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小升初数学攻克难点真题解析-典型应用题全国通用
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这是一份小升初数学攻克难点真题解析-典型应用题全国通用，共35页。试卷主要包含了年龄问题，鸡兔同笼，平均数问题，植树问题，和倍问题，盈亏问题，逆推问题，牛吃草问题等内容，欢迎下载使用。
典型应用题
难点一、年龄问题
1．（2015•长沙）上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁．”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，”他们两人中，年龄较小的现在（ ）岁．
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
2．（2014•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得88岁，10年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 49 B． 48 C． 47 D． 46
3．（2013•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁，12年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 44 B． 46 C． 48 D． 50
4．（2013•长沙）鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔子有（ ）只．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
5．（2014•东莞）今年是2014年，小红13岁，爸爸45岁，到 年小红的年龄是爸爸的．
6．（2014•长沙县）如果5个人平均年龄是25岁，其中最小的是18岁，且5人年龄都不相同．那么年龄最大的最多是几岁？
7．（2014•长沙）如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？
难点二、鸡兔同笼
8．（2014•永宁县）鸡兔共有20个头，70只腿．鸡有 只，兔有 只．
9．（2014•济南）一次数学竞赛有10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣2分，小明得了76分，小明做对了 题．
10．（2014•长沙）一个年轻人今年（2013年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 岁．
11．（2013•长沙）小兔子采蘑菇，晴天每天能采36只，雨天每天只能采24只，它一连几天共采了288只蘑菇，平均每天采32只，这些天中有（ ）天是晴天．
A． 2 B． 6 C． 4 D． 5
12．（2013•东莞）鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是（ ）
A． 3：1 B． 3：8 C． 2：1 D． 8：3
13．（2012•成都）一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一连几天运了112次，平均每天运了14次，这几天中 天有雨．
14．（2012•宝安区）鸡兔同笼，有12个头，40只脚，算一算，笼子里有几只鸡，几只兔？
难点三、平均数问题
15．（2014•济南）朝阳小学五年级有两个班，一班有51人，二班有49人，期中考试两个班全体同学的平均成绩是81分，已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高7分，那么二班的平均成绩是多少分？
16．（2014•广州）某次比赛中，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后的四人调入二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了4分．求原来一等奖比二等奖平均分多几分？
17．（2013•长沙）某次数学竞赛的女生与男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）分．
A． 82 B． 86 C． 87 D． 88
18．有若干个从1开始的自然数：1，2，3，4，…现去掉其中一个后剩下的自然数的平均数为，则去掉的自然数是（ ）
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
19．（2014•长沙）甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，7.5元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买 千克这种混合糖果．
20．（2014•济南）老师在黑板上写了从11开始的若干个连续自然数，后来擦掉了其中一个数，剩下的数的平均数是，那么擦掉的那个自然数是 ．
21．（2013•陕西）某班在一次数学测验中，全班同学的平均成绩是82分，男生平均成绩是80分，女生平均成绩是88分，这个班男、女生人数之比为（ ）
A． 3：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 3：1
难点四、植树问题
22．（2014•广州）时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，（ ）秒钟敲完．
A． 10 B． 12 C． 14 D． 18
23．（2013•郑州）将一个底面为正方形的长方体若锯成4个小长方体需要9分钟，那么若锯成7段，需要（ ）分钟．
A． 21 B． 18 C． 15.75 D． 20
24．（2013•陕西）一只大钟敲三下要用3秒，这只大钟敲七下要用（ ）秒．
A． 7 B． 9 C． 10 D． 14
25．（2013•广州模拟）小明要到一栋楼的第15层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要（ ）秒．
A． 200 B． 250 C． 300 D． 350
26．（2013•广州）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆．她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走．当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟．那么小兰是走到第（ ）根电线杆是开始往回走的．
A． 30 B． 31 C． 32 D． 33
E． 34
27．（2014•萝岗区）小红家住在9楼，她每上一层楼要30秒，她从一楼到家要走 秒，也就是 分．
28．（2013•吉州区校级模拟）某人到十层大楼的第七层办事，不巧停电，电梯停开．如果从一层走到四层要48秒，那么以同样的速度往上走到七层，还需要 秒才能到达．
29．（2014•萝岗区）同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）．一共需要多少棵树苗？
30．（2014•萝岗区）车站楼顶上的大钟6时敲6下，10秒敲完．10时敲响了10下，需要多长时间？
难点五、和倍问题
31．（2013•广州）甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数是（ ）
A． 288 B． 576 C． 1149 D． 1152
E． 1155
32．（2014•长沙）甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是 ．
33．（2014•济南）甲、乙、丙、丁四个数的和是175，甲加上4，乙减去4，丙乘上4，丁除以4后，四个数就相等了，则甲= ，乙= ，丙= ，丁= ．
34．（2014秋•云县期末）学校数学小组和语文小组共有学生60人，数学小组的人数是语文小组的1.5倍，两个小组各有多少人？
35．（2014•萝岗区）在地震灾害捐款中，参加捐款的成人人数是儿童的3倍，如果在华诚超市一共有652人参加捐款，儿童有多少人？
难点六、盈亏问题
36．（2013•广州）幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（ ）颗．
A． 85 B． 84 C． 83 D． 82
E． 81
37．（2012•广州）四年级一些同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐7人，如果每条船坐9人，则有3条空船．共有（ ）名同学去划船．
A． 118 B． 122 C． 126 D． 130
E． 134
38．（2011•福州）有一批正方形砖，如拼成一个长与宽之比为5：4的大长方形，则余38块，如改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则少53块，那么，这批砖共有（ ）块．
A． 1838 B． 2038 C． 1853 D． 2053
39．（2014•长沙）有若干个苹果和梨子，如果5个苹果和3个梨子做成一袋的话，还余4个苹果；梨恰好装完，如果7个苹果和3个梨子装成一袋的话，则还余12个梨子，苹果恰好装完，请问苹果和梨子各多少个？
40．（2014•济南）把一袋糖分给小朋友，如果每人分10颗，正好分完，如果每人分16颗，就有3个分不到糖，这袋糖有多少颗？
难点七、逆推问题
41．（2012•黄冈）池塘里某种水草生长极快，当天的水草数量是它前一天的2倍，又知10天长满池塘，（ ）天长了池塘的？
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
42．（2012•广州）抽屉里有若干个玻璃杯，小军每次拿出其中的一半再放回一个，这样一共拿了2012次，抽屉里还有2个玻璃球．原来抽屉里有（ ）个玻璃球．
A． 2 B． 12 C． 22 D． 32
E． 42
难点八、牛吃草问题
43．（2014•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所用的草，问增加了 头牛．
44．（2011•长沙）一片草地以均匀速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃 天．
45．（2014•长沙）两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？
46．（2014•济南）有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光．问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？
难点九、差倍问题
47．（2014•楚州区）甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是 ．
48．（2012•长沙）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是 ．
49．（2014•岳麓区）两辆汽车分别从AB两地同时出发，在距中点40千米处相遇，甲行全程需10小时，乙行全程需15小时．求AB两地距离．（用多种方法解答）
50．（2013•鹤山市）学校合唱队学生人数是乒乓球队的3倍，如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等．原来两个队各有学生多少人？（列方程解）
难点十、方阵问题
51．（2013•二七区）有一堆棋子，排列成n×n的正方形方阵，多余出3只棋子；如果在这个正方形方阵横纵两个方向各增加一行，则缺少8只棋子．则这堆棋子有 只．
52．（2012•仪征市）小华坐在班上的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4）这个班共 人．
