4+4+2=10（个）
故选：C．
点评： 本题要分类计数，这样可以防止遗漏．
2．（2014•成都）如图，共有（ ）条线段．
A． 5 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据线段的定义，分别写出图形中的线段，从而可得出答案．
解答： 解：由题意可得，图形中的线段有：AB，AC，AD，AE，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10个．
故选：C．
点评： 本题主要考查对数线段的条数的理解和掌握，能正确数线段的是解此题的关键．题型较好，难度适中．注意按一个方向数线段．
3．（2013•广州）图中直角的个数为（ ）个．
A． 4 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何形体的分、合、移、补的问题．
分析： 根据直角的含义：等于90度的角叫做直角；从左往右从上往下一个点一个点的计数，依此进行解答即可求解．
解答： 解：2+4+2=8（个）．
答：图中直角的个数为8个．
故选：B．
点评： 此题考查了组合图形的计数，关键是熟悉直角的含义．
4．（2013•广州）数一数，在右图中共有（ ）个三角形．
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
E． 14
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 由一个基本图形组成的有6个，由二个基本图形组成的有4个，由三个基本图形组成的有2个，由六个基本图形组成的有1个，一共6+4+2+1=13个，据此即可选择．[来源:学科网ZXXK]
解答： 解：根据题干分析可得：图形中的三角形一共有6+4+2+1=13（个），
故选：D．
点评： 此题的解答关键是按照一定的顺序观察、思考问题，做到不重不漏．
5．（2012•长寿区）这里共有（ ）条线段．
A． 三条 B． 四条 C． 五条 D． 六条
考点： 组合图形的计数．
分析： 根据线段的含义：有两个端点、有限长；来解答本题即可．
解答： 解：如图：图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条．
故选：D．
点评： 本题考查线段的含义，查找线段数目是按一定顺序，做到不重不漏．
6．（2012•宁化县） 如图中直角有（ ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据直角的含义：等于90度的角叫做直角；进行解答即可．
解答： 解：如图：有3个直角；
故选：C．
点评： 此题考查了直角的含义．
7．（2012•广州）如图所示的7×7的方格内，有许多边长为整数的正方形，其中在有的正方形中黑方格与白方格的个数占一半（同样多）．像这样的正方形有（ ）个．
A． 26 B． 36 C． 46 D． 56
E． 66
考点： 组合图形的计数．
专题： 压轴题；几何的计算与计数专题．
分析： 观察图形可知，2×2、4×4、6×6的正方形中，黑方格与白方格个数都是各占一半；2×2的正方形有：6×6=36个；4×4的正方形有：4×4=16个；6×6的正方形有：2×2=4个；据此再加起来即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：36+16+4=56（个），
答：一共有56个这样的正方形．
故选：D．
点评： 解答此题的关键是明确：只有在2×2、4×4、6×6的正方形中，黑方格与白方格个数都是各占一半；据此计数即可解答．
8．（2012•恩施州）某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（ ）条．
A． 3 B． 9 C． 6 D． 12
考点： 最短线路问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 按照规律，作出最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道的图形，依此即可求解．
解答： 解：如图所示：
故最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有6条．
故选：C．
点评： 考查了最短线路问题，注意按照一定的规律计数，做到不重复不遗漏．
9．（2012•恩施州）图中共有（ ）个长方形．
A． 30 B． 28 C． 26 D． 24
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据长边的线段上有5个点，得出线段的条数为10条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条，从而得出长方形的个数．
解答： 解：因为长边的线段上有5个点，得出线段的条数为10条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条；
长方形的个数为：10×3=30（个），
故选：A．
点评： 利用点分成线段条数得出长方形个数，从而求出长方形的个数，题目有一定抽象性，应认真分析，从而确定解题思路．
10．（2011•慈溪市）把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（ ）
A． 21 B． 24 C． 33 D． 37
考点： 染色问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加．
解答： 解：根据题意得：
第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5，
第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11，
第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17，
所以红色部分的面积为：5+11+17=33，
故选：C．
点评： 此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积．
11．把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． 4mcm B． 4ncm C． 2（m+n）cm D． 4（m﹣n）cm
考点： 巧算周长．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 本题需先设小长方形卡片的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
解答： 解：设小长方形卡片的长为acm，宽为bcm，
则L上面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）cm，
L下面的阴影=2（m﹣2b+n﹣2b）cm，
L总的阴影=L上面的阴影+L下面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）=4m+4n﹣4（a+2b）cm，
又因为a+2b=mcm，
所以4m+4n﹣4（a+2b）=4ncm．
故选：B．
点评： 本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
12．（2014•桐梓县模拟）面积相等的情况下，长方形、正方形和圆相比，（ ）的周长最短．
A． 长方形 B． 正方形 C． 圆
考点： 巧算周长．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 周长相等时，形状越近似于圆，面积越大，反之，面积相等，形状越不接近圆，周长越大；所以长方形，正方形，圆的面积相等，他们周长大小比较的排列顺序为（从大到小）：长方形，正方形，圆．
解答： 解：当长方形、正方形、圆三个图形的面积相等时，它们周长的长短关系是颠倒的，即长方形＞正方形＞圆，即圆的周长最短．
故选：C．
点评： 考查了图形的面积及周长的比较，是一个经典题型．本题从数量上认证了面积一定，长方形的周长＞正方形的周长＞圆的周长．
二、填空题（共20小题）
13．（2015•长沙）如图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图中，正方形有 10 个，三角形有 47 个．
考点： 组合图形的计数．
分析： 分别找到2个小的等腰三角形组合成的正方形，4个小的等腰三角形组合成的正方形，8个小的等腰三角形组合成的正方形，相加即可得到正方形的个数；
分别找到含1个小的等腰三角形的三角形，2个小的等腰三角形组合成的三角形，4个小的等腰三角形组合成的三角形，8个小的等腰三角形组合成的三角形，9个小的等腰三角形组合成的三角形，18个小的等腰三角形组合成的三角形，相加即可得到三角形的个数．
解答： 解：正方形的个数为：6+3+1=10（个）；
三角形的个数为：18+15+8+3+2+1=47（个）．
故答案为：10，47．
点评： 考查了组合图形的计数，本题难度比较大，关键是按照一定的顺序计数，做到不重复不遗漏．
14．（2014•长沙）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取 11 个直径是2分米的圆形铁板．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 在10分米、宽5分米的长方形铁板上，上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形（上下两行共4个圆形之间可以切出一个2分米的圆形，共有3个）．所以，应该可以切4+4+3=11个．据此解答．
解答： 解：根据以上分析知：可截取圆的个数是：
4+4+3=11（个）
答：最多能截11个直径是2分米的圆形铁板．
故答案为：11．
点评： 本题的关键是上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形．
15．（2014•长沙）如图，三角形一共有 6 个．
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 因为所有的三角形都有一个公共的顶点，所以只要看斜边有几条线段就有几个三角形．
解答： 解：斜边上线段一共有：3+2+1=6（条），
所以一共有6个三角形．
故答案为：6．
点评： 解决本题的关键是根据三角形的边的关系将三角形的个数转化成线段的条数来解答．
16．（2014•慈利县）一个棱长5厘米的正方体木块，分成两个完全一样的长方体木块后，表面积比原来增加了50平方厘米． √ ．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 压轴题．
分析： 把这个正方体分成两个完全一样的长方体时，增加了两个边长是5厘米的正方形的面的面积，一个是5×5，所以再乘以2就是增加的面积．
解答： 解：表面积比原来增加的面积是：5×5×2=50（平方厘米）；
故答案为：√．
点评： 本题考查了学生的空间想象能力，分成两个完全一样的长方体其实告诉我们增加的面是正方形．
17．（2014•楚州区）一个圆的周长是15.7分米，把这个圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，这个近似的长方形的长是 7.85 分米，宽是 2.5 分米．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 如图，这个近似的长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径，用圆周长除以π再除以2即可得出这个圆的半径．
解答： 解：如图：
15.7÷2=7.85（分米）；
15.7÷3.14÷2=2.5（分米）；
答：这个近似的长方形的长是7.85分米，宽是2.5分米．
故答案为：7.85，2.5．
点评： 本题是考查图形的拼切、圆的有关计算．
18．（2014•成都）一个六面都是红色的正方体，最少要切 20 刀，才能得到180个各个面都不是红色的正方体．
考点： 染色问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 你要保证每一面都不是红的，首先要切6刀把表皮切掉，剩余的部分你只要能切成180个即可：你只要底面切成36个小正方形：（5+5）刀，然后竖着再切4刀，即180个；由此解答．
解答： 解：由分析可知：先要切6刀把表皮切掉，剩余的部分你只要能切成180个即可：只要底面切成36个小正方形：（5+5）刀，然后竖着再切4刀，
至少：6+5+5+4=20（刀）
答：最少要切20刀，才能得到180个各面都不是红色的正方体．
故答案为：20．
点评： 解答此题应结合实物，进行实际操作，较好理解．
19．（2013•天河区）如图，它是用6个棱长为1分米的正方体拼成的．
①它的表面积是 22平方分米 ．
②它的体积是 6立方分米 ．
考点： 不规则立体图形的表面积；长方体和正方体的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： ①有图中可以看出，6个正方体的排列方式如楼梯，下面4个，两排两列，上面两个并排叠在里侧的两个上，它的三视图，如下图，正面4个正方形，侧面3个正方形，上面看4个正方形，一个正方形的面积是1×1=1平方分米，全部加起来，即可得解；
②每个正方体的体积是1×1×1=1立方分米，无论6个正方体怎么拼，体积不变，仍然是6个正方体体积之和．
解答： 解：①三视图，如图：
（4+3+4）×2×（1×1）=22（平方分米），
答：它的表面积是 22平方分米；
②（1×1×1）×6=6（立方分米），
答：它的体积是6立方分米．
故答案为：22平方分米，6立方分米．
点评： 认真观察图形，正确理解从不同的方向观察图形效果不同；正确理解立方体的体积不变是解决此题的关键．锻炼了学生的空间想象力和几何直观．
20．（2013•泰州）有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料 40 立方厘米．
考点： 等积变形（位移、割补）．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 由图形可得，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷（20+5）=，再根据一个数乘分数的意义，用乘法列式解答即可．
解答： 解：50×[20÷（20+5）]
=50×
=40（立方厘米）
故答案为：40立方厘米．
点评： 解答此题关键是理解：左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，进而求出瓶中的饮料的体积占瓶子容积的几分之几．
21．（2013•崇安区）在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 5：3 ，阴影部分的面积是 4 平方厘米．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 从图上可以看出甲、乙、丙三个三角形和平行四边形高相等，首先根据平行四边形的面积求出平行四边形的高：20÷（2+3）=4（cm），也就是这三个三角形的高，进而根据“三角形的面积=底×高÷2”求出三个三角形的面积（阴影部分的面积就是三角形乙的面积），再求出甲、丙两个三角形的面积比即可．
解答： 解：根据平行四边形的面积=底×高，得出
高=平行四边形的面积÷底
=20÷（2+3）
=20÷5
=4（厘米）
根据三角形的面积=底×高÷2 得出
甲三角形的面积=（2+3）×4÷2
=20÷2
=10（厘米2）
丙三角形的面积=3×4÷2
=12÷2
=6（厘米2）
则甲：丙=10：6
=5：3
阴影部分的面积就是乙三角形的面积=2×4÷2
=8÷2
=4（厘米2）
故答案为：5：3，4．
点评： 等高三角形的面积比等于这些三角形底的比．
22．（2012•湛河区）20个点最多能连成 190 条线段．一个九边形的内角和是 1260 度．
考点： 多边形的内角和．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： （1）2点连成的线段条数：1（条），
3个点连成线段的条数：1+2=3（条），
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条），
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条），
…
由此得出规律：总线段数就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数之和．因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，一次加到几减1，所得的和就是总线段数．据此规律解答即可．
（2）根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
解答： 解：（1）1+2+3+4+5+…+19=190（条），
（2）（9﹣2）×180°=1260°，
故答案为：190，1260．
点评： 本题（1）属于探索规律的题目，把点的个数看作n，即n个点，那么可连线段的总条数就等于从1开始前（n﹣1）个连续自然数的和；
（2）考查了多边形的内角和公式．
23．（2012•云阳县）把表填完整
多边形 …
边数 3 4 5 6 7 …
内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 180°×5 …
考点： 多边形的内角和．
专题： 压轴题；平面图形的认识与计算．
分析： 根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式．
解答： 解：n边形的内角和等于（n﹣2）•180°．
理由如下：因为三角形内角和 四边形内角和 五边形内角和
180°×1 180°×2 180°×3
所以过n边形某一顶点可画（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）个三角形，
这（n﹣2）个三角形的内角和之和就等于n边形的内角和，即（n﹣2）•180°．
当n=6时，内角和是：（6﹣2）×180°=180°×4；
当（n﹣2）•180°=180°×5时，
可得n﹣2=5，所以n=7．
故答案为：180°×4；7．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点．
24．（2012•宿迁）如图．A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的 37.5 %．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
分析： 如图：设长方形的长为a，宽为b，因为“A、B是长方形长和宽的中点”，所以三角形1的底和高分别是a和b，三角形2的底和高分别是a和b，三角形3的底和高分别是 b和 a，根据三角形的面积公式能算出3个空白三角形部分的面积，则阴影部分的面积=长方形的面积﹣空白部分的面积，从而找出阴影部分的面积与长方形的面积的百分比．
解答： 解：长方形的面积是：[来源:Zxxk.Com]
a×b=ab，
三角形1的面积是：
×a×b，
=ab，
三角形2的面积是：
×a×b，
=ab，
三角形3的面积是：
×a×b，
=ab，
空白部分的面积是：
ab+ab+ab，
=ab，
阴影部分的面积是：
ab﹣ab，
=ab，
阴影部分的面积是长方形面积的：
ab÷ab，
=0.375，
=37.5%，
所以阴影部分的面积是长方形面积的37.5%．
故答案为：37.5%．
点评： 此题主要是先算出3个空白三角形的面积，用长方形的面积减空白部分的面积得阴影部分的面积，再与长方形的面积比．
25．（2012•台州）如图，A是一个圆，B是由三个半圆围成的图形，那么它们周长的大小关系是CA ＜ CB．
考点： 长度比较．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据图形，设小正方形的边长为1，则图A的直径是2，图B中大半圆的直径是4，两个小半圆的直径是2，根据圆的周长公式：C=πd，分别求出图A、图B的周长，然后进行比较即可．
解答： 解：A的周长是：2π；
B的周长是：2π+4π÷2=4π；
2π＜4π，
所以A的周长小于B的周长；
故答案为：＜．
点评： 此题主要考查圆的周长公式的灵活运用．
26．（2012•陕西）如图的体积是 133立方厘米 ．（单位：厘米）
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 观察图形可知，图形的体积=大正方体的体积+小正方体的体积；由此利用正方体的体积公式即可解答．
解答： 解：5×5×5+2×2×2
=125+8
=133（立方厘米）
答：如图的体积是133立方厘米．
故答案为：133立方厘米．
点评： 抓住图形形状的特点，得出图形的体积组成部分是解决本题的关键．
27．（2012•成都）如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，AC和BE相交于F，如果△EFC的面积是1平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是 12 平方厘米．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
分析： 要求平行四边形的面积，如图，根据三角形和平行四边形的面积公式可得：只要求出△ABC的面积即可（△ABC=△BFA+△BFC）；
利用△EFC的面积是1平方厘米，根据相似三角形的性质可以求得△BFA和△BFC的面积，分析如下：
根据相似三角形的定义可知，在平行四边形内，△EFC和△BFA相似：
（1）因为E是CD的中点，所以相似比是1：2，根据相似三角形的性质可得：面积的比是：1：4，由此即可求得△BFA的面积为：4×1=4平方厘米；
（2）因为EF：BF=1：2，（相似三角形的对应边成比例），根据高相等时，三角形的面积与底成正比的关系可得：△EFC与△BFC的面积比是1：2，由此即可得出△BFC的面积：2×1=2平方厘米；
综上所述，即可求得△ABC的面积，从而求出平行四边形的面积．
解答： 解：根据题干分析可得：△EFC和△BFA相似，相似比是1：2，
（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以它们的面积比是1：4，
所以△BFA的面积为：4×1=4（平方厘米），
（2）又因为EF：BF=1：2，
所以△BFC的面积为：2×1=2（平方厘米），
（3）故△ABC的面积为：4+2=6（平方厘米），
6×2=12（平方厘米），
答：平行四边形ABCD的面积是12平方厘米．
故答案为：12．
点评： 此题考查了利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及高一定时，三角形的面积与底成正比的关系这两条性质，进行图形的面积计算的方法．
28．（2011•阆中市校级自主招生）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是 502.4 立方厘米．
考点： 等积变形（位移、割补）．
专题： 压轴题．
分析： 将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；但拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了80平方厘米，就可求出圆柱的高是多少厘米，进而再求出圆柱的体积，即长方体的体积．
解答： 解：底面半径：8÷2=4（厘米）；
圆柱的高：80÷2÷4=10（厘米）；
圆柱体积（长方体体积）：3.14×42×10=502.4（立方厘米）；
答：长方体的体积是502.4立方厘米．
故答案为：502.4．
点评： 圆柱体切拼成近似的长方体要明确：高没变，体积没变；但长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积．
29．（2011•成都）如右图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是 平方厘米．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 过G作GP∥CD交BE于P，即可证明△FGP≌△FDE，把阴影部分的面积转化为S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG的面积，再进行解答．
解答： 解：如图，过G作GP∥CD交BE于P，
S△BCE=S△BCD=S矩形ABCD=2×=（平方厘米）
∠FDE=∠FGP，∠FED=∠FPG，
∵F是DG中点，
∴DF=FG，
∴△FGP≌△FDE，
∴GP=DE，
∵CE=2DE，
∴CE=2PG，
∴PG是△BCE的中位线，PF=EF=BP
∴S△BPG=S△BCE=（平方厘米）
S△PFG=S△BPG=（平方厘米）
∴S阴影=S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG=（平方厘米）
故答案为：．
点评： 解答本题的关键是根据题意做出合适的辅助线线．把阴影部分的面积转化为S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG的面积．运用转化的思想解答求阴影部分的面积的知识．
30．（2010•成都）如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为 72 ．
考点： 规则立体图形的表面积．
分析： 由题意知，正方体中的洞由于正中心是相通的，且底面积是1的正方形，所以可看成是6个棱长为1的小正方体的洞；要求整个的表面积，可用6个小正方体洞的侧面积加上大正方体的表面积再剪去6个小洞口的面积即可．
解答： 解：3×3×6+1×4×6﹣1×6，
=54+24﹣6，
=72；
答：所得物体的表面积为72．
故答案为：72．
点评： 此题是考查规则立体图形的表面积，要注意里面小洞的面积是包括几个面的面积．
31．连接立方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）．已知立方体的边长为12cm，请问正八面体之体积是多少 288 cm3？
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 压轴题；立体图形的认识与计算．
分析： 把这个正八面体分成两部分来计算：每一部分正好是一个四棱锥，四棱锥的体积=×底面积×高；根据题干分析可得，四棱锥的高是正方体的棱长的一半，是12÷2=6厘米；四棱锥的底面积是：以12厘米为边长的正方形的四个边上的中点为顶点的正方形的面积，是边长为12厘米的正方形的面积的一半，是：12×12÷2=72平方厘米，由此即可求出这个四棱锥的体积，再乘2就是正八面体的体积．
解答： 解：×（12×12÷2）×（12÷2）×2，
=×72×6×2，
=288（立方厘米），
答：这个正八面体的体积是288立方厘米．
点评： 此题主要考查四棱锥的体积公式的灵活应用和学生的空间思维和观察图形的能力．
32．把19个棱长为1cm的正方体按如图摆放，求这个几何体的表面积是 54cm2 ．
考点： 不规则立体图形的表面积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 求这个几何体的表面积，就要数出这个图形中小正方体漏在外面的个数，从前、后、左、右、上、下等方向上来查数，然后用一个面的面积乘面的个数即可．
解答： 解：（1）从前、后、左、右、上、下方向，看到的面的个数分别为：10、10、8、8、9、9．
表面积是：1×1×（10+10+8+8+9+9）
=1×54
=54（cm2）．
答：这个几何体的表面积是54cm2．
故答案为：54cm2．
点评： 注意分析图形，掌握表面积计算公式，是解答此题的关键．
三、解答题（共20小题）
33．（2014•长沙）如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积9平方厘米，求阴影部分的总面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 阴影部分的面积总面积=长方形ABCD的面积﹣△BFD和△CAF的面积和+四边形OEFG的面积，△BFD和△CAF的高都是AB的长，底边BF+FC=BC，据此得解．
解答： 解：15×8﹣×15×8+9
=120﹣60+9
=69（平方厘米）
答：阴影部分的总面积是69平方厘米．
点评： 解决此题的关键是利用三角形的公式和乘法分配律得到等式：BF×AB+FC×AB=BC×AB；还要注意四边形OEFG的面积是△BFD和△CAF的面积和重叠的部分．
34．（2014•长沙）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
考点： 组合图形的计数．
专题： 操作、归纳计数问题．
分析： 这些直线交点最少时，100条直线互相平行；这些直线交点最多时，100条直线两两相交．依此即可求解．
解答： 解：100条直线互相平行时没有交点，
所以这些直线最少有0个交点；
n条直线最多有n（n﹣1）个交点，
所以100条直线最多有×100×（100﹣1）=4950个交点，
答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．
点评： 考查了组合图形的计数，注意平行和相交的特征，应理解和应用．
35．（2014•长沙）如图，三角形ABC面积为27平方厘米，AE=CE，BF=BC，求三角形BEF的面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： AE=CE，则AE=AC，以AE、AC为底时，△ABE与△ABC的高相等，根据三角形的面积公式：s=×底×高，所以S△ABE=S△ABC，进而运用减法求出△BCE的面积；因为BF=BC，则S△BEF=S△BCE．
解答： 解：因为AE=CE，则AE=AC，
所以S△ABE=S△ABC=×27=（平方厘米）；
△BCE的面积：27﹣=（平方厘米）；
因为BF=BC，
所以S△BEF=S△BCE=×==6（平方厘米）．
答：△BEF的面积是6（平方厘米）．
点评： 本题主要运用三角形的面积与底成正比的性质，当高相同或相等时，三角形的面积之比等于三角形底之比．
36．（2014•长沙）如图，直角梯形ADCB中，三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大．已知BC=16、AD=20、AB=12，求三角形AEF的面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高÷2求出梯形的面积；因为三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大，梯形的面积除以3即可求出各部分的面积；根据三角形的面积公式：S=底×高÷2，分别求出AF、AE的长度，即可求出三角形AEF的面积．
解答： 解：梯形的面积是：
（16+20）×12÷2
=36×12÷2
=36×12×
=216
因为△BEC、四边形CEAF和△CFD的面积一样大，所以△BEC、四边形CEAF和△CFD的面积为：