难点十一、和差问题
53．（2012•北京自主招生）今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 千克，四种菜共 千克．
54．（2011•越秀区）一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋 元．
55．（2011•汉阳区）街道一则的大厦从1开始按顺序编号，直到街尾，然后从对面街上的大厦开始往回继续编号，到编号为1的大厦对面结束，每栋大厦都与对面的大厦恰好相对，若编号为134的大厦在编号为295的大厦对面，那么比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是 ．
56．（2013•黎平县）有两瓶饮料，第一瓶有460克，第二瓶有350克，要使两瓶饮料同样多，应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料？
57．（2012•上海）小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？
58．（2012•广州校级自主招生）某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
难点十二、归一归总问题
59．（2011•越秀区）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排 人淘水．
60．（2012•文昌）
照这样计算，1000吨铁矿石可以炼铁多少吨？
2015年小升初数学难点突破真题精析：典型应用题
参考答案与试题解析
难点一、年龄问题
1．（2015•长沙）上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁．”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，”他们两人中，年龄较小的现在（ ）岁．
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 根据两人的年龄差一定，可知现在年龄小的年龄是比年龄差大4岁，年龄大的比两个年龄差大4岁，当年龄小的年龄是年龄大现在的年龄时，年龄大的将61岁，就是再过一个年龄差，是61岁，即61﹣4=57岁是3个年龄差，据此可求出年龄差，再加4就是年龄较小的人现在多少岁．据此解答．[来源:学&科&网]
解答： 解：（61﹣4）÷3+4
=57÷3+4
=19+4
=23（岁）
答：年龄较小的现在23岁．
故选：C．
点评： 本题的关键是根据年龄差不变，求出61﹣4=57岁是3个年龄差，求出年龄差是多少，再进行解答，本题也可用方程进行解答．
2．（2014•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得88岁，10年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 49 B． 48 C． 47 D． 46
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 10年后两个儿子和父亲的年龄各增加10岁，则岁数之和为88+10×3=118，又因为父亲的年龄与儿子年龄和相等，所以118÷2=59是10年后父亲的年龄，那么10年前也就是现在年龄为59﹣10=49
解答： 解：（88+10×3）÷2
=（88+30）÷2
=118÷2
=59（岁）
59﹣10=49（岁）
答：父亲今年49岁．
故选：A．
点评： 本题的重点是求出10年后父亲的年龄，再求父亲今年的年龄．
3．（2013•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁，12年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 44 B． 46 C． 48 D． 50
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 12年后两个儿子和父亲的年龄各增加12岁，可看做是原来父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁再加12×3岁后，这时父亲的年龄正好是两个儿子年龄和，即84+12×3=120岁是父亲年龄的2倍，由此用除法可求得12年后父亲的年龄，再减去12就是父亲今年的年龄；据此解答．
解答： 解：（84+12×3）÷2
=120÷2
=60（岁）
60﹣12=48（岁）
答：父亲今年48岁．
故选：C．
点评： 本题的重点是让学生理解：84+12×3=120岁是父亲年龄的2倍．
4．（2013•长沙）鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔子有（ ）只．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设全是兔子，则有20×4=80只脚，这比已知多出了80﹣48=32只脚，因为1只兔子比1只鸡多了4﹣2=2只脚，所以鸡的只数有：32÷2=16只，进而求得兔子的只数．
解答： 解：假设全是兔子，则鸡有：
（20×4﹣48）÷（4﹣2），
=32÷2，
=16（只），
则兔子有：20﹣16=4（只），
答：兔子有4只．
故选：C．
点评： 此题也可以假设全是鸡，则兔子有（48﹣20×2）÷（4﹣2）=8÷2=4（只），则鸡有20﹣4=16（只）．
5．（2014•东莞）今年是2014年，小红13岁，爸爸45岁，到 2017 年小红的年龄是爸爸的．
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 根据题意，小红13岁，爸爸45岁，相差45﹣13=32岁，年龄差是个不变量，又小红的年龄是爸爸的，由差倍公式可以求出这时爸爸的年龄，然后再进一步解答．
解答： 解：45﹣13=32（岁）；
32÷（1﹣）=48（岁）；
48﹣45=3（年）；
2014+3=2017（年）．
答：到2017年小红的年龄是爸爸的．
故答案为：2017．
点评： 年龄问题中，年龄差是个不变量，根据题意，求出它们的年龄差，然后再进一步解答．
6．（2014•长沙县）如果5个人平均年龄是25岁，其中最小的是18岁，且5人年龄都不相同．那么年龄最大的最多是几岁？
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 因5人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使4个人的年龄尽可能的小，所以其余4个人的年龄应是18岁，19岁，20岁，21岁，再用他们的年龄和去减四人的年龄，就是年龄最大人的岁数，据此解答．
解答： 解：25×5﹣（18+19+20+21）
=125﹣78
=47（岁）
答：年龄最大的最多47岁．
点评： 本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答．
7．（2014•长沙）如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 因6人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使5个人的年龄尽可能的小，所以其余5个人的年龄应是20岁，21岁，22岁，23岁，24岁再用他们的年龄和减去5个的年龄就是年龄最大人的岁数，据此解答．
解答： 解：25×6﹣（20+21+22+23+24）
=25×6﹣110
=150﹣110
=40（岁）
答：年龄最大的人最大40岁．
点评： 本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答．
难点二、鸡兔同笼
8．（2014•永宁县）鸡兔共有20个头，70只腿．鸡有 5 只，兔有 15 只．
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此类问题可以利用假设法，假设全是鸡，那么就有20×2=40条腿，这比已知70条腿少了70﹣40=30条腿，1只兔比1只鸡多4﹣2=2条腿，由此即可得出兔有：30÷2=15只，则鸡有：20﹣15=5只，由此即可解答．
解答： 解：假设全是鸡，那么兔有：
（70﹣20×2）÷（4﹣2），
=30÷2，
=15（只），
则鸡有：20﹣15=5（只）；
答：鸡有5只，兔有15只．
故答案为：5，15．
点评： 此题考查了典型的鸡兔同笼问题，此类问题可以采用假设法进行解答．
9．（2014•济南）一次数学竞赛有10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣2分，小明得了76分，小明做对了 8 题．
考点： 鸡兔同笼．
分析： 根据题意，假设全做对得10×10=100（分），小明得了76分，少得100﹣76=24（分），一求出做错的道数，就可以求出作对的道数．
解答： 解：根据题意，假设小明全做对可得：10×10=100（分）；
现在小明得了76分，比总分少：100﹣76=24（分）；
因为每做错一道少得：10+2=12（分），所以小明做错的道数是：24÷12=2（道），那么他做对的道数是：10﹣2=8（道）．
答：小明做对了8题．
故答案为：8．
点评： 根据题意，由鸡兔同笼的方法进行解答即可．
10．
（2014•长沙）一个年轻人今年（2013年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 21 岁．
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 把出生年份的数字相加，即可求出今年的年龄，据此解答．
解答： 解：出生时应该是1992年，
1+9+9+2=21，
2013﹣1992=21（岁）
答：这位年轻人今年的岁数是21岁．
故答案为：21．
点评： 本题的重点是理解今年的岁数正好等于出生年份数字之和．
11．（2013•长沙）小兔子采蘑菇，晴天每天能采36只，雨天每天只能采24只，它一连几天共采了288只蘑菇，平均每天采32只，这些天中有（ ）天是晴天．
A． 2 B． 6 C． 4 D． 5
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用288÷32求出小兔子一共采蘑菇的天数，设有x天是下雨天，则晴天的天数为288÷32﹣x，再根据“晴天每天能采的只数×晴天的天数+雨天每天能采的只数×雨天的天数=288”，列出方程解决问题．
解答： 解：288÷32=9（天）
设这些天中有x天是下雨天，
24x+36×（9﹣x）=288
24x+324﹣36x=288
12x=324﹣288
12x=36
x=3；
9﹣3=6（天）
答：这些天中有6天是晴天．
故选：B．
点评： 解答此题的关键是，先求出一共采蘑菇的天数，再根据“晴天每天能采的只数×晴天的天数+雨天每天能采的只数×雨天的天数=288”，列出方程解决问题．[来源:Zxxk.Com]
12．（2013•东莞）鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是（ ）
A． 3：1 B． 3：8 C． 2：1 D． 8：3[来源:Z_xx_k.Com]
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设全是兔，则有15×4=60条腿，这比已知的40条腿多出了60﹣40=20条，因为1只兔比1只鸡多4﹣2=2条腿，所以鸡有：20÷2=10只，则兔有15﹣10=5只，再求比即可．
解答： 解：假设全是兔，则鸡有：
（15×4﹣40）÷（4﹣2），
=（60﹣40）÷2，
=20÷2，
=10（只），
兔有：15﹣10=5（只），
10：5=2：1，
故选：C．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔．如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．再求比值就容易了．