216÷3=72
则BE=72×2÷16=9，AE=12﹣9=3；
DF=72×2÷12=12，AF=20﹣12=8；
△AEF的面积为：
3×8÷2=12
答：△AEF的面积是12．
点评： 解答本题的关键是求出三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积；考查学生熟练运用面积公式的能力．
37．（2014•邵阳）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？[来源:学#科#网]
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 几何形体的分、合、移、补的问题．
分析： 根据圆柱的体积公式可得，这个铅笔的底面积是9÷18=0.5平方厘米，即得出图中剩下的铅笔的底面积是0.5平方厘米，据此再利用圆柱与圆锥的体积公式求出剩下的体积即可．
解答： 解：9÷18=0.5（平方厘米）
0.5×8+0.5×3×
=4+0.5
=4.5（立方厘米）
答：此时铅笔的体积是4.5立方厘米．
点评： 此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，剩下的铅笔的体积等于图中圆柱与圆锥的体积之和．
38．（2014•成都）如图：长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=15厘米，E、F分别是所在边的中点．求阴影部分的面积．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 如图所示，假设BD交AE与H点，AF交DB与G点，因为BF与AD平行，并且等于AD的，所以BG：GD=BE：AD=1：2，则BG：BD=1：3，同样的方法可以得出：DH：BD=1：3，所以BG=DH=BD，所以BG=GH=HD，所以△ABG与△AGH的面积相等，△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGE的面积，△AGH的面积+△BGE的面积=△ABE的面积，利用三角形的面积公式即可求解；又因△DFH的DF边上的高=BC，从而可以求其面积，据此即可求解．
解答： 解：假设BD交AF与G点，AE交DB与H点，因为BF与AD平行，并且等于AD的，
所以BG：GD=BF：AD=1：2，则BG：BD=1：3，
同样的方法可以得出：DH：BD=1：3，
所以BG=DH=BD，所以BG=GH=HD，
所以△ABG与△AGH的面积相等，
△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGF的面积，
△AGH的面积+△BGF的面积=△ABF的面积=×10×=（平方厘米）；
又因△DEH的DE边上的高=×15=5（厘米），
所以△DEH面积=××5=（平方厘米）；
即阴影部分面积=+=50（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是50平方厘米．
点评： 解答此题的主要依据是：相似三角形的面积比等于对应边的比．
39．（2013•长沙）爸爸给女儿买了一个圆柱形的大生日蛋糕，女儿把蛋糕竖直方向切成22块分给22个小朋友，切成的大小不一定相等．那么至少需切的刀数为？
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 由题意可知，由于至少多少刀，隐含着切得每刀切面必须两两相交．假设切n刀，则切得的块数是n（n+1），依此可得不等式n（n+1）≥22，解不等式即可求解．
解答： 解：设切的刀数为n，依题意有
n（n+1）≥22
n（n+1）≥44
因为n为正整数，6×7=42，7×8=56，
所以n≥7．
答：至少需切的刀数为7．
点评： 本题考查切割的知识，有一定的难度，关键是理清如何切法，找出关系式．
40．（2013•长沙）A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求
（1）2分钟容器A中的水有多高？
（2）3分钟时容器A中的水有多高．
考点： 等积变形（位移、割补）；圆柱的侧面积、表面积和体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3﹣2.5=0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度．
解答： 解：（1）A容器的容积是：3.14×12=3.14×1=3.14（立方厘米），
B容器的容积是：3.14×22=3.14×4=12.56（立方厘米），
12.56÷3.14=4，
即B容器的容积是A容器容积的4倍，
因为一水龙头单独向A注水，一分钟可注满，
所以要注满B容器需要4分钟，
因此注满A、B两个容器需要1+4=5（分钟），
已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，
2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）；
（2）因为注满A、B两个容器需要1+4=5（分钟），
所以5÷2=2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米，
2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的，
3分钟后，实际上3﹣2.5=0.5（分钟）水位是同时上升的，
0.5÷5=，
12×=1.2（厘米），
6+1.2=7.2（厘米）；
答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米．
点评： 此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度．
41．（2013•二七区）请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
（1）分成2个 （2）分成3个 （3）分成4个 （4）分成6个
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： （1）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，就分成了2个一样的三角形；
（2）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，再找出AD的中点O，连结OA、OB、OC，则三角形AOB、AOC、BOC即为所求；
（3）找出三角形ABC各边中点F、G、E，连结FE、FG、GE即可；
（4）找出三角形ABC各边中点F、D、E，连结AD、BF、CE即可．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题解答的关键在于找出三角形ABC边的中点，进而解决问题．
42．（2012•射洪县）把若干个边长2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是 224 平方厘米．
考点： 不规则立体图形的表面积．
专题： 压轴题；立体图形的认识与计算．
分析： 要求这个立方体的表面积是多少平方厘米，只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成，通过观察，可以得出，立体图形的上面有3×3=9个小正方形，下面也有9个小正方形；左面和右面各有9个小正方形；前面和后面各有10个小正方形，这样得出这个立方体的表面是由56个小正方形组成；小正方形的面积可根据“正方形的面积=边长×边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即可；
解答： 解：（9×4+10×2）×（2×2），
=56×4，
=224（平方厘米）；
答：这个立方体的表面积是224平方厘米．
故答案为：224．
点评： 此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用小正方形的面积乘个数即可得出结论．
43．（2012•渠县）有一棱长为5cm的正方体机器零件，现在它的上下面挖去了一个直径为2cm的圆孔，求剩下机器零件的表面积和体积？
考点： 规则立体图形的表面积；规则立体图形的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： （1）运用正方体体积减去圆柱体的体积，就是剩下机器零件的体积．
（2）运用正方体的表面积减去两个圆的面积在加上圆柱的侧面积，就是剩下机器零件的表面积．
解答： 解：（1）剩下机器零件的体积：
5×5×5﹣3.14×（2÷2）2×5，
=125﹣15.7，
=109.3（立方厘米）；
答：剩下机器零件的体积是109.3立方厘米．
（2）剩下机器零件的表面积：
5×5×6﹣3.14×（2÷2）2×2+3.14×2×5，
=150﹣6.28+31.4，
=175.12（平方厘米）；
答：剩下机器零件的表面积175.12平方厘米．
点评： 本题考查了正方体圆柱体的体积公式及它们的表面积及侧面积公式．考查了学生的空间想象及思维能力．
44．（2012•湖北）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少．
考点： 燕尾定理．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 由蝴蝶定理得，S2=S4，再由共高定理得S1×S3=S2×S4，求得 S2=10，据此即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：由蝴蝶定理得，S2=S4，
再由共高定理得S1×S3=S2×S4，
5×20=S2×S4，
S2×S4=100，
所以S2=S4=10，
则梯形的面积总和：5+10+10+20=45，
答：梯形的面积是45．
点评： 此题主要考查利用蝴蝶定理和共高定理解决实际问题的灵活应用．
45．（2012•广州校级自主招生）如图中，三角形的个数有多少？
考点： 组合图形的计数．
分析： 首先数出单一的小三角形是16个，再分类数出由4个小三角形组成的稍大的三角形，顶点朝上的是3个；顶点朝下的是3个；然后合并起来即可．
解答： 解：根据图形特点把图中三角形分类，即一个面积的三角形是16个；还有一类是4个面积的三角形，顶点朝上的有3个，顶点朝下的也有3个；
故图中共有三角形个数为：16+3+3=22（个）．
答：图中一共有22个三角形．
点评： 此题主要考查，按照一定的顺序去观察思考问题，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
46．（2012•恩施州）水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
考点： 体积的等积变形．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 根据圆柱的体积公式v=sh，求出B容器的容积是：3.14×（16÷2）2×10=2009.6（立方厘米），
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2=78.5（平方厘米），5秒钟后B中的水流到A容器了，用流到A容器中水的体积除以A容器的底面积，即为容器A中水的高度，据此解答即可．
解答： 解：B容器的容积是：：3.14×（16÷2）2×10=2009.6（立方厘米）；
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2=78.5（平方厘米）；
流到A容器的体积是：2009.6×=200.96（立方厘米）；
容器A中水的高度是：200.96÷78.5=2.56（厘米）；
答：容器A中水的高度是2.56厘米．
点评： 此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到A容器中水的体积．
47．（2012•北京）如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，，若S△ADM=1求：梯形的面积．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
分析： 根据题意知道△AMD与△BMC相似，由此得出△BMC的面积，再根据，知道△ADM与△ADB高的比是1：4，进而求出△ABD的面积，用△ADB的面积乘2再减去△ADM的面积，再计算△BMC的面积就是梯形的面积．
解答： 解：因为，，所以△AMD与△BMC相似，
所以S△ADM：S△BDM=1：9，
所以S△BDM=S△ADM×9=1×9=9，
又因为△ADM与△ADB同底，
高的比是1：4，
所以S△ADM：S△ADB=1：4，
所以S△ADB=S△ADM×4=1×4=4，
所以梯形的面积为：4×2﹣1+9=16，
答：梯形的面积是16．
点评： 此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及底一定时，三角形的面积与高成正比的关系的灵活应用．
48．（2011•长沙）把自然数依次排成以下数阵：
1，2，4，7，11，…
3，5，8，12，…
6，9，13，…
10，14，…
15，…
…
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？
（2）第5行第10列排的是哪一个数？
（3）2004排在第几行第几列？
考点： 数阵图中找规律的问题．
专题： 数阵图中找规律的问题．
分析： 通过观察，这个数阵有如下规律：
①将从1开始的自然数按右下斜行排列，例如第一斜行是1，第二斜行是2、3，…；
②同行相邻两数的差每次+1，同列相邻两数的差也是每次+1；
③相邻两行（列），从左到右同列（行）两数的差每次+1．
（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，然后再根据规律②，求出第10行第5列排的是多少即可；
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，然后再根据规律②，求出第5行第10列排的是多少即可；
（3）首先判断出2004在哪个斜行，前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，当n=62时，62×63÷2=1953；当n=63时，63×64÷2=2016，所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，因为2004﹣1954=50，所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）．
解答： 解：（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，
根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，
根据规律②，可得求出第10行第5列排的是：
11+（6+7+8+9+10+11+12+13+14）=11+（6+14）×9÷2=101；
答：第10行第5列排的是101．
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，
根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，
根据规律②，可得求出第5行第10列排的是：
15+（5+6+7+8+9+10+11+12+13）=15+（5+13）×9÷2=96；
答：第5行第10列排的是96．