13．（2012•成都）一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一连几天运了112次，平均每天运了14次，这几天中 6 天有雨．
考点： 鸡兔同笼；列方程解含有两个未知数的应用题．
分析： 此题可以采用假设法解答：根据题干可知一共运了112÷14=8（天），假设全是晴天，所以一共运了20×8=160次，这就比已知的112次多出了160﹣112=48次，因为晴天比雨天1天多运20﹣12=8次，所以雨天有48÷8=6天．
解答： 解：根据题干可知一共运了112÷14=8（天），
假设全是晴天：
则雨天有：（20×8﹣112）÷（20﹣12），
=48÷8，
=6（天），
答：雨天有6天．
故答案为：6．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，可采用假设法进行解答，关键是根据“它一连几天运了112次，平均每天运了14次，”求出运的总天数是：8天．
14．（2012•宝安区）鸡兔同笼，有12个头，40只脚，算一算，笼子里有几只鸡，几只兔？
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设笼子里都是鸡，那么就有12×2=24只足，这样实际就多出40﹣24=16只足；因为一只兔比一只鸡多4﹣2=2只脚，也就是有16÷2=8只兔；进而求得鸡的只数．
解答： 解：兔有：
（40﹣12×2）÷（4﹣2），
=16÷2，
=8（只）；
鸡有：12﹣8=4（只）；
答：鸡有4只，兔有8只．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．
难点三、平均数问题
15．（2014•济南）朝阳小学五年级有两个班，一班有51人，二班有49人，期中考试两个班全体同学的平均成绩是81分，已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高7分，那么二班的平均成绩是多少分？
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 先用“51+49=100”求出两个班的总人数，进而根据“平均成绩×总人数=总成绩”求出两个班全体同学的总成绩，为：100×81=8100分，假设二班和一班的平均成绩一样高，那么两个班全体同学的总成绩为：8100﹣49×7=7757分；进而用“7757÷100”求出一班的平均成绩，进而得出二班的平均成绩．
解答： 解：一班：[（51+49）×81﹣49×7]÷（51+49）
=[8100﹣343]÷100
=77.57（分）
二班：77.57+7=84.57（分）
答：二班的平均成绩是84.57分．
点评： 求出假设二班和一班的平均成绩一样高时，两个班全体同学的总成绩，进而求出一班的平均成绩，是解答此题的关键所在．
16．（2014•广州）某次比赛中，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后的四人调入二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了4分．求原来一等奖比二等奖平均分多几分？
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 根据题意，调走的4人在一等奖里要降低前6名每人4分，共计24分；而成为二等奖后为原来的20人每人提高1分，共计20分，再加上他们本身每人的1分，共计4分．前后分数差为：24+20+4=48（分），因此48÷4=12（分），即原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
解答： 解：（4×6+1×20+1×4）÷4
=48÷4
=12（分）
答：原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
点评： 此题也可用方程解答．设原一等奖平均分为X分，原二等奖平均分为Y分，由于总分不变，得方程：10X+20Y=（10﹣4）（4+X）+（20+4）（1+Y），解得：X﹣Y=12，所以原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
17．（2013•长沙）某次数学竞赛的女生与男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）分．
A． 82 B． 86 C． 87 D． 88
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 由人数比可假设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份，根据：平均分=总分数÷总人数，可以求出男生女生的总分数和为：82×4分，也可以求出男生的总分数：80×3分，二者相减就是女生的总分数，再除以女生人数的份数，即为女生的平均分．
解答： 解：假设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份；
则女生的平均分为：
=328﹣240
=88（分）
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评： 解决本题的关键是根据女生与男生人数的比是1：3，设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份，进而求出总分数和男生的总分数．
18．有若干个从1开始的自然数：1，2，3，4，…现去掉其中一个后剩下的自然数的平均数为，则去掉的自然数是（ ）
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 由题意，我们从剩下的数的平均数是13，想到原来写出的数应比13的倍数多1，即为14或27．经过验算可排除14个数的可能，那么就是27个数，即原来写的数为：1，2，3…27．计算这个等差数列的和，擦掉的数就应该是数列的和减掉剩下数的平均数与所剩项数的积的差．（1+27）×27÷2﹣13×26=22．
解答： 解：由题意得，连续自然数：1，2，3，4…，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是13，
因为13=，那么原来写出的数应比13的倍数多1，即为14或27；
假设是14个数，则总和为：
（1+14）×14÷2=105，不符合题意．
则应为27个数，那么擦掉的自然数是：
[（1+27）×27÷2]﹣×26
=28×27÷2﹣178×2
=378﹣356，
=22．
答：擦掉的自然数是22．
故选：B．
点评： 这是一个难度较高的等差数列的数字题，解题思路是由所给缺项的等差数列的平均数，推出项数，然后求数列的和．再用它减掉所剩各项数的和，得数就是擦掉的数．
19．（2014•长沙）甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，7.5元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买 1.25 千克这种混合糖果．
考点： 平均数问题．
分析： 根据题意，可以求出三种糖果混合的总价钱是多少，再求出混合后的糖果的单价，最后用总价除以单价，即可得到答案．
解答： 解：10÷[（9×5+7.5×4+7×3）÷（5+4+3）]
=10÷[96÷12]
=10÷8
=1.25（千克）；
答：用10元可买 1.25千克这种混合糖果；
故答案为：1.25．
点评： 解答此题的关键是，认真分析条件，根据总价，单价和数量三者的关系，确定计算方法，列式解答即可．
20．（2014•济南）老师在黑板上写了从11开始的若干个连续自然数，后来擦掉了其中一个数，剩下的数的平均数是，那么擦掉的那个自然数是 30 ．
考点： 平均数问题．
分析： 11、12、13、14，…，如果不擦掉的话，平均数应该是中间那个数或中间那两个数的平均数．
而擦掉一个之后平均数是，说明剩下的数的个数是13的倍数，平均数接近13的倍数26，所以，剩下的数的个数是26，那么原来就有27个数．
这26个数的和是：26×=618，
前27个数的和是：（11+37）×27÷2=648，
所以擦掉的数是：648﹣618=30．
解答： 解：由剩下数的平均数可以知道，剩下的数的个数是13的倍数，因为26接近平均数，所以，剩下的数的个数是26，那么原来就有27个数．
这26个数的和是：26×=618，前27个数的和是：（11+37）×27÷2=648，
所以擦掉的数是：648﹣618=30．
故答案为：30．
点评： 解答此题的关键是求出剩下的数的个数，以及原来数的和．
21．（2013•陕西）某班在一次数学测验中，全班同学的平均成绩是82分，男生平均成绩是80分，女生平均成绩是88分，这个班男、女生人数之比为（ ）
A． 3：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 3：1
考点： 平均数问题；比的意义．
专题： 平均数问题．
分析： 设该班男生有x人，女生有y人，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“出男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，根据等式的性质进行整理，得出：x=3y，进而解决问题．
解答： 解：设该班男生有x人，女生有y人，根据题意可知：
80x+88y=（x+y）×82
80x+88y=82x+82y
2x=6y
x=3y
所以x：y=3：1
答：这个班级男生与女生的人数之比3：1．
故选：D．
点评： 解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式列出方程，进而根据比例基本性质逆运算进行解答即可．
难点四、植树问题
22．（2014•广州）时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，（ ）秒钟敲完．
A． 10 B． 12 C． 14 D． 18
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 时钟3点敲3下，时间间隔数是：3﹣1=2个，共用了6秒，那么经过一个间隔数用：6÷2=3（秒）；如果，7点敲7下的时间间隔数是：7﹣1=6个，要用：6×3=18（秒）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
6÷（3﹣1）×（7﹣1），
=3×6，
=18（秒）；
答：7点敲7下，18秒钟敲完．
故选：D．
点评： 本题考查了植树问题，知识点是：时间间隔数=敲钟下数﹣1．
23．（2013•郑州）将一个底面为正方形的长方体若锯成4个小长方体需要9分钟，那么若锯成7段，需要（ ）分钟．
A． 21 B． 18 C． 15.75 D． 20
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 根据题意，锯成4个小长方体，也就是锯了4﹣1=3次，那么锯每次的时间是9÷3=3分钟，若锯成7段，需要锯7﹣1=6次，再乘上锯每次的时间即可．
解答： 解：锯每次的时间是：9÷（4﹣1）=3（分钟）；
锯成7段的时间是：（7﹣1）×3=18（分钟）．
答：需要18分钟．
故答案选：B．
点评： 关键是求出锯一次的时间，再根据锯的次数比锯成的段数少1，进一步解答即可．
24．（2013•陕西）一只大钟敲三下要用3秒，这只大钟敲七下要用（ ）秒．
A． 7 B． 9 C． 10 D． 14
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 敲响3下，经历了3﹣1=2个时间间隔，由此可以求出1个时间间隔是3÷2=1.5秒，那么敲响7下，经历了7﹣1=6个时间间隔，再乘以6即可．
解答： 解：3÷（3﹣1）×（7﹣1）
=3÷2×6
=9（秒）
答：敲7下要9秒；
故选：B．
点评： 敲钟问题中，抓住敲的下数﹣1=时间间隔数，先求出1个时间间隔，即可解到此类问题．
25．（2013•广州模拟）小明要到一栋楼的第15层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要（ ）秒．
A． 200 B． 250 C． 300 D． 350