（3）因为前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，
当n=62时，62×63÷2=1953；
当n=63时，63×64÷2=2016，
所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，
因为2004﹣1954=50，
所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）．
答：2004排在第51行第13列．
点评： 此题主要考查了数阵图中找规律问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是判断出数列的排列规律，并能正确应用．
49．（2010•吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？
考点： 体积的等积变形．
专题： 压轴题．
分析： 因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同．将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高为8+2=10厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的，由此算出瓶内酸奶的体积．
解答： 解：8+2=10（厘米），
32.4×=25.92（立方厘米），
答：瓶内酸奶体积是25.92立方厘米．
点评： 解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高8+2=10厘米的圆柱的体积，进而求出答案．
50．（2008•建阳市）一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？
考点： 等积变形（位移、割补）；长方体和正方体的体积；圆锥的体积．
专题： 压轴题．
分析： 由题意知，“沙”由圆锥体变为长方体，形状变了但体积没变，即V圆锥=V长方体，由此可利用它们的体积公式求装多高．
解答： 解：3.6×1.2×÷（2×1.5），
=1.44÷3，
=0.48（米）；
答：可以装0.48米高．
点评： 此题考查了圆锥体积的求法和长方体底面积的求法，求圆锥体积时不要忘了乘．
51．（2006•北京校级自主招生）在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少 28 ．
考点： 规则立体图形的表面积．
分析： 根据题干，切去这个三棱柱后表面积减少部分是指长为8宽为4和长为8宽为3的2个长方形面积与直角边分别为3、4的两个直角三角形的面积；同时还增加了一个长为8，宽为直角三角形斜边的一个长方形的面积，由此根据勾股定理求得这个斜边，即可求得减少的表面积是多少．
解答： 解：在直角三角形中，直角边分别是3、4，根据勾股定理可得：32+42=25=52，
所以斜边为：5，
所以表面积减少了：8×4+8×3+3×4÷2×2﹣8×5
=32+24+12﹣40
=28，
答：表面积减少了28．
故答案为：28．
点评： 抓住立体图形的切拼特点，找出减少的面积和增加部分的面积，是解决此类问题的关键，这里还考查了勾股定理的灵活应用．
52．（2005•邳州市）探索
（1）完成表格中未填部分．
（2）根据表中规律，八边形的内角和是 1080 度．
（3）假设图形的边数为a，内角和为s，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与内角和的关系．S= （a﹣2）•180° ．
图形
边数 3 4 5
内角和 180 180×2 180×3
考点： 多边形的内角和．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据图形填写即可；
（2）根据过同一顶点作出的对角线把八边形分成6个三角形，再利用三角形的内角和等于180°即可推出八边形的内角和；
（3）根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式．
解答： 解：（1）填写表格如下：
图形
边数 3 4 5 6 7
内角和 180 180×2 180×3 180×4 180×5
（2）180×6=1080（度）．
故八边形的内角和是1080度；
（3）过a边形某一顶点可画（a﹣3）条对角线，把n边形分为（a﹣2）个三角形，
这（a﹣2）个三角形的内角和之和就等于a边形的内角和，
即（a﹣2）•180°．
故答案为：1080；（a﹣2）•180°．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点．
三角形面积与底的正比关系
53．（2014•长沙）如图，梯形ABCD中共有（ ）对面积相等的三角形
A． %22 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据三角形的面积公式：S=×底×高，则等底同高的三角形面积相等；根据图形的特点解答即可．
解答： 解：△ABD与△ACD，等底同高，所以S△ABD=S△ACD；
△ABC与△DBC，等底同高，所以S△ABC=S△DBC；
因为S△ABO=S△ABC﹣S△BOC，S△DOC=S△DBC﹣S△BOC，等量代换得：S△ABO=S△DOC；
即梯形ABCD中共有3对面积相等的三角形．
故选：B．
点评： 本题主要运用三角形的面积与底成正比的性质；等底同高的三角形面积相等．
三视图与展开图
54．（2013•邹平县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
考点： 三视图与展开图．
专题： 压轴题．
分析： 根据从正面看到，从上面看到，可知该物体有前后两排，都只有一层高，依此即可得到从右面看到的图形．
解答： 解：由主视图和俯视图可知该物体有前后两排，有一层高，
则从右面看到．
故选：A．
点评： 考查了三视图与展开图，得到该物体的排数和每排的层高是解题的关键．
长度比较
55．（2013•安图县）在图形中甲的周长（ ）乙的周长．
A． 大于 B． 小于 C． 等于
考点： 长度比较．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 观察图形可知，图形甲的周长，等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，图形乙的周长也等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，所以这两个图形的周长相等，据此即可选择．
解答： 解：根据题干分析可得图形甲与图形乙的周长都等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，
所以它们的周长相等．
故选：C．
点评： 解答此题的关键是明确两个图形的周长是由哪部分组成的．
56．（2012•无棣县）下面三个图形中，哪两个图形的周长相等？（ ）
A． 图形①和② B． 图形②和③ C． 图形①和③
考点： 长度比较．
专题： 压轴题．
分析： 为便于计算，设每个方格的边长为1，先来看图①，阴影部分的周长为：1×12=12，图②阴影部分的周长为：1×14=14，图③阴影部分的周长为：1×4=14，由此即可得出答案．
解答： 解：设每个方格的边长为1，
①的周长为：1×12=12，
②的周长为：1×14=14，
③的周长为：1×4=14，
因此②和③的周长相等；
故选：B．
点评： 此题考查了学生观察图形、分析图形的能力，一定要结合图形来解答．
不规则立体图形的表面积
57．（2012•瑶海区）如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A． 比原来大 B． 比原来小 C． 不变
考点： 不规则立体图形的表面积；图形的拆拼（切拼）．
专题： 压轴题．
分析： 要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可．
解答： 解：据题意和图可知，挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积去掉了2个面，也就是减少了2平方厘米；
但是它的表面同时增加了4个面，也就是增加了4平方厘米；
所以它的表面积增加了2平方厘米．
故选：A．
点评： 把减少的面积和增加的面积进行比较，然后判定它的面积发生了什么变化．
图形的拆拼（切拼）
58．（2012•南昌）在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 剪出直径为2厘米的小圆片，可以看作剪边长为2厘米的正方形，最多可剪：（4÷2）×（4÷2），解出答案即可．
解答： 解：（4÷2）×（4÷2），
=2×2，
=4（个）；
答：最多可剪4片．
故选：B．
点评： 本题关键是根据正方形内的最大圆的直径等于正方形的边长这个原理，把剪圆形转化为剪小正方形．
59．（2012•龙山县）用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，有几种分法（ ）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 根据题意可知，用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，说明这两部分关于这条直线对称，据此解答．
解答： 解：正方形的对称轴有四条，沿着对称轴就可把正方形分成两个完全一样的两部分，共有4种分法；
作图如下：；
故选：D．
点评： 解答此题不要一味的去找这条直线，要利用逆向思维，先判断两个完全一样的两部分有什么特性，问题就迎刃而解．
数阵图中找规律的问题
60．（2012•南昌）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（ ）根小棒．
A． 60 B． 61 C． 65 D． 75
考点： 数阵图中找规律的问题．
专题： 压轴题．
分析： 搭一间房用5根小棒，2间房用9根小棒，3间房用13根小棒，以后每增加一间房就多用4根小棒，由此解决问题．
解答： 解：第15间房除了第一间用5根小棒，其它都是4根小棒，则：
（15﹣1）×4+5=61（根）
故答案选：B．
点评： 先找到用小棒数的规律，再根据规律求解．
几何图形
组合图形的计数
1．（2014•广州）如图中直角的个数为（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
[来源:学科网ZXXK]
2．（2014•成都）如图，共有（ ）条线段．
A．5 B．8 C．10 D．12
3．（2013•广州）图中直角的个数为（ ）个．
A．4 B．8 C．10 D．12
4．（2013•广州）数一数，在右图中共有（ ）个三角形．
A．10 B．11 C．12 D．13
E．14
5．（2012•长寿区）这里共有（ ）条线段．
A．三条 B．四条 C．五条 D．六条
6．（2012•宁化县） 如图中直角有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2012•广州）如图所示的7×7的方格内，有许多边长为整数的正方形，其中在有的正方形中黑方格与白方格的个数占一半（同样多）．像这样的正方形有（ ）个．
A．26 B．36 C．46 D．56
E．66
8．（2012•恩施州）某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（ ）条．
A．3 B．9 C．6 D．12
9．（2012•恩施州）图中共有（ ）个长方形．
A．30 B．28 C．26 D．24
10．（2011•慈溪市）把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（ ）
A．21 B．24 C．33 D．37
11．把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm
12．（2014•桐梓县模拟）面积相等的情况下，长方形、正方形和圆相比，（ ）的周长最短．
A．长方形 B．正方形 C．圆
二、填空题（共20小题）
13．（2015•长沙）如图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图中，正方形有 _________ 个，三角形有 _________ 个．
14．（2014•长沙）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取 _________ 个直径是2分米的圆形铁板．
15．（2014•长沙）如图，三角形一共有 _________ 个．
16．（2014•慈利县）一个棱长5厘米的正方体木块，分成两个完全一样的长方体木块后，表面积比原来增加了50平方厘米． _________ ．
17．（2014•楚州区）一个圆的周长是15.7分米，把这个圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，这个近似的长方形的长是 _________ 分米，宽是 _________ 分米．
18．（2014•成都）一个六面都是红色的正方体，最少要切 _________ 刀，才能得到180个各个面都不是红色的正方体．
19．（2013•天河区）如图，它是用6个棱长为1分米的正方体拼成的．
①它的表面积是 _________ ．
②它的体积是 _________ ．
20．（2013•泰州）有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料 _________ 立方厘米．
21．（2013•崇安区）在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 _________ ，阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
22．（2012•湛河区）20个点最多能连成 _________ 条线段．一个九边形的内角和是 _________ 度．
23．（2012•云阳县）把表填完整
多边形 …
边数 3 4 5 6 _________ …
内角和 180° 180°×2 180°×3 _________ 180°×5 …
24．（2012•宿迁）如图．A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的 _________ %．
25．（2012•台州）如图，A是一个圆，B是由三个半圆围成的图形，那么它们周长的大小关系是CA _________ CB．
26．（2012•陕西）如图的体积是 _________ ．（单位：厘米）
27．（2012•成都）如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，AC和BE相交于F，如果△EFC的面积是1平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是 _________ 平方厘米．
28．（2011•阆中市校级自主招生）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是 _________ 立方厘米．
29．（2011•成都）如右图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．
30．（2010•成都）如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为 _________ ．