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 由题意，从1层走到5层走的楼梯层数是5﹣1=4个，走一个楼层用时为100÷4=25秒，那么他用同样的速度走到15层，所走的楼梯层数是15﹣1=14个，要用时为：14×25=350秒，进而求出还需的时间，据此解答．
解答： 解：100÷（5﹣1）×（15﹣1），
=100÷4×14，
=350（秒），
350﹣100=250（秒），
答：用同样的速度走到15层，还要250秒；
故选：B．
点评： 本题考查了植树问题，用到的知识点是：间隔数=楼的层数﹣1；本题还需要注意：小明走的楼梯层数就是间隔数，而不是楼的层数．
26．（2013•广州）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆．她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走．当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟．那么小兰是走到第（ ）根电线杆是开始往回走的．
A． 30 B． 31 C． 32 D． 33
E． 34
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 从第1根电线杆走到第15根电线杆，共经过15﹣1=14个间隔，用7分钟．因此1分钟走14÷7=2个间隔；当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走了30×2=60个间隔；走到第X根电线杆时开始往回走，开始往回走的时，走了X﹣1个间隔，回来时走了X﹣5个间隔，然后列出方程进行解答即可．
解答： 解：他1分钟走的间隔数：（15﹣1）÷7=2（个）；
当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走的间隔数是：30×2=60（个）；
设走到第X根电线杆时开始往回走，
（X﹣1）+（X﹣5）=60，
2X﹣6=60，
2X=66，
X=33．
答：小兰是走到第33根电线杆是开始往回走的．
故答案选：D．
点评： 考查了两端植树问题中，植树棵数比间隔数多1，求出共走的间隔数，然后再进一步解答即可．
27．（2014•萝岗区）小红家住在9楼，她每上一层楼要30秒，她从一楼到家要走 240 秒，也就是 4 分．
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 从1楼到9楼共要爬9﹣1=8层，用一层的时间乘8即可，把秒换算成分钟数，除以进率60即可．
解答： 解：30×（9﹣1），
=30×8，
=240（秒），
=4分钟，
答：她从一楼到家要走240秒，也就是4分．
故答案为：240；4．
点评： 本题要结合实际情况来求解，到的层数减1才是要走的层数．
28．（2013•吉州区校级模拟）某人到十层大楼的第七层办事，不巧停电，电梯停开．如果从一层走到四层要48秒，那么以同样的速度往上走到七层，还需要 48 秒才能到达．
考点： 植树问题．
专题： 压轴题．
分析： “从一层走到四层”，实际上是爬了3层楼梯，共需要48秒，从四楼走到七楼又需要爬7﹣4=3层楼梯，所以还需要48秒，由此即可解答．
解答： 解：“从一层走到四层”，实际上是爬了3层楼梯，共需要48秒，
从四楼走到七楼又需要爬7﹣4=3层楼梯，所以还需要48秒，
故答案为：48．
点评： 爬的层数=楼层数之差，由此即可解答此类问题．
29．（2014•萝岗区）同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）．一共需要多少棵树苗？
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 先求出小路一旁植树棵数：两端都要栽时，植树棵数=间隔数+1，由此先求出间隔数为：100÷5=20，再加上1就是小路一旁植树棵数，再乘2即可．
解答： 解：（100÷5+1）×2
=21×2
=42（棵）
答：一共需要42棵树苗．
点评： 此题是植树问题中的两端都要栽的情况，抓住植树棵数=间隔数+1即可解答，这里要注意两旁，不要忘记乘2．
30．（2014•萝岗区）车站楼顶上的大钟6时敲6下，10秒敲完．10时敲响了10下，需要多长时间？
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 敲6下，需要10秒完成；要经历6﹣1=5个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：10÷5=2秒；由此即可求得敲10下需要的时间．
解答： 解：6时敲响6下，间隔数是：6﹣1=5（次），
每次间隔时间是：10÷5=2（秒），
敲响10下，间隔数是：10﹣1=9（次），
需要的时间是：9×2=18（秒）；
答：10时敲响了10下，需要18秒．
点评： 在求敲钟用的时间时要弄清敲的次数与间隔数的关系．
难点五、和倍问题
31．（2013•广州）甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数是（ ）
A． 288 B． 576 C． 1149 D． 1152
E． 1155
考点： 和倍问题．
专题： 和倍问题．
分析： 根据题意，甲数加上3就是乙数的2倍，又乙数是丙数的2倍，那么甲数是丙数的2×2=4倍，这时它们的和是2013+3=2016，是丙数的4+2+1倍，由和倍公式进行一步解答即可．
解答： 解：由和倍公式可得：
丙数：（2013+3）÷（2×2+2+1）=288；
甲数：288×4﹣3=1149．
故选：C．
点评： 关键是找出甲数与乙数、丙数的倍数关系，再根据和倍公式进一步解答．
32．（2014•长沙）甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是 4 ．
考点： 和倍问题．
分析： 根据题意，可设乙数为x．在有余数的除法中，商×除数+余数=被除数，根据甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，可得甲数为甲数为6x+2，丙数为6（6x+2）+2=36x+14．再根据甲、乙、丙三数的和是188，列出方程解答即可．
解答： 解：设乙数为x，则甲数为6x+2，丙数为6（6x+2）+2=36x+14．根据题意可得，
x+（6x+2）+（36x+14）=188，
43x=172，
x=4；
故答案为：4．
点评： 根据有余数的除法，商×除数+余数=被除数，找出它们之间的等量关系，列方程解答即可．
33．（2014•济南）甲、乙、丙、丁四个数的和是175，甲加上4，乙减去4，丙乘上4，丁除以4后，四个数就相等了，则甲= 24 ，乙= 32 ，丙= 7 ，丁= 112 ．
考点： 和倍问题．
分析： 由于此题的对应的“和”及“倍数”不是很明显，但数量关系比较明显，如果设甲为x，则乙为（x+8），丙为（x+4）÷4，丁为4×（x+4），再根据甲、乙、丙、丁四个数的和是175，列方程解答即可．
解答： 解：设甲为x，则乙为（x+8），丙为（x+4）÷4，丁为4（x+4），则：
x+（x+8）+（x+4）÷4+4×（x+4）=175，
9x+36+16x+64=700，
25x=600，
x=24；
乙是：x+8=24+8=32，
丙是：（x+4）÷4=（24+4）÷4=7，
丁是：4×（x+4）=4×（24+4）=112；
故答案为：24，32，7，48．
点评： 解答此题的关键是，根据题意找出数量关系等式，列方程解答即可．
34．（2014秋•云县期末）学校数学小组和语文小组共有学生60人，数学小组的人数是语文小组的1.5倍，两个小组各有多少人？
考点： 和倍问题．
分析： 设语文小组有x人，则数学小组就有1.5x人，根据等量关系：数学小组和语文小组共有60人，列出方程即可解决问题．
解答： 解：设语文小组有x人，则数学小组就有1.5x人，根据题意可得方程：
x+1.5x=60，
2.5x=60，
x=24，
1.5×24=36（人），
答：数学小组有36人，语文小组有24人．
点评： 此题是典型的和倍问题，一般都是用倍数的等量关系设出未知数，用和的等量关系列出方程即可解决此类问题．
35．（2014•萝岗区）在地震灾害捐款中，参加捐款的成人人数是儿童的3倍，如果在华诚超市一共有652人参加捐款，儿童有多少人？
考点： 和倍问题．
专题： 和倍问题．
分析： 根据“一共有652人参加捐款”，可找出数量之间的相等关系式为：成人人数+儿童的人数=652，再根据“成人人数是儿童的3倍”，设儿童有x人，那么成人就有3x人，据此列出方程并解方程即可．
解答： 解：儿童有x人，成人有3x人，由题意得：
x+3x=652
4x=652
x=163
答：儿童有163人．
点评： 此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
难点六、盈亏问题
36．（2013•广州）幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（ ）颗．
A． 85 B． 84 C． 83 D． 82
E． 81
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，第二次比第一次每人多（7﹣6）=1颗，因此每人多1颗，两次的分配差额是（6+7）=13颗，可以用“总差额÷每人两次差额=人数”求出总人数，列式为：（6+7）÷（7﹣6）=13人，则糖果数为：7×13﹣6=85颗，据此解答．
解答： 解：（6+7）÷（7﹣6），
=13÷1，
=13（人）；
13×7﹣6=85（颗）；
答：这些糖果共有85颗．
故选：A．
点评： 此题在求人数时，运用了关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差=分物份数（人数）．
37．（2012•广州）四年级一些同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐7人，如果每条船坐9人，则有3条空船．共有（ ）名同学去划船．
A． 118 B． 122 C． 126 D． 130
E． 134
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 两次的总差额是：7+3×9=34（人），两次每条船载人的差额是：9﹣7=2（人），那么船的条数是：34÷2=17（条）；则总人数：7×（17+1）=126（人）；据此解答．
解答： 解：船：（7+3×9）÷（9﹣7），
=34÷2，
=17（条）；
共带：7×（17+1）=126（人）；
答：共有126名同学去划船．
故选：C．
点评： 盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每条分配数的差）=船的条数解答．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
38．（2011•福州）有一批正方形砖，如拼成一个长与宽之比为5：4的大长方形，则余38块，如改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则少53块，那么，这批砖共有（ ）块．
A． 1838 B． 2038 C． 1853 D． 2053
考点： 盈亏问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 如图所示：如果改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则需要砖多出：53+38=91（块），那么去掉右下角的一块，剩下的块数（91﹣1）=90块，就相当于沿原来长方形的一条长和一条宽上的块数和，然后按5：4的比例分配即可求出原来沿长和宽的块数，列式为：长：90÷（5+4）×5=50（块），宽：90÷（5+4）×4=40（块）；所以求这批砖的总块数，列式为：50×40+38=2038（块）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
53+38﹣1=90（块），
长：90÷（5+4）×5=50（块），