31．连接立方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）．已知立方体的边长为12cm，请问正八面体之体积是多少 _________ cm3？
32．把19个棱长为1cm的正方体按如图摆放，求这个几何体的表面积是 _________ ．
三、解答题（共20小题）
33．（2014•长沙）如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积9平方厘米，求阴影部分的总面积．
34．（2014•长沙）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
35．（2014•长沙）如图，三角形ABC面积为27平方厘米，AE=CE，BF=BC，求三角形BEF的面积．
36．（2014•长沙）如图，直角梯形ADCB中，三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大．已知BC=16、AD=20、AB=12，求三角形AEF的面积．
37．（2014•邵阳）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？
38．（2014•成都）如图：长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=15厘米，E、F分别是所在边的中点．求阴影部分的面积．
39．（2013•长沙）爸爸给女儿买了一个圆柱形的大生日蛋糕，女儿把蛋糕竖直方向切成22块分给22个小朋友，切成的大小不一定相等．那么至少需切的刀数为？
40．（2013•长沙）A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求
（1）2分钟容器A中的水有多高？
（2）3分钟时容器A中的水有多高．
41．（2013•二七区）请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
（1）分成2个 （2）分成3个 （3）分成4个 （4）分成6个
42．（2012•射洪县）把若干个边长2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是 _________ 平方厘米．
43．（2012•渠县）有一棱长为5cm的正方体机器零件，现在它的上下面挖去了一个直径为2cm的圆孔，求剩下机器零件的表面积和体积？
44．（2012•湖北）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少．
45．（2012•广州校级自主招生）如图中，三角形的个数有多少？
[来源:学&科&网]
46．（2012•恩施州）水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
47．（2012•北京）如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，，若S△ADM=1求：梯形的面积．
48．（2011•长沙）把自然数依次排成以下数阵：
1，2，4，7，11，…
3，5，8，12，…
6，9，13，…
10，14，…
15，…
…
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？
（2）第5行第10列排的是哪一个数？
（3）2004排在第几行第几列？
49．（2010•吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？
50．（2008•建阳市）一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？
51．（2006•北京校级自主招生）在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少 _________ ．
52．（2005•邳州市）探索
（1）完成表格中未填部分．
（2）根据表中规律，八边形的内角和是 _________ 度．
（3）假设图形的边数为a，内角和为s，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与内角和的关系．S= _________ ．
图形
边数 3 4 5
内角和 180 180×2 180×3
三角形面积与底的正比关系
53．（2014•长沙）如图，梯形ABCD中共有（ ）对面积相等的三角形
A．%22 B．3 C．4 D．5
三视图与展开图
54．（2013•邹平县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
长度比较
55．（2013•安图县）在图形中甲的周长（ ）乙的周长．
A．大于 B．小于 C．等于
56．（2012•无棣县）下面三个图形中，哪两个图形的周长相等？（ ）
A．图形①和② B．图形②和③ C．图形①和③
不规则立体图形的表面积
57．（2012•瑶海区）如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A．比原来大 B．比原来小 C．不变
图形的拆拼（切拼）
58．（2012•南昌）在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片．
A．3 B．4 C．5 D．6
59．（2012•龙山县）用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，有几种分法（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
数阵图中找规律的问题
60．（2012•南昌）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（ ）根小棒．
A．60 B．61 C．65 D．75
答案与试题解析
组合图形的计数
1．（2014•广州）如图中直角的个数为（ ）个．
A． 4 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 两条直线相交的地方各有4个，共8个，再加上单独的两个直角，共有8+2=10（个）．
解答： 解：4+4+2=10（个）
故选：C．
点评： 本题要分类计数，这样可以防止遗漏．
2．（2014•成都）如图，共有（ ）条线段．
A． 5 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据线段的定义，分别写出图形中的线段，从而可得出答案．
解答： 解：由题意可得，图形中的线段有：AB，AC，AD，AE，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10个．
故选：C．
点评： 本题主要考查对数线段的条数的理解和掌握，能正确数线段的是解此题的关键．题型较好，难度适中．注意按一个方向数线段．
3．（2013•广州）图中直角的个数为（ ）个．
A． 4 B． 8 C． 10 D． 12
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何形体的分、合、移、补的问题．
分析： 根据直角的含义：等于90度的角叫做直角；从左往右从上往下一个点一个点的计数，依此进行解答即可求解．
解答： 解：2+4+2=8（个）．
答：图中直角的个数为8个．
故选：B．
点评： 此题考查了组合图形的计数，关键是熟悉直角的含义．
4．（2013•广州）数一数，在右图中共有（ ）个三角形．
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
E． 14
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 由一个基本图形组成的有6个，由二个基本图形组成的有4个，由三个基本图形组成的有2个，由六个基本图形组成的有1个，一共6+4+2+1=13个，据此即可选择．[来源:学科网ZXXK]
解答： 解：根据题干分析可得：图形中的三角形一共有6+4+2+1=13（个），
故选：D．
点评： 此题的解答关键是按照一定的顺序观察、思考问题，做到不重不漏．
5．（2012•长寿区）这里共有（ ）条线段．
A． 三条 B． 四条 C． 五条 D． 六条
考点： 组合图形的计数．
分析： 根据线段的含义：有两个端点、有限长；来解答本题即可．
解答： 解：如图：图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条．
故选：D．
点评： 本题考查线段的含义，查找线段数目是按一定顺序，做到不重不漏．
6．（2012•宁化县） 如图中直角有（ ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据直角的含义：等于90度的角叫做直角；进行解答即可．
解答： 解：如图：有3个直角；
故选：C．
点评： 此题考查了直角的含义．
7．（2012•广州）如图所示的7×7的方格内，有许多边长为整数的正方形，其中在有的正方形中黑方格与白方格的个数占一半（同样多）．像这样的正方形有（ ）个．
A． 26 B． 36 C． 46 D． 56
E． 66
考点： 组合图形的计数．
专题： 压轴题；几何的计算与计数专题．
分析： 观察图形可知，2×2、4×4、6×6的正方形中，黑方格与白方格个数都是各占一半；2×2的正方形有：6×6=36个；4×4的正方形有：4×4=16个；6×6的正方形有：2×2=4个；据此再加起来即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：36+16+4=56（个），
答：一共有56个这样的正方形．
故选：D．
点评： 解答此题的关键是明确：只有在2×2、4×4、6×6的正方形中，黑方格与白方格个数都是各占一半；据此计数即可解答．
8．（2012•恩施州）某高层公寓大火时，小王逃生的时候看了下疏散通道如图所示，则最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有（ ）条．
A． 3 B． 9 C． 6 D． 12
考点： 最短线路问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 按照规律，作出最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道的图形，依此即可求解．
解答： 解：如图所示：
故最快逃离到楼梯（图中阴影）的通道共有6条．
故选：C．
点评： 考查了最短线路问题，注意按照一定的规律计数，做到不重复不遗漏．
9．（2012•恩施州）图中共有（ ）个长方形．
A． 30 B． 28 C． 26 D． 24
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据长边的线段上有5个点，得出线段的条数为10条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条，从而得出长方形的个数．
解答： 解：因为长边的线段上有5个点，得出线段的条数为10条，短边的线段有3个点，得出线段的条数为3条；
长方形的个数为：10×3=30（个），
故选：A．
点评： 利用点分成线段条数得出长方形个数，从而求出长方形的个数，题目有一定抽象性，应认真分析，从而确定解题思路．
10．（2011•慈溪市）把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为（ ）
A． 21 B． 24 C． 33 D． 37
考点： 染色问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加．
解答： 解：根据题意得：
第一层露出的表面积为：1×1×6﹣1×1=5，
第二层露出的表面积为：1×1×6×4﹣1×1×13=11，
第三层露出的表面积为：1×1×6×9﹣1×1×37=17，
所以红色部分的面积为：5+11+17=33，
故选：C．
点评： 此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积．
11．把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． 4mcm B． 4ncm C． 2（m+n）cm D． 4（m﹣n）cm
考点： 巧算周长．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 本题需先设小长方形卡片的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
解答： 解：设小长方形卡片的长为acm，宽为bcm，
则L上面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）cm，
L下面的阴影=2（m﹣2b+n﹣2b）cm，
L总的阴影=L上面的阴影+L下面的阴影=2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）=4m+4n﹣4（a+2b）cm，
又因为a+2b=mcm，
所以4m+4n﹣4（a+2b）=4ncm．
故选：B．
点评： 本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
12．（2014•桐梓县模拟）面积相等的情况下，长方形、正方形和圆相比，（ ）的周长最短．
A． 长方形 B． 正方形 C． 圆
考点： 巧算周长．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 周长相等时，形状越近似于圆，面积越大，反之，面积相等，形状越不接近圆，周长越大；所以长方形，正方形，圆的面积相等，他们周长大小比较的排列顺序为（从大到小）：长方形，正方形，圆．
解答： 解：当长方形、正方形、圆三个图形的面积相等时，它们周长的长短关系是颠倒的，即长方形＞正方形＞圆，即圆的周长最短．
故选：C．
点评： 考查了图形的面积及周长的比较，是一个经典题型．本题从数量上认证了面积一定，长方形的周长＞正方形的周长＞圆的周长．
二、填空题（共20小题）
13．（2015•长沙）如图是半个正方形，它被分成一个一个小的等腰三角形，图中，正方形有 10 个，三角形有 47 个．
考点： 组合图形的计数．
分析： 分别找到2个小的等腰三角形组合成的正方形，4个小的等腰三角形组合成的正方形，8个小的等腰三角形组合成的正方形，相加即可得到正方形的个数；
分别找到含1个小的等腰三角形的三角形，2个小的等腰三角形组合成的三角形，4个小的等腰三角形组合成的三角形，8个小的等腰三角形组合成的三角形，9个小的等腰三角形组合成的三角形，18个小的等腰三角形组合成的三角形，相加即可得到三角形的个数．
解答： 解：正方形的个数为：6+3+1=10（个）；
三角形的个数为：18+15+8+3+2+1=47（个）．
故答案为：10，47．
点评： 考查了组合图形的计数，本题难度比较大，关键是按照一定的顺序计数，做到不重复不遗漏．
14．（2014•长沙）在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取 11 个直径是2分米的圆形铁板．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 在10分米、宽5分米的长方形铁板上，上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形（上下两行共4个圆形之间可以切出一个2分米的圆形，共有3个）．所以，应该可以切4+4+3=11个．据此解答．
解答： 解：根据以上分析知：可截取圆的个数是：
4+4+3=11（个）
答：最多能截11个直径是2分米的圆形铁板．