宽：90÷（5+4）×4=40（块）；
砖的总块数：50×40+38=2038（块）；
答：这批砖共有2038块．
故选：B．
点评： 本题是数形结合的盈亏问题与按比例分配问题的综合应用，比较难；关键是根据“长与宽之比为5：4”找到分配的数量和，即结合图形确定原来沿一条长和一条宽的块数和．
39．（2014•长沙）有若干个苹果和梨子，如果5个苹果和3个梨子做成一袋的话，还余4个苹果；梨恰好装完，如果7个苹果和3个梨子装成一袋的话，则还余12个梨子，苹果恰好装完，请问苹果和梨子各多少个？
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨多12只，相当于把原来装好的袋拿出了12÷3=4袋，抽出其中的苹果4×5=20只和原来剩下的4只（共20+4=24只）苹果，添加到其余原来装好的袋子中去．每袋添加2只，添加了24÷2=12袋刚好装完．所以，原来装了12+4=16袋，苹果有16×5+4=84只，梨有16×3=48只．
解答： 解：（12÷3）×5+4=24（只），
5只苹果和3只梨装一袋，共装了24÷2+4=16（袋），
所以苹果有：16×5+4=84（只），梨有16×3=48（只）；
答：苹果有84只，梨有48只．
点评： 解答此题的关键是明白，7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨从刚好到多12只，相当于把原来装好的袋拿出了12÷3=4袋，从而求得问题的答案．
40．（2014•济南）把一袋糖分给小朋友，如果每人分10颗，正好分完，如果每人分16颗，就有3个分不到糖，这袋糖有多少颗？
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 如果每个小朋友分16粒，就有3个小朋友分不到糖，说明少48粒；每个小朋友分10粒，正好分完．说明每个小朋友分16粒比每个小朋友分10粒多分16﹣10=6（粒）．每个小朋友多分6个时差48粒，可知，小朋友的数量为48÷6=8（个），那么这袋糖共有10×8=80（粒）．
解答： 解：小朋友的数量：
16×3÷（16﹣10）
=48÷6
=8（个）
这袋糖果共有：
10×8=80（粒）
答：这袋糖有80粒．
点评： 解答此题用关系式“亏数÷两次分物数量的差=人数”来解答．
难点七、逆推问题
41．（2012•黄冈）池塘里某种水草生长极快，当天的水草数量是它前一天的2倍，又知10天长满池塘，（ ）天长了池塘的？
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
考点： 逆推问题．
专题： 还原问题．
分析： 此题采用逆推法解答．当天的水草数量是它前一天的2倍，又知道10天长满池塘，那么9天长到池塘的，则8天长到池塘的，据此解答．
解答： 解：因为当天的水草数量是它前一天的2倍，且10天长满池塘，
那么9天长到池塘的，
则8天长到池塘的，
故选：C．
点评： 此题如果按常规来做，会很麻烦，也不易推出答案，因此一改常规，从后先前推算，很容易得出结果．
42．（2012•广州）抽屉里有若干个玻璃杯，小军每次拿出其中的一半再放回一个，这样一共拿了2012次，抽屉里还有2个玻璃球．原来抽屉里有（ ）个玻璃球．
A． 2 B． 12 C． 22 D． 32
E． 42
考点： 逆推问题．
专题： 还原问题．
分析： 每次拿出其中的一半再放回一个球，也就是每次拿出其中的一半少1个；最后剩2个球，则第2012次拿之前的小球数为：2×（2﹣1）=2（个），同理推出第2011次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），…由此得出第一次拿之前的小球数．
解答： 解：第2012次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
第2011次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
第2010次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
…，据此可得
第1次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2 （个）；
答：袋中原来有2个球．
故选：A．
点评： 解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前逐步推算，推出初始数据．
难点八、牛吃草问题
43．（2014•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所用的草，问增加了 10 头牛．
考点： 牛吃草问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速度为：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）=5份，原有草的份数为：12×9﹣5×12=48份，4头牛前6天一共吃了：4×6=24份，还剩下48+5×6﹣24=54份，后六天一共吃的草的份数为：54+5×6=84份，6天吃完所有草需要牛的头数是：84÷6=14头，增加了14﹣4=10头牛．据此解答即可．
解答： 解：设每头牛每天吃一份的草，
草的生长速度为：
（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）
=20÷4
=5（份）
原有草的份数为：
12×9﹣5×12
=108﹣60
=48（份）
4头牛前6一共吃了：4×6=24（份）
还剩下：48+5×6﹣24=54（份）
后六天一共吃的草的份数为：54+5×6=84（份）
增加牛的头数是：84÷6﹣4=10（头）．
答：增加了10头牛．
故答案为：10．
点评： 本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．
44．（2011•长沙）一片草地以均匀速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃 10 天．
考点： 牛吃草问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（40×10﹣15×20）÷（40﹣20）=5（份）；然后求出草地原有的草的份数：10×40﹣5×40=200（份）；再让25头牛中的5头吃生长的草，剩下的20头牛吃草地原有的200份草，可吃：200÷20=10（天）．
解答： 解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（40×10﹣15×20）÷（40﹣20）
=100÷20
=5（份）
草地原有的草的份数：
10×40﹣5×40
=400﹣200
=200（份）
每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的25﹣5=20头牛吃200份草：
200÷（25﹣5）
=200÷20
=10（天）
答：这片草地可供25头牛吃10天．
故答案为：10．
点评： 牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．
45．（2014•长沙）两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？
考点： 牛吃草问题．
分析： 一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）．
解答： 解：（20×5﹣15×6+20）×5，
=30×5，
=150（分米）
=15（米）．
答：井深15米．
点评： 此题按牛吃草问题来处理，考查了学生的思维和推理能力．
46．（2014•济南）有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光．问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？
考点： 牛吃草问题．
分析： 假设打开一根出水管每小时可排水“1份”，那么8根出水管开3小时共排出水8×3=24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6=30（份）；两种情况比较，可知3小时内进水管放进的水是30﹣24=6（份）；进水管每小时放进的水是6÷3=2（份）；在4.5小时内，池内原有的水加上进水管放进的水，共有8×3+（4.5﹣3）×2=27（份）．由此解答即可．
解答： 解：设打开一根出水管每小时可排出水“1份”，8根出水管开3小时共排出水8×3=24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6=30（份）．
30﹣24=6（份），这6份是“6﹣3=3”小时内进水管放进的水．
（30﹣24）÷（6﹣3）=6÷3=2（份），这“2份”就是进水管每小时进的水．
[8×3+（4.5﹣3）×2]÷4.5
=[24+1.5×2]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
答：需同时打开6根出水管．
点评： 此题属于牛吃草问题，解答关键是把打开一根出水管每小时可排水“1份”，进一步分析推理求解．
难点九、差倍问题
47．（2014•楚州区）甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是 88 ．
考点： 差倍问题．
专题： 文字叙述题．
分析： 根据题意，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，可得甲数是乙数的10倍，再根据甲乙两数之差是79.2，由差倍公式进一步解答．
解答： 解：乙数：79.2÷（10﹣1）=8.8；
甲数：8.8×10=88．
答：甲数是88．
故答案为：88．
点评： 关键是求出甲数与乙数的倍数关系，然后再根据它们的差，由差倍公式进一步解答．
48．（2012•长沙）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是 6.26 ．
考点： 差倍问题．
专题： 文字叙述题．
分析： 一个小数的小数点向右移动一位，相当于此数扩大了10倍，原数是1份数，现在的数就是10份数，现在的数比原数大9份数，再根据这个数就比原数大56.34，进一步求出原数即可．
解答： 解：56.34÷（10﹣1）
=56.34÷9
=6.26
答：原数是6.26．
故答案为：6.26．
点评： 此题考查小数点的位置移动引起小数大小变化的规律：一个数的小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位…，这个数就扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍…，反之也成立．
49．（2014•岳麓区）两辆汽车分别从AB两地同时出发，在距中点40千米处相遇，甲行全程需10小时，乙行全程需15小时．求AB两地距离．（用多种方法解答）
考点： 差倍问题；分数除法应用题；相遇问题．
分析： 根据题意，可知甲乙相遇时，甲比乙用的时间少，也就是说甲行驶的距离比乙行驶的距离长，也就是说，甲行驶到中点又行驶了40千米，而乙行驶的还差40千米到中点．解法一是把全程看作单位一，求出行驶时间，再根据时间×速度=路程，列出方程解答；解法二是根据相遇时间相等，由路程÷速度=时间，列出方程解答．
解答： 解：方法一：设A、B两地的距离为x千米，则甲的速度为，乙的速度为，
行驶的时间：1÷（+）=6（小时）；
由题意得，﹣40=+40，
=80，
18x﹣12x=80×30，
6x=2400，
x=400；
方法二：设距离为y千米，甲的速度为，乙的速度为．
在距离中点40千米处相遇时时间相等，可列出方程，
（﹣40）÷=（+40）÷，
（﹣40）×=（+40）×，
15×（﹣40）=10×（+40），
7.5y﹣5y=400+600，
2.5y=1000，
y=400；
答：A、B两地的距离为400千米．
点评： 这是一道相遇问题，只要把握好他们的相遇时间一样，他们所走的路程和就是全程，根据题意，列出方程解答即可．
50．（2013•鹤山市）学校合唱队学生人数是乒乓球队的3倍，如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等．原来两个队各有学生多少人？（列方程解）
考点： 差倍问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意，设乒乓球队有x人，则合唱队就有3x人，根据“如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等”列方程解答即可．
解答： 解：设乒乓球队有x人，则合唱队就有3x人，
3x﹣24=x+24
2x=48
x=24
24×3=72（人）
答：原来乒乓球队有24人，合唱队就有72人．
点评： 解答此题关键是正确表示出后来两队的人数，利用人数相等来列方程．
难点十、方阵问题
51．（2013•二七区）有一堆棋子，排列成n×n的正方形方阵，多余出3只棋子；如果在这个正方形方阵横纵两个方向各增加一行，则缺少8只棋子．则这堆棋子有 28 只．
考点： 方阵问题．
专题： 方阵问题．
分析： 先求出现在最外层每边的棋子数：（3+8+1）÷2=6（只），然后根据“实方阵的总点数=每边的点数×每边的点数”，求出原来这堆棋子有多少只即可．
解答： 解：（3+8+1）÷2=6（枚），
6×6﹣8，
=36﹣8，
=28（枚）；
答：这堆棋子有28只．
故答案为：28．
点评： 本题关键是求出最外边的棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
52．（2012•仪征市）小华坐在班上的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4）这个班共 49 人．
考点： 方阵问题；数对与位置．
分析： 因为小华坐的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4），所以他应该坐在教室的最中间位置．
画出示意图比较好理解，如图，A点就是小华坐的位置．所以这个班共有学生：7×7=49（人）．
解答： 解：由分析可得，小华坐在教室的最中间位置，且他的前后左右都有3个同学，
即全班同学有7行7列：7×7=49（人）．
答：这个班共49人．
故答案为：49．
点评： 此题考查了数对的知识，以及对方阵问题的分析与理解能力，解答此类问题一般要画出图形帮助理解．
难点十一、和差问题
53．（2012•北京自主招生）今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 41 千克，四种菜共 81 千克．
考点： 和差问题．
专题： 压轴题．
分析： 由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克，把它们加起来就是这四种菜的总千克数；求出总的千克数去掉花菜与白菜的千克数就可以求出包菜与菠菜的千克数．
解答： 解：由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克可知：
四种菜共重：53+28=81（千克）
那么由花菜和白菜共40千克可求出，
包菜与菠菜共重：81﹣40=41（千克）
故答案为：41，81．
点评： 本题主要是把题意分析好，根据题目给出的条件，不难求出要求的结果．
54．（2011•越秀区）一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋 10 元．
考点： 和差问题．
分析： 把外衣和帽子的价钱看成一个整体，由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，这样就可以根据和差公式求出鞋的价钱是多少．
解答： 解：由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得，
鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元）
故答案：10．
点评： 有三个或更多物体时，可以把其中两个或几个看成一个整体，再根据题意，由和差公式就可以求出答案．
55．（2011•汉阳区）街道一则的大厦从1开始按顺序编号，直到街尾，然后从对面街上的大厦开始往回继续编号，到编号为1的大厦对面结束，每栋大厦都与对面的大厦恰好相对，若编号为134的大厦在编号为295的大厦对面，那么比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是 214 ．
考点： 和差问题．
专题： 和差问题．
分析： 根据题意，相对的两个大厦的编号之和为134+295=429，要求比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是多少，根据和差问题的解法，从429里面减去1，再除以2即可．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
解答： 解：（134+295﹣1）÷2，
=428÷2，
=214；
答：比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是214．
故答案为：214．
点评： 解答此题的关键是求出相对的两个大厦的编号之和，然后根据关系式：（和﹣差）÷2列式解答．
56．（2013•黎平县）有两瓶饮料，第一瓶有460克，第二瓶有350克，要使两瓶饮料同样多，应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料？
考点： 和差问题．
专题： 和差问题．
分析： 要求应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料，才使两瓶饮料同样多，应先求出两瓶饮料的平均数，即：（460+350）÷2=405（克），所以应该从第一瓶倒入第二瓶460﹣405，计算解决问题．
解答： 解：（460+350）÷2，
=810÷2，
=405（克）；
460﹣405=55（克）；
答：应该从第一瓶倒入第二瓶55克饮料．
点评： 此题解答的关键是先求出两瓶饮料的平均数，进一步解决问题．
57．（2012•上海）小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？
考点： 和差问题．
分析： 由题意知两人打字的和与差，则根据大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，即可求出问题．
解答： 解：小亚打字个数为：
（486+56）÷2，
=542÷2，
=271（个）；
小巧打字个数为：
486﹣271=215（个），
答：小亚打了271个字，小巧打了215个字．
点评： 此题属和差问题，大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，或小数=大数﹣差．
58．（2012•广州校级自主招生）某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
考点： 和差问题．
分析： 根据题意，当每个房间增加3﹣2=1个人的时候，原来12个没有床位的人都有了床位，还多出2个床来，也就是说，每个房间增加一个床位，就会多出12+2=14个床，所以一共有（12+2）÷（3﹣2）=14（间）房，再根据题意就可求出总人数．
解答： 解：根据题意可得宿舍的间数是：（12+2）÷（3﹣2）=14（间）；
那么代表的人数是：14×2+12=40（人）．
答：宿舍共有14间，代表共有40人．
点评： 根据题意，弄清题目给出的条件和问题，进一步解答即可．
难点十二、归一归总问题
59．（2011•越秀区）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排 14 人淘水．
考点： 归一归总问题．
分析： 从题意中我们不知道船舱原来有多少水，也不知道每小时进多少水和每人每小时淘多少水，为了便于计算我们就要设定其中一个量，将一人一小时淘出的水量定为1．我们可以分别求出3小时和8小时水的总量，即10人和5人淘水的量：
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
3小时和8小时之间水的总量的差距就可以求出每小时的进水量：
每小时的进水量 （40﹣30）/（8﹣3）=2
从2小时到3小时，有进水1小时，即进水量为2那么：
2小时的总水量 30﹣2=28，
用2小时水的总量28除以时间2小时，再除以一人一小时淘出的水量1，就是需要的人数．
即28÷2÷1=14．
解答： 解：设一人一小时淘出的水量定为1，
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
每小时的进水量 （40﹣30）÷（8﹣3）=2
2小时的总水量 30﹣2=28
需要的人数28÷2÷1=14（人）．
故答案为：14．
点评： 本题较难理解，题目中没有给出任何水的量，我们就由数学常用的设定量法来分析，设定每人每小时淘水量为1．然后再逐步分析解答．
60．（2012•文昌）
照这样计算，1000吨铁矿石可以炼铁多少吨？
考点： 归一归总问题．
分析： 根据题意，每10吨铁矿石可以炼铁6.05吨，可以求出1吨铁矿石可以炼铁吨数是：6.05÷10=0.605（吨），再根据题意，就可以求出1000吨铁矿石可以炼铁的吨数．
解答： 解：由题意可得1吨铁矿石可以炼铁吨数是：6.05÷10=0.605（吨），
那么1000吨铁矿石可以炼铁的吨数是：0.605×1000=605（吨）．
答：1000吨铁矿石可以炼铁605吨．
点评： 根据题意，先求出1吨铁矿石可以炼铁的吨数，再根据题目给出的条件和问题进一步解答即可．
典型应用题
难点一、年龄问题
1．（2015•长沙）上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁．”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，”他们两人中，年龄较小的现在（ ）岁．
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
2．（2014•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得88岁，10年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 49 B． 48 C． 47 D． 46
3．（2013•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁，12年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 44 B． 46 C． 48 D． 50
4．（2013•长沙）鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔子有（ ）只．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
5．（2014•东莞）今年是2014年，小红13岁，爸爸45岁，到 年小红的年龄是爸爸的．
6．（2014•长沙县）如果5个人平均年龄是25岁，其中最小的是18岁，且5人年龄都不相同．那么年龄最大的最多是几岁？
7．（2014•长沙）如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？
难点二、鸡兔同笼
8．（2014•永宁县）鸡兔共有20个头，70只腿．鸡有 只，兔有 只．
9．（2014•济南）一次数学竞赛有10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣2分，小明得了76分，小明做对了 题．
10．（2014•长沙）一个年轻人今年（2013年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 岁．
11．（2013•长沙）小兔子采蘑菇，晴天每天能采36只，雨天每天只能采24只，它一连几天共采了288只蘑菇，平均每天采32只，这些天中有（ ）天是晴天．
A． 2 B． 6 C． 4 D． 5