故答案为：11．
点评： 本题的关键是上下两排各均匀切4个2分米的圆形，在它们中间还可以切3个2分米的圆形．
15．（2014•长沙）如图，三角形一共有 6 个．
考点： 组合图形的计数．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 因为所有的三角形都有一个公共的顶点，所以只要看斜边有几条线段就有几个三角形．
解答： 解：斜边上线段一共有：3+2+1=6（条），
所以一共有6个三角形．
故答案为：6．
点评： 解决本题的关键是根据三角形的边的关系将三角形的个数转化成线段的条数来解答．
16．（2014•慈利县）一个棱长5厘米的正方体木块，分成两个完全一样的长方体木块后，表面积比原来增加了50平方厘米． √ ．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 压轴题．
分析： 把这个正方体分成两个完全一样的长方体时，增加了两个边长是5厘米的正方形的面的面积，一个是5×5，所以再乘以2就是增加的面积．
解答： 解：表面积比原来增加的面积是：5×5×2=50（平方厘米）；
故答案为：√．
点评： 本题考查了学生的空间想象能力，分成两个完全一样的长方体其实告诉我们增加的面是正方形．
17．（2014•楚州区）一个圆的周长是15.7分米，把这个圆等分成若干个小扇形，拼成一个近似的长方形，这个近似的长方形的长是 7.85 分米，宽是 2.5 分米．
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 如图，这个近似的长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径，用圆周长除以π再除以2即可得出这个圆的半径．
解答： 解：如图：
15.7÷2=7.85（分米）；
15.7÷3.14÷2=2.5（分米）；
答：这个近似的长方形的长是7.85分米，宽是2.5分米．
故答案为：7.85，2.5．
点评： 本题是考查图形的拼切、圆的有关计算．
18．（2014•成都）一个六面都是红色的正方体，最少要切 20 刀，才能得到180个各个面都不是红色的正方体．
考点： 染色问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 你要保证每一面都不是红的，首先要切6刀把表皮切掉，剩余的部分你只要能切成180个即可：你只要底面切成36个小正方形：（5+5）刀，然后竖着再切4刀，即180个；由此解答．
解答： 解：由分析可知：先要切6刀把表皮切掉，剩余的部分你只要能切成180个即可：只要底面切成36个小正方形：（5+5）刀，然后竖着再切4刀，
至少：6+5+5+4=20（刀）
答：最少要切20刀，才能得到180个各面都不是红色的正方体．
故答案为：20．
点评： 解答此题应结合实物，进行实际操作，较好理解．
19．（2013•天河区）如图，它是用6个棱长为1分米的正方体拼成的．
①它的表面积是 22平方分米 ．
②它的体积是 6立方分米 ．
考点： 不规则立体图形的表面积；长方体和正方体的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： ①有图中可以看出，6个正方体的排列方式如楼梯，下面4个，两排两列，上面两个并排叠在里侧的两个上，它的三视图，如下图，正面4个正方形，侧面3个正方形，上面看4个正方形，一个正方形的面积是1×1=1平方分米，全部加起来，即可得解；
②每个正方体的体积是1×1×1=1立方分米，无论6个正方体怎么拼，体积不变，仍然是6个正方体体积之和．
解答： 解：①三视图，如图：
（4+3+4）×2×（1×1）=22（平方分米），
答：它的表面积是 22平方分米；
②（1×1×1）×6=6（立方分米），
答：它的体积是6立方分米．
故答案为：22平方分米，6立方分米．
点评： 认真观察图形，正确理解从不同的方向观察图形效果不同；正确理解立方体的体积不变是解决此题的关键．锻炼了学生的空间想象力和几何直观．
20．（2013•泰州）有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料 40 立方厘米．
考点： 等积变形（位移、割补）．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 由图形可得，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，所以饮料瓶中饮料的体积占饮料瓶容积的20÷（20+5）=，再根据一个数乘分数的意义，用乘法列式解答即可．
解答： 解：50×[20÷（20+5）]
=50×
=40（立方厘米）
故答案为：40立方厘米．
点评： 解答此题关键是理解：左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，进而求出瓶中的饮料的体积占瓶子容积的几分之几．
21．（2013•崇安区）在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、丙两个三角形的面积比是 5：3 ，阴影部分的面积是 4 平方厘米．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 从图上可以看出甲、乙、丙三个三角形和平行四边形高相等，首先根据平行四边形的面积求出平行四边形的高：20÷（2+3）=4（cm），也就是这三个三角形的高，进而根据“三角形的面积=底×高÷2”求出三个三角形的面积（阴影部分的面积就是三角形乙的面积），再求出甲、丙两个三角形的面积比即可．
解答： 解：根据平行四边形的面积=底×高，得出
高=平行四边形的面积÷底
=20÷（2+3）
=20÷5
=4（厘米）
根据三角形的面积=底×高÷2 得出
甲三角形的面积=（2+3）×4÷2
=20÷2
=10（厘米2）
丙三角形的面积=3×4÷2
=12÷2
=6（厘米2）
则甲：丙=10：6
=5：3
阴影部分的面积就是乙三角形的面积=2×4÷2
=8÷2
=4（厘米2）
故答案为：5：3，4．
点评： 等高三角形的面积比等于这些三角形底的比．
22．（2012•湛河区）20个点最多能连成 190 条线段．一个九边形的内角和是 1260 度．
考点： 多边形的内角和．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： （1）2点连成的线段条数：1（条），
3个点连成线段的条数：1+2=3（条），
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条），
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条），
…
由此得出规律：总线段数就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数之和．因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，一次加到几减1，所得的和就是总线段数．据此规律解答即可．
（2）根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．
解答： 解：（1）1+2+3+4+5+…+19=190（条），
（2）（9﹣2）×180°=1260°，
故答案为：190，1260．
点评： 本题（1）属于探索规律的题目，把点的个数看作n，即n个点，那么可连线段的总条数就等于从1开始前（n﹣1）个连续自然数的和；
（2）考查了多边形的内角和公式．
23．（2012•云阳县）把表填完整
多边形 …
边数 3 4 5 6 7 …
内角和 180° 180°×2 180°×3 180°×4 180°×5 …
考点： 多边形的内角和．
专题： 压轴题；平面图形的认识与计算．
分析： 根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式．
解答： 解：n边形的内角和等于（n﹣2）•180°．
理由如下：因为三角形内角和 四边形内角和 五边形内角和
180°×1 180°×2 180°×3
所以过n边形某一顶点可画（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）个三角形，
这（n﹣2）个三角形的内角和之和就等于n边形的内角和，即（n﹣2）•180°．
当n=6时，内角和是：（6﹣2）×180°=180°×4；
当（n﹣2）•180°=180°×5时，
可得n﹣2=5，所以n=7．
故答案为：180°×4；7．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点．
24．（2012•宿迁）如图．A、B是长方形长和宽的中点，阴影部分的面积是长方形面积的 37.5 %．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
分析： 如图：设长方形的长为a，宽为b，因为“A、B是长方形长和宽的中点”，所以三角形1的底和高分别是a和b，三角形2的底和高分别是a和b，三角形3的底和高分别是 b和 a，根据三角形的面积公式能算出3个空白三角形部分的面积，则阴影部分的面积=长方形的面积﹣空白部分的面积，从而找出阴影部分的面积与长方形的面积的百分比．
解答： 解：长方形的面积是：[来源:Zxxk.Com]
a×b=ab，
三角形1的面积是：
×a×b，
=ab，
三角形2的面积是：
×a×b，
=ab，
三角形3的面积是：
×a×b，
=ab，
空白部分的面积是：
ab+ab+ab，
=ab，
阴影部分的面积是：
ab﹣ab，
=ab，
阴影部分的面积是长方形面积的：
ab÷ab，
=0.375，
=37.5%，
所以阴影部分的面积是长方形面积的37.5%．
故答案为：37.5%．
点评： 此题主要是先算出3个空白三角形的面积，用长方形的面积减空白部分的面积得阴影部分的面积，再与长方形的面积比．
25．（2012•台州）如图，A是一个圆，B是由三个半圆围成的图形，那么它们周长的大小关系是CA ＜ CB．
考点： 长度比较．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 根据图形，设小正方形的边长为1，则图A的直径是2，图B中大半圆的直径是4，两个小半圆的直径是2，根据圆的周长公式：C=πd，分别求出图A、图B的周长，然后进行比较即可．
解答： 解：A的周长是：2π；
B的周长是：2π+4π÷2=4π；
2π＜4π，
所以A的周长小于B的周长；
故答案为：＜．
点评： 此题主要考查圆的周长公式的灵活运用．
26．（2012•陕西）如图的体积是 133立方厘米 ．（单位：厘米）
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 观察图形可知，图形的体积=大正方体的体积+小正方体的体积；由此利用正方体的体积公式即可解答．
解答： 解：5×5×5+2×2×2
=125+8
=133（立方厘米）
答：如图的体积是133立方厘米．
故答案为：133立方厘米．
点评： 抓住图形形状的特点，得出图形的体积组成部分是解决本题的关键．
27．（2012•成都）如图，E是平行四边形ABCD边CD的中点，AC和BE相交于F，如果△EFC的面积是1平方厘米，则平行四边形ABCD的面积是 12 平方厘米．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
分析： 要求平行四边形的面积，如图，根据三角形和平行四边形的面积公式可得：只要求出△ABC的面积即可（△ABC=△BFA+△BFC）；
利用△EFC的面积是1平方厘米，根据相似三角形的性质可以求得△BFA和△BFC的面积，分析如下：
根据相似三角形的定义可知，在平行四边形内，△EFC和△BFA相似：
（1）因为E是CD的中点，所以相似比是1：2，根据相似三角形的性质可得：面积的比是：1：4，由此即可求得△BFA的面积为：4×1=4平方厘米；
（2）因为EF：BF=1：2，（相似三角形的对应边成比例），根据高相等时，三角形的面积与底成正比的关系可得：△EFC与△BFC的面积比是1：2，由此即可得出△BFC的面积：2×1=2平方厘米；
综上所述，即可求得△ABC的面积，从而求出平行四边形的面积．
解答： 解：根据题干分析可得：△EFC和△BFA相似，相似比是1：2，
（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以它们的面积比是1：4，
所以△BFA的面积为：4×1=4（平方厘米），
（2）又因为EF：BF=1：2，
所以△BFC的面积为：2×1=2（平方厘米），
（3）故△ABC的面积为：4+2=6（平方厘米），
6×2=12（平方厘米），
答：平行四边形ABCD的面积是12平方厘米．
故答案为：12．
点评： 此题考查了利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及高一定时，三角形的面积与底成正比的关系这两条性质，进行图形的面积计算的方法．
28．（2011•阆中市校级自主招生）如图所示，把底面直径8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是 502.4 立方厘米．
考点： 等积变形（位移、割补）．
专题： 压轴题．
分析： 将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；但拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了80平方厘米，就可求出圆柱的高是多少厘米，进而再求出圆柱的体积，即长方体的体积．
解答： 解：底面半径：8÷2=4（厘米）；
圆柱的高：80÷2÷4=10（厘米）；
圆柱体积（长方体体积）：3.14×42×10=502.4（立方厘米）；
答：长方体的体积是502.4立方厘米．
故答案为：502.4．
点评： 圆柱体切拼成近似的长方体要明确：高没变，体积没变；但长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积．
29．（2011•成都）如右图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是 平方厘米．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 过G作GP∥CD交BE于P，即可证明△FGP≌△FDE，把阴影部分的面积转化为S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG的面积，再进行解答．
解答： 解：如图，过G作GP∥CD交BE于P，
S△BCE=S△BCD=S矩形ABCD=2×=（平方厘米）
∠FDE=∠FGP，∠FED=∠FPG，
∵F是DG中点，
∴DF=FG，
∴△FGP≌△FDE，
∴GP=DE，
∵CE=2DE，
∴CE=2PG，
∴PG是△BCE的中位线，PF=EF=BP
∴S△BPG=S△BCE=（平方厘米）
S△PFG=S△BPG=（平方厘米）
∴S阴影=S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG=（平方厘米）
故答案为：．
点评： 解答本题的关键是根据题意做出合适的辅助线线．把阴影部分的面积转化为S△BCE﹣S△BPG﹣S△PFG的面积．运用转化的思想解答求阴影部分的面积的知识．
30．（2010•成都）如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为 72 ．
考点： 规则立体图形的表面积．
分析： 由题意知，正方体中的洞由于正中心是相通的，且底面积是1的正方形，所以可看成是6个棱长为1的小正方体的洞；要求整个的表面积，可用6个小正方体洞的侧面积加上大正方体的表面积再剪去6个小洞口的面积即可．