12．（2013•东莞）鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是（ ）
A． 3：1 B． 3：8 C． 2：1 D． 8：3
13．（2012•成都）一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一连几天运了112次，平均每天运了14次，这几天中 天有雨．
14．（2012•宝安区）鸡兔同笼，有12个头，40只脚，算一算，笼子里有几只鸡，几只兔？
难点三、平均数问题
15．（2014•济南）朝阳小学五年级有两个班，一班有51人，二班有49人，期中考试两个班全体同学的平均成绩是81分，已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高7分，那么二班的平均成绩是多少分？
16．（2014•广州）某次比赛中，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后的四人调入二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了4分．求原来一等奖比二等奖平均分多几分？
17．（2013•长沙）某次数学竞赛的女生与男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）分．
A． 82 B． 86 C． 87 D． 88
18．有若干个从1开始的自然数：1，2，3，4，…现去掉其中一个后剩下的自然数的平均数为，则去掉的自然数是（ ）
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
19．（2014•长沙）甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，7.5元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买 千克这种混合糖果．
20．（2014•济南）老师在黑板上写了从11开始的若干个连续自然数，后来擦掉了其中一个数，剩下的数的平均数是，那么擦掉的那个自然数是 ．
21．（2013•陕西）某班在一次数学测验中，全班同学的平均成绩是82分，男生平均成绩是80分，女生平均成绩是88分，这个班男、女生人数之比为（ ）
A． 3：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 3：1
难点四、植树问题
22．（2014•广州）时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，（ ）秒钟敲完．
A． 10 B． 12 C． 14 D． 18
23．（2013•郑州）将一个底面为正方形的长方体若锯成4个小长方体需要9分钟，那么若锯成7段，需要（ ）分钟．
A． 21 B． 18 C． 15.75 D． 20
24．（2013•陕西）一只大钟敲三下要用3秒，这只大钟敲七下要用（ ）秒．
A． 7 B． 9 C． 10 D． 14
25．（2013•广州模拟）小明要到一栋楼的第15层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要（ ）秒．
A． 200 B． 250 C． 300 D． 350
26．（2013•广州）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆．她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走．当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟．那么小兰是走到第（ ）根电线杆是开始往回走的．
A． 30 B． 31 C． 32 D． 33
E． 34
27．（2014•萝岗区）小红家住在9楼，她每上一层楼要30秒，她从一楼到家要走 秒，也就是 分．
28．（2013•吉州区校级模拟）某人到十层大楼的第七层办事，不巧停电，电梯停开．如果从一层走到四层要48秒，那么以同样的速度往上走到七层，还需要 秒才能到达．
29．（2014•萝岗区）同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）．一共需要多少棵树苗？
30．（2014•萝岗区）车站楼顶上的大钟6时敲6下，10秒敲完．10时敲响了10下，需要多长时间？
难点五、和倍问题
31．（2013•广州）甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数是（ ）
A． 288 B． 576 C． 1149 D． 1152
E． 1155
32．（2014•长沙）甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是 ．
33．（2014•济南）甲、乙、丙、丁四个数的和是175，甲加上4，乙减去4，丙乘上4，丁除以4后，四个数就相等了，则甲= ，乙= ，丙= ，丁= ．
34．（2014秋•云县期末）学校数学小组和语文小组共有学生60人，数学小组的人数是语文小组的1.5倍，两个小组各有多少人？
35．（2014•萝岗区）在地震灾害捐款中，参加捐款的成人人数是儿童的3倍，如果在华诚超市一共有652人参加捐款，儿童有多少人？
难点六、盈亏问题
36．（2013•广州）幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（ ）颗．
A． 85 B． 84 C． 83 D． 82
E． 81
37．（2012•广州）四年级一些同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐7人，如果每条船坐9人，则有3条空船．共有（ ）名同学去划船．
A． 118 B． 122 C． 126 D． 130
E． 134
38．（2011•福州）有一批正方形砖，如拼成一个长与宽之比为5：4的大长方形，则余38块，如改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则少53块，那么，这批砖共有（ ）块．
A． 1838 B． 2038 C． 1853 D． 2053
39．（2014•长沙）有若干个苹果和梨子，如果5个苹果和3个梨子做成一袋的话，还余4个苹果；梨恰好装完，如果7个苹果和3个梨子装成一袋的话，则还余12个梨子，苹果恰好装完，请问苹果和梨子各多少个？
40．（2014•济南）把一袋糖分给小朋友，如果每人分10颗，正好分完，如果每人分16颗，就有3个分不到糖，这袋糖有多少颗？
难点七、逆推问题
41．（2012•黄冈）池塘里某种水草生长极快，当天的水草数量是它前一天的2倍，又知10天长满池塘，（ ）天长了池塘的？
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
42．（2012•广州）抽屉里有若干个玻璃杯，小军每次拿出其中的一半再放回一个，这样一共拿了2012次，抽屉里还有2个玻璃球．原来抽屉里有（ ）个玻璃球．
A． 2 B． 12 C． 22 D． 32
E． 42
难点八、牛吃草问题
43．（2014•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所用的草，问增加了 头牛．
44．（2011•长沙）一片草地以均匀速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃 天．
45．（2014•长沙）两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？
46．（2014•济南）有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光．问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？
难点九、差倍问题
47．（2014•楚州区）甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是 ．
48．（2012•长沙）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是 ．
49．（2014•岳麓区）两辆汽车分别从AB两地同时出发，在距中点40千米处相遇，甲行全程需10小时，乙行全程需15小时．求AB两地距离．（用多种方法解答）
50．（2013•鹤山市）学校合唱队学生人数是乒乓球队的3倍，如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等．原来两个队各有学生多少人？（列方程解）
难点十、方阵问题
51．（2013•二七区）有一堆棋子，排列成n×n的正方形方阵，多余出3只棋子；如果在这个正方形方阵横纵两个方向各增加一行，则缺少8只棋子．则这堆棋子有 只．
52．（2012•仪征市）小华坐在班上的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4）这个班共 人．
难点十一、和差问题
53．（2012•北京自主招生）今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 千克，四种菜共 千克．
54．（2011•越秀区）一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋 元．
55．（2011•汉阳区）街道一则的大厦从1开始按顺序编号，直到街尾，然后从对面街上的大厦开始往回继续编号，到编号为1的大厦对面结束，每栋大厦都与对面的大厦恰好相对，若编号为134的大厦在编号为295的大厦对面，那么比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是 ．
56．（2013•黎平县）有两瓶饮料，第一瓶有460克，第二瓶有350克，要使两瓶饮料同样多，应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料？
57．（2012•上海）小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？
58．（2012•广州校级自主招生）某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
难点十二、归一归总问题
59．（2011•越秀区）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排 人淘水．
60．（2012•文昌）
照这样计算，1000吨铁矿石可以炼铁多少吨？
2015年小升初数学难点突破真题精析：典型应用题
参考答案与试题解析
难点一、年龄问题
1．（2015•长沙）上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你才4岁．”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，”他们两人中，年龄较小的现在（ ）岁．
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 根据两人的年龄差一定，可知现在年龄小的年龄是比年龄差大4岁，年龄大的比两个年龄差大4岁，当年龄小的年龄是年龄大现在的年龄时，年龄大的将61岁，就是再过一个年龄差，是61岁，即61﹣4=57岁是3个年龄差，据此可求出年龄差，再加4就是年龄较小的人现在多少岁．据此解答．[来源:学&科&网]
解答： 解：（61﹣4）÷3+4
=57÷3+4
=19+4
=23（岁）
答：年龄较小的现在23岁．
故选：C．
点评： 本题的关键是根据年龄差不变，求出61﹣4=57岁是3个年龄差，求出年龄差是多少，再进行解答，本题也可用方程进行解答．
2．（2014•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得88岁，10年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 49 B． 48 C． 47 D． 46