解答： 解：3×3×6+1×4×6﹣1×6，
=54+24﹣6，
=72；
答：所得物体的表面积为72．
故答案为：72．
点评： 此题是考查规则立体图形的表面积，要注意里面小洞的面积是包括几个面的面积．
31．连接立方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）．已知立方体的边长为12cm，请问正八面体之体积是多少 288 cm3？
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 压轴题；立体图形的认识与计算．
分析： 把这个正八面体分成两部分来计算：每一部分正好是一个四棱锥，四棱锥的体积=×底面积×高；根据题干分析可得，四棱锥的高是正方体的棱长的一半，是12÷2=6厘米；四棱锥的底面积是：以12厘米为边长的正方形的四个边上的中点为顶点的正方形的面积，是边长为12厘米的正方形的面积的一半，是：12×12÷2=72平方厘米，由此即可求出这个四棱锥的体积，再乘2就是正八面体的体积．
解答： 解：×（12×12÷2）×（12÷2）×2，
=×72×6×2，
=288（立方厘米），
答：这个正八面体的体积是288立方厘米．
点评： 此题主要考查四棱锥的体积公式的灵活应用和学生的空间思维和观察图形的能力．
32．把19个棱长为1cm的正方体按如图摆放，求这个几何体的表面积是 54cm2 ．
考点： 不规则立体图形的表面积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 求这个几何体的表面积，就要数出这个图形中小正方体漏在外面的个数，从前、后、左、右、上、下等方向上来查数，然后用一个面的面积乘面的个数即可．
解答： 解：（1）从前、后、左、右、上、下方向，看到的面的个数分别为：10、10、8、8、9、9．
表面积是：1×1×（10+10+8+8+9+9）
=1×54
=54（cm2）．
答：这个几何体的表面积是54cm2．
故答案为：54cm2．
点评： 注意分析图形，掌握表面积计算公式，是解答此题的关键．
三、解答题（共20小题）
33．（2014•长沙）如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积9平方厘米，求阴影部分的总面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 阴影部分的面积总面积=长方形ABCD的面积﹣△BFD和△CAF的面积和+四边形OEFG的面积，△BFD和△CAF的高都是AB的长，底边BF+FC=BC，据此得解．
解答： 解：15×8﹣×15×8+9
=120﹣60+9
=69（平方厘米）
答：阴影部分的总面积是69平方厘米．
点评： 解决此题的关键是利用三角形的公式和乘法分配律得到等式：BF×AB+FC×AB=BC×AB；还要注意四边形OEFG的面积是△BFD和△CAF的面积和重叠的部分．
34．（2014•长沙）平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？
考点： 组合图形的计数．
专题： 操作、归纳计数问题．
分析： 这些直线交点最少时，100条直线互相平行；这些直线交点最多时，100条直线两两相交．依此即可求解．
解答： 解：100条直线互相平行时没有交点，
所以这些直线最少有0个交点；
n条直线最多有n（n﹣1）个交点，
所以100条直线最多有×100×（100﹣1）=4950个交点，
答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．
点评： 考查了组合图形的计数，注意平行和相交的特征，应理解和应用．
35．（2014•长沙）如图，三角形ABC面积为27平方厘米，AE=CE，BF=BC，求三角形BEF的面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： AE=CE，则AE=AC，以AE、AC为底时，△ABE与△ABC的高相等，根据三角形的面积公式：s=×底×高，所以S△ABE=S△ABC，进而运用减法求出△BCE的面积；因为BF=BC，则S△BEF=S△BCE．
解答： 解：因为AE=CE，则AE=AC，
所以S△ABE=S△ABC=×27=（平方厘米）；
△BCE的面积：27﹣=（平方厘米）；
因为BF=BC，
所以S△BEF=S△BCE=×==6（平方厘米）．
答：△BEF的面积是6（平方厘米）．
点评： 本题主要运用三角形的面积与底成正比的性质，当高相同或相等时，三角形的面积之比等于三角形底之比．
36．（2014•长沙）如图，直角梯形ADCB中，三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大．已知BC=16、AD=20、AB=12，求三角形AEF的面积．
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高÷2求出梯形的面积；因为三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积一样大，梯形的面积除以3即可求出各部分的面积；根据三角形的面积公式：S=底×高÷2，分别求出AF、AE的长度，即可求出三角形AEF的面积．
解答： 解：梯形的面积是：
（16+20）×12÷2
=36×12÷2
=36×12×
=216
因为△BEC、四边形CEAF和△CFD的面积一样大，所以△BEC、四边形CEAF和△CFD的面积为：
216÷3=72
则BE=72×2÷16=9，AE=12﹣9=3；
DF=72×2÷12=12，AF=20﹣12=8；
△AEF的面积为：
3×8÷2=12
答：△AEF的面积是12．
点评： 解答本题的关键是求出三角形BEC、四边形CEAF和三角形CFD的面积；考查学生熟练运用面积公式的能力．
37．（2014•邵阳）一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这时铅笔的体积是多少立方厘米？[来源:学#科#网]
考点： 规则立体图形的体积．
专题： 几何形体的分、合、移、补的问题．
分析： 根据圆柱的体积公式可得，这个铅笔的底面积是9÷18=0.5平方厘米，即得出图中剩下的铅笔的底面积是0.5平方厘米，据此再利用圆柱与圆锥的体积公式求出剩下的体积即可．
解答： 解：9÷18=0.5（平方厘米）
0.5×8+0.5×3×
=4+0.5
=4.5（立方厘米）
答：此时铅笔的体积是4.5立方厘米．
点评： 此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，剩下的铅笔的体积等于图中圆柱与圆锥的体积之和．
38．（2014•成都）如图：长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=15厘米，E、F分别是所在边的中点．求阴影部分的面积．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 如图所示，假设BD交AE与H点，AF交DB与G点，因为BF与AD平行，并且等于AD的，所以BG：GD=BE：AD=1：2，则BG：BD=1：3，同样的方法可以得出：DH：BD=1：3，所以BG=DH=BD，所以BG=GH=HD，所以△ABG与△AGH的面积相等，△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGE的面积，△AGH的面积+△BGE的面积=△ABE的面积，利用三角形的面积公式即可求解；又因△DFH的DF边上的高=BC，从而可以求其面积，据此即可求解．
解答： 解：假设BD交AF与G点，AE交DB与H点，因为BF与AD平行，并且等于AD的，
所以BG：GD=BF：AD=1：2，则BG：BD=1：3，
同样的方法可以得出：DH：BD=1：3，
所以BG=DH=BD，所以BG=GH=HD，
所以△ABG与△AGH的面积相等，
△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGF的面积，
△AGH的面积+△BGF的面积=△ABF的面积=×10×=（平方厘米）；
又因△DEH的DE边上的高=×15=5（厘米），
所以△DEH面积=××5=（平方厘米）；
即阴影部分面积=+=50（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是50平方厘米．
点评： 解答此题的主要依据是：相似三角形的面积比等于对应边的比．
39．（2013•长沙）爸爸给女儿买了一个圆柱形的大生日蛋糕，女儿把蛋糕竖直方向切成22块分给22个小朋友，切成的大小不一定相等．那么至少需切的刀数为？
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 由题意可知，由于至少多少刀，隐含着切得每刀切面必须两两相交．假设切n刀，则切得的块数是n（n+1），依此可得不等式n（n+1）≥22，解不等式即可求解．
解答： 解：设切的刀数为n，依题意有
n（n+1）≥22
n（n+1）≥44
因为n为正整数，6×7=42，7×8=56，
所以n≥7．
答：至少需切的刀数为7．
点评： 本题考查切割的知识，有一定的难度，关键是理清如何切法，找出关系式．
40．（2013•长沙）A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求
（1）2分钟容器A中的水有多高？
（2）3分钟时容器A中的水有多高．
考点： 等积变形（位移、割补）；圆柱的侧面积、表面积和体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要1+4=5（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3﹣2.5=0.5（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度．
解答： 解：（1）A容器的容积是：3.14×12=3.14×1=3.14（立方厘米），
B容器的容积是：3.14×22=3.14×4=12.56（立方厘米），
12.56÷3.14=4，
即B容器的容积是A容器容积的4倍，
因为一水龙头单独向A注水，一分钟可注满，
所以要注满B容器需要4分钟，
因此注满A、B两个容器需要1+4=5（分钟），
已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，
2分钟后A中的水位是容器高的一半，即12÷2=6（厘米）；
（2）因为注满A、B两个容器需要1+4=5（分钟），
所以5÷2=2.5（分钟）时，A、B容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米，
2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的，
3分钟后，实际上3﹣2.5=0.5（分钟）水位是同时上升的，
0.5÷5=，
12×=1.2（厘米），
6+1.2=7.2（厘米）；
答：2分钟时，容器A中的高度是6厘米，3分钟时，容器A中水的高度是7.2厘米．
点评： 此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度．
41．（2013•二七区）请将下面等边三角形按要求分割成若干个形状和大小都一样的三角形
（1）分成2个 （2）分成3个 （3）分成4个 （4）分成6个
考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： （1）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，就分成了2个一样的三角形；
（2）在三角形ABC中，找出BC边的中点，连结AD，再找出AD的中点O，连结OA、OB、OC，则三角形AOB、AOC、BOC即为所求；
（3）找出三角形ABC各边中点F、G、E，连结FE、FG、GE即可；
（4）找出三角形ABC各边中点F、D、E，连结AD、BF、CE即可．
解答： 解：如图所示：
点评： 此题解答的关键在于找出三角形ABC边的中点，进而解决问题．
42．（2012•射洪县）把若干个边长2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是 224 平方厘米．
考点： 不规则立体图形的表面积．
专题： 压轴题；立体图形的认识与计算．
分析： 要求这个立方体的表面积是多少平方厘米，只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成，通过观察，可以得出，立体图形的上面有3×3=9个小正方形，下面也有9个小正方形；左面和右面各有9个小正方形；前面和后面各有10个小正方形，这样得出这个立方体的表面是由56个小正方形组成；小正方形的面积可根据“正方形的面积=边长×边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即可；
解答： 解：（9×4+10×2）×（2×2），
=56×4，
=224（平方厘米）；
答：这个立方体的表面积是224平方厘米．
故答案为：224．
点评： 此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用小正方形的面积乘个数即可得出结论．
43．（2012•渠县）有一棱长为5cm的正方体机器零件，现在它的上下面挖去了一个直径为2cm的圆孔，求剩下机器零件的表面积和体积？
考点： 规则立体图形的表面积；规则立体图形的体积．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： （1）运用正方体体积减去圆柱体的体积，就是剩下机器零件的体积．
（2）运用正方体的表面积减去两个圆的面积在加上圆柱的侧面积，就是剩下机器零件的表面积．
解答： 解：（1）剩下机器零件的体积：
5×5×5﹣3.14×（2÷2）2×5，
=125﹣15.7，
=109.3（立方厘米）；
答：剩下机器零件的体积是109.3立方厘米．
（2）剩下机器零件的表面积：
5×5×6﹣3.14×（2÷2）2×2+3.14×2×5，
=150﹣6.28+31.4，
=175.12（平方厘米）；
答：剩下机器零件的表面积175.12平方厘米．
点评： 本题考查了正方体圆柱体的体积公式及它们的表面积及侧面积公式．考查了学生的空间想象及思维能力．
44．（2012•湖北）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少．
考点： 燕尾定理．
专题： 几何的计算与计数专题．
分析： 由蝴蝶定理得，S2=S4，再由共高定理得S1×S3=S2×S4，求得 S2=10，据此即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：由蝴蝶定理得，S2=S4，
再由共高定理得S1×S3=S2×S4，
5×20=S2×S4，
S2×S4=100，
所以S2=S4=10，
则梯形的面积总和：5+10+10+20=45，
答：梯形的面积是45．
点评： 此题主要考查利用蝴蝶定理和共高定理解决实际问题的灵活应用．
45．（2012•广州校级自主招生）如图中，三角形的个数有多少？
考点： 组合图形的计数．
分析： 首先数出单一的小三角形是16个，再分类数出由4个小三角形组成的稍大的三角形，顶点朝上的是3个；顶点朝下的是3个；然后合并起来即可．
解答： 解：根据图形特点把图中三角形分类，即一个面积的三角形是16个；还有一类是4个面积的三角形，顶点朝上的有3个，顶点朝下的也有3个；
故图中共有三角形个数为：16+3+3=22（个）．
答：图中一共有22个三角形．
点评： 此题主要考查，按照一定的顺序去观察思考问题，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
46．（2012•恩施州）水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
考点： 体积的等积变形．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 根据圆柱的体积公式v=sh，求出B容器的容积是：3.14×（16÷2）2×10=2009.6（立方厘米），
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2=78.5（平方厘米），5秒钟后B中的水流到A容器了，用流到A容器中水的体积除以A容器的底面积，即为容器A中水的高度，据此解答即可．
解答： 解：B容器的容积是：：3.14×（16÷2）2×10=2009.6（立方厘米）；
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2=78.5（平方厘米）；
流到A容器的体积是：2009.6×=200.96（立方厘米）；
容器A中水的高度是：200.96÷78.5=2.56（厘米）；
答：容器A中水的高度是2.56厘米．
点评： 此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到A容器中水的体积．
47．（2012•北京）如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，，若S△ADM=1求：梯形的面积．
考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．
分析： 根据题意知道△AMD与△BMC相似，由此得出△BMC的面积，再根据，知道△ADM与△ADB高的比是1：4，进而求出△ABD的面积，用△ADB的面积乘2再减去△ADM的面积，再计算△BMC的面积就是梯形的面积．
解答： 解：因为，，所以△AMD与△BMC相似，
所以S△ADM：S△BDM=1：9，
所以S△BDM=S△ADM×9=1×9=9，
又因为△ADM与△ADB同底，
高的比是1：4，
所以S△ADM：S△ADB=1：4，
所以S△ADB=S△ADM×4=1×4=4，
所以梯形的面积为：4×2﹣1+9=16，
答：梯形的面积是16．
点评： 此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及底一定时，三角形的面积与高成正比的关系的灵活应用．
48．（2011•长沙）把自然数依次排成以下数阵：
1，2，4，7，11，…
3，5，8，12，…
6，9，13，…
10，14，…
15，…
…
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？
（2）第5行第10列排的是哪一个数？
（3）2004排在第几行第几列？
考点： 数阵图中找规律的问题．
专题： 数阵图中找规律的问题．
分析： 通过观察，这个数阵有如下规律：
①将从1开始的自然数按右下斜行排列，例如第一斜行是1，第二斜行是2、3，…；
②同行相邻两数的差每次+1，同列相邻两数的差也是每次+1；
③相邻两行（列），从左到右同列（行）两数的差每次+1．
（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，然后再根据规律②，求出第10行第5列排的是多少即可；
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，然后再根据规律②，求出第5行第10列排的是多少即可；
（3）首先判断出2004在哪个斜行，前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，当n=62时，62×63÷2=1953；当n=63时，63×64÷2=2016，所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，因为2004﹣1954=50，所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）．
解答： 解：（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，
根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，
根据规律②，可得求出第10行第5列排的是：
11+（6+7+8+9+10+11+12+13+14）=11+（6+14）×9÷2=101；
答：第10行第5列排的是101．
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，
根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，
根据规律②，可得求出第5行第10列排的是：
15+（5+6+7+8+9+10+11+12+13）=15+（5+13）×9÷2=96；
答：第5行第10列排的是96．
（3）因为前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，
当n=62时，62×63÷2=1953；
当n=63时，63×64÷2=2016，
所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，
因为2004﹣1954=50，
所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）．
答：2004排在第51行第13列．
点评： 此题主要考查了数阵图中找规律问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是判断出数列的排列规律，并能正确应用．
49．（2010•吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？
考点： 体积的等积变形．
专题： 压轴题．
分析： 因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同．将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高为8+2=10厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的，由此算出瓶内酸奶的体积．
解答： 解：8+2=10（厘米），
32.4×=25.92（立方厘米），
答：瓶内酸奶体积是25.92立方厘米．
点评： 解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高8+2=10厘米的圆柱的体积，进而求出答案．
50．（2008•建阳市）一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？
考点： 等积变形（位移、割补）；长方体和正方体的体积；圆锥的体积．
专题： 压轴题．
分析： 由题意知，“沙”由圆锥体变为长方体，形状变了但体积没变，即V圆锥=V长方体，由此可利用它们的体积公式求装多高．
解答： 解：3.6×1.2×÷（2×1.5），
=1.44÷3，
=0.48（米）；
答：可以装0.48米高．
点评： 此题考查了圆锥体积的求法和长方体底面积的求法，求圆锥体积时不要忘了乘．
51．（2006•北京校级自主招生）在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少 28 ．
考点： 规则立体图形的表面积．
分析： 根据题干，切去这个三棱柱后表面积减少部分是指长为8宽为4和长为8宽为3的2个长方形面积与直角边分别为3、4的两个直角三角形的面积；同时还增加了一个长为8，宽为直角三角形斜边的一个长方形的面积，由此根据勾股定理求得这个斜边，即可求得减少的表面积是多少．
解答： 解：在直角三角形中，直角边分别是3、4，根据勾股定理可得：32+42=25=52，
所以斜边为：5，
所以表面积减少了：8×4+8×3+3×4÷2×2﹣8×5
=32+24+12﹣40
=28，
答：表面积减少了28．
故答案为：28．
点评： 抓住立体图形的切拼特点，找出减少的面积和增加部分的面积，是解决此类问题的关键，这里还考查了勾股定理的灵活应用．
52．（2005•邳州市）探索
（1）完成表格中未填部分．
（2）根据表中规律，八边形的内角和是 1080 度．
（3）假设图形的边数为a，内角和为s，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与内角和的关系．S= （a﹣2）•180° ．
图形
边数 3 4 5
内角和 180 180×2 180×3
考点： 多边形的内角和．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据图形填写即可；
（2）根据过同一顶点作出的对角线把八边形分成6个三角形，再利用三角形的内角和等于180°即可推出八边形的内角和；
（3）根据过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式．
解答： 解：（1）填写表格如下：
图形
边数 3 4 5 6 7
内角和 180 180×2 180×3 180×4 180×5
（2）180×6=1080（度）．
故八边形的内角和是1080度；
（3）过a边形某一顶点可画（a﹣3）条对角线，把n边形分为（a﹣2）个三角形，
这（a﹣2）个三角形的内角和之和就等于a边形的内角和，
即（a﹣2）•180°．
故答案为：1080；（a﹣2）•180°．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点．
三角形面积与底的正比关系
53．（2014•长沙）如图，梯形ABCD中共有（ ）对面积相等的三角形
A． %22 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 三角形面积与底的正比关系．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 根据三角形的面积公式：S=×底×高，则等底同高的三角形面积相等；根据图形的特点解答即可．
解答： 解：△ABD与△ACD，等底同高，所以S△ABD=S△ACD；
△ABC与△DBC，等底同高，所以S△ABC=S△DBC；
因为S△ABO=S△ABC﹣S△BOC，S△DOC=S△DBC﹣S△BOC，等量代换得：S△ABO=S△DOC；
即梯形ABCD中共有3对面积相等的三角形．
故选：B．
点评： 本题主要运用三角形的面积与底成正比的性质；等底同高的三角形面积相等．
三视图与展开图
54．（2013•邹平县）用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到，从右面看到（ ）
A． B． C． D．
考点： 三视图与展开图．
专题： 压轴题．
分析： 根据从正面看到，从上面看到，可知该物体有前后两排，都只有一层高，依此即可得到从右面看到的图形．
解答： 解：由主视图和俯视图可知该物体有前后两排，有一层高，
则从右面看到．
故选：A．
点评： 考查了三视图与展开图，得到该物体的排数和每排的层高是解题的关键．
长度比较
55．（2013•安图县）在图形中甲的周长（ ）乙的周长．
A． 大于 B． 小于 C． 等于
考点： 长度比较．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 观察图形可知，图形甲的周长，等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，图形乙的周长也等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，所以这两个图形的周长相等，据此即可选择．
解答： 解：根据题干分析可得图形甲与图形乙的周长都等于长方形的周长的一半与中间曲线的和，
所以它们的周长相等．
故选：C．
点评： 解答此题的关键是明确两个图形的周长是由哪部分组成的．
56．（2012•无棣县）下面三个图形中，哪两个图形的周长相等？（ ）
A． 图形①和② B． 图形②和③ C． 图形①和③
考点： 长度比较．
专题： 压轴题．
分析： 为便于计算，设每个方格的边长为1，先来看图①，阴影部分的周长为：1×12=12，图②阴影部分的周长为：1×14=14，图③阴影部分的周长为：1×4=14，由此即可得出答案．
解答： 解：设每个方格的边长为1，
①的周长为：1×12=12，
②的周长为：1×14=14，
③的周长为：1×4=14，
因此②和③的周长相等；
故选：B．
点评： 此题考查了学生观察图形、分析图形的能力，一定要结合图形来解答．
不规则立体图形的表面积
57．（2012•瑶海区）如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）
A． 比原来大 B． 比原来小 C． 不变
考点： 不规则立体图形的表面积；图形的拆拼（切拼）．
专题： 压轴题．
分析： 要想知道这个立体图形的表面积发生了什么变化，只要把去掉的面积和增加的面积进行比较，看增加还是减少即可．
解答： 解：据题意和图可知，挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积去掉了2个面，也就是减少了2平方厘米；
但是它的表面同时增加了4个面，也就是增加了4平方厘米；
所以它的表面积增加了2平方厘米．
故选：A．
点评： 把减少的面积和增加的面积进行比较，然后判定它的面积发生了什么变化．
图形的拆拼（切拼）
58．（2012•南昌）在一块边长为4厘米的正方形的铁皮上，剪出直径为2厘米的小圆片，最多可剪（ ）片．
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 剪出直径为2厘米的小圆片，可以看作剪边长为2厘米的正方形，最多可剪：（4÷2）×（4÷2），解出答案即可．
解答： 解：（4÷2）×（4÷2），
=2×2，
=4（个）；
答：最多可剪4片．
故选：B．
点评： 本题关键是根据正方形内的最大圆的直径等于正方形的边长这个原理，把剪圆形转化为剪小正方形．
59．（2012•龙山县）用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，有几种分法（ ）
A． 1种 B． 2种 C． 3种 D． 4种
考点： 图形的拆拼（切拼）．
分析： 根据题意可知，用一条直线将一个正方形分成两个完全一样的两部分，说明这两部分关于这条直线对称，据此解答．
解答： 解：正方形的对称轴有四条，沿着对称轴就可把正方形分成两个完全一样的两部分，共有4种分法；
作图如下：；
故选：D．
点评： 解答此题不要一味的去找这条直线，要利用逆向思维，先判断两个完全一样的两部分有什么特性，问题就迎刃而解．
数阵图中找规律的问题
60．（2012•南昌）淘气用小棒搭房子，他搭3间用了13根小棒，像这样搭15间房子要用（ ）根小棒．
A． 60 B． 61 C． 65 D． 75
考点： 数阵图中找规律的问题．
专题： 压轴题．
分析： 搭一间房用5根小棒，2间房用9根小棒，3间房用13根小棒，以后每增加一间房就多用4根小棒，由此解决问题．
解答： 解：第15间房除了第一间用5根小棒，其它都是4根小棒，则：
（15﹣1）×4+5=61（根）
故答案选：B．
点评： 先找到用小棒数的规律，再根据规律求解．
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