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 10年后两个儿子和父亲的年龄各增加10岁，则岁数之和为88+10×3=118，又因为父亲的年龄与儿子年龄和相等，所以118÷2=59是10年后父亲的年龄，那么10年前也就是现在年龄为59﹣10=49
解答： 解：（88+10×3）÷2
=（88+30）÷2
=118÷2
=59（岁）
59﹣10=49（岁）
答：父亲今年49岁．
故选：A．
点评： 本题的重点是求出10年后父亲的年龄，再求父亲今年的年龄．
3．（2013•长沙）今年父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁，12年后，父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲今年有（ ）岁．
A． 44 B． 46 C． 48 D． 50
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 12年后两个儿子和父亲的年龄各增加12岁，可看做是原来父亲与两个儿子的年龄和相加得84岁再加12×3岁后，这时父亲的年龄正好是两个儿子年龄和，即84+12×3=120岁是父亲年龄的2倍，由此用除法可求得12年后父亲的年龄，再减去12就是父亲今年的年龄；据此解答．
解答： 解：（84+12×3）÷2
=120÷2
=60（岁）
60﹣12=48（岁）
答：父亲今年48岁．
故选：C．
点评： 本题的重点是让学生理解：84+12×3=120岁是父亲年龄的2倍．
4．（2013•长沙）鸡兔同笼，有20个头，48条腿，其中兔子有（ ）只．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设全是兔子，则有20×4=80只脚，这比已知多出了80﹣48=32只脚，因为1只兔子比1只鸡多了4﹣2=2只脚，所以鸡的只数有：32÷2=16只，进而求得兔子的只数．
解答： 解：假设全是兔子，则鸡有：
（20×4﹣48）÷（4﹣2），
=32÷2，
=16（只），
则兔子有：20﹣16=4（只），
答：兔子有4只．
故选：C．
点评： 此题也可以假设全是鸡，则兔子有（48﹣20×2）÷（4﹣2）=8÷2=4（只），则鸡有20﹣4=16（只）．
5．（2014•东莞）今年是2014年，小红13岁，爸爸45岁，到 2017 年小红的年龄是爸爸的．
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 根据题意，小红13岁，爸爸45岁，相差45﹣13=32岁，年龄差是个不变量，又小红的年龄是爸爸的，由差倍公式可以求出这时爸爸的年龄，然后再进一步解答．
解答： 解：45﹣13=32（岁）；
32÷（1﹣）=48（岁）；
48﹣45=3（年）；
2014+3=2017（年）．
答：到2017年小红的年龄是爸爸的．
故答案为：2017．
点评： 年龄问题中，年龄差是个不变量，根据题意，求出它们的年龄差，然后再进一步解答．
6．（2014•长沙县）如果5个人平均年龄是25岁，其中最小的是18岁，且5人年龄都不相同．那么年龄最大的最多是几岁？
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 因5人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使4个人的年龄尽可能的小，所以其余4个人的年龄应是18岁，19岁，20岁，21岁，再用他们的年龄和去减四人的年龄，就是年龄最大人的岁数，据此解答．
解答： 解：25×5﹣（18+19+20+21）
=125﹣78
=47（岁）
答：年龄最大的最多47岁．
点评： 本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答．
7．（2014•长沙）如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 因6人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使5个人的年龄尽可能的小，所以其余5个人的年龄应是20岁，21岁，22岁，23岁，24岁再用他们的年龄和减去5个的年龄就是年龄最大人的岁数，据此解答．
解答： 解：25×6﹣（20+21+22+23+24）
=25×6﹣110
=150﹣110
=40（岁）
答：年龄最大的人最大40岁．
点评： 本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答．
难点二、鸡兔同笼
8．（2014•永宁县）鸡兔共有20个头，70只腿．鸡有 5 只，兔有 15 只．
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此类问题可以利用假设法，假设全是鸡，那么就有20×2=40条腿，这比已知70条腿少了70﹣40=30条腿，1只兔比1只鸡多4﹣2=2条腿，由此即可得出兔有：30÷2=15只，则鸡有：20﹣15=5只，由此即可解答．
解答： 解：假设全是鸡，那么兔有：
（70﹣20×2）÷（4﹣2），
=30÷2，
=15（只），
则鸡有：20﹣15=5（只）；
答：鸡有5只，兔有15只．
故答案为：5，15．
点评： 此题考查了典型的鸡兔同笼问题，此类问题可以采用假设法进行解答．
9．（2014•济南）一次数学竞赛有10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣2分，小明得了76分，小明做对了 8 题．
考点： 鸡兔同笼．
分析： 根据题意，假设全做对得10×10=100（分），小明得了76分，少得100﹣76=24（分），一求出做错的道数，就可以求出作对的道数．
解答： 解：根据题意，假设小明全做对可得：10×10=100（分）；
现在小明得了76分，比总分少：100﹣76=24（分）；
因为每做错一道少得：10+2=12（分），所以小明做错的道数是：24÷12=2（道），那么他做对的道数是：10﹣2=8（道）．
答：小明做对了8题．
故答案为：8．
点评： 根据题意，由鸡兔同笼的方法进行解答即可．
10．
（2014•长沙）一个年轻人今年（2013年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 21 岁．
考点： 年龄问题．
专题： 年龄问题．
分析： 把出生年份的数字相加，即可求出今年的年龄，据此解答．
解答： 解：出生时应该是1992年，
1+9+9+2=21，
2013﹣1992=21（岁）
答：这位年轻人今年的岁数是21岁．
故答案为：21．
点评： 本题的重点是理解今年的岁数正好等于出生年份数字之和．
11．（2013•长沙）小兔子采蘑菇，晴天每天能采36只，雨天每天只能采24只，它一连几天共采了288只蘑菇，平均每天采32只，这些天中有（ ）天是晴天．
A． 2 B． 6 C． 4 D． 5
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用288÷32求出小兔子一共采蘑菇的天数，设有x天是下雨天，则晴天的天数为288÷32﹣x，再根据“晴天每天能采的只数×晴天的天数+雨天每天能采的只数×雨天的天数=288”，列出方程解决问题．
解答： 解：288÷32=9（天）
设这些天中有x天是下雨天，
24x+36×（9﹣x）=288
24x+324﹣36x=288
12x=324﹣288
12x=36
x=3；
9﹣3=6（天）
答：这些天中有6天是晴天．
故选：B．
点评： 解答此题的关键是，先求出一共采蘑菇的天数，再根据“晴天每天能采的只数×晴天的天数+雨天每天能采的只数×雨天的天数=288”，列出方程解决问题．[来源:Zxxk.Com]
12．（2013•东莞）鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是（ ）
A． 3：1 B． 3：8 C． 2：1 D． 8：3[来源:Z_xx_k.Com]
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设全是兔，则有15×4=60条腿，这比已知的40条腿多出了60﹣40=20条，因为1只兔比1只鸡多4﹣2=2条腿，所以鸡有：20÷2=10只，则兔有15﹣10=5只，再求比即可．
解答： 解：假设全是兔，则鸡有：
（15×4﹣40）÷（4﹣2），
=（60﹣40）÷2，
=20÷2，
=10（只），
兔有：15﹣10=5（只），
10：5=2：1，
故选：C．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔．如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔．再求比值就容易了．
13．（2012•成都）一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一连几天运了112次，平均每天运了14次，这几天中 6 天有雨．
考点： 鸡兔同笼；列方程解含有两个未知数的应用题．
分析： 此题可以采用假设法解答：根据题干可知一共运了112÷14=8（天），假设全是晴天，所以一共运了20×8=160次，这就比已知的112次多出了160﹣112=48次，因为晴天比雨天1天多运20﹣12=8次，所以雨天有48÷8=6天．
解答： 解：根据题干可知一共运了112÷14=8（天），
假设全是晴天：
则雨天有：（20×8﹣112）÷（20﹣12），
=48÷8，
=6（天），
答：雨天有6天．
故答案为：6．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，可采用假设法进行解答，关键是根据“它一连几天运了112次，平均每天运了14次，”求出运的总天数是：8天．
14．（2012•宝安区）鸡兔同笼，有12个头，40只脚，算一算，笼子里有几只鸡，几只兔？
考点： 鸡兔同笼．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设笼子里都是鸡，那么就有12×2=24只足，这样实际就多出40﹣24=16只足；因为一只兔比一只鸡多4﹣2=2只脚，也就是有16÷2=8只兔；进而求得鸡的只数．
解答： 解：兔有：
（40﹣12×2）÷（4﹣2），
=16÷2，
=8（只）；
鸡有：12﹣8=4（只）；
答：鸡有4只，兔有8只．
点评： 此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．
难点三、平均数问题
15．（2014•济南）朝阳小学五年级有两个班，一班有51人，二班有49人，期中考试两个班全体同学的平均成绩是81分，已知二班的平均成绩比一班的平均成绩高7分，那么二班的平均成绩是多少分？
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 先用“51+49=100”求出两个班的总人数，进而根据“平均成绩×总人数=总成绩”求出两个班全体同学的总成绩，为：100×81=8100分，假设二班和一班的平均成绩一样高，那么两个班全体同学的总成绩为：8100﹣49×7=7757分；进而用“7757÷100”求出一班的平均成绩，进而得出二班的平均成绩．
解答： 解：一班：[（51+49）×81﹣49×7]÷（51+49）
=[8100﹣343]÷100
=77.57（分）
二班：77.57+7=84.57（分）
答：二班的平均成绩是84.57分．
点评： 求出假设二班和一班的平均成绩一样高时，两个班全体同学的总成绩，进而求出一班的平均成绩，是解答此题的关键所在．
16．（2014•广州）某次比赛中，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中最后的四人调入二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了4分．求原来一等奖比二等奖平均分多几分？
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 根据题意，调走的4人在一等奖里要降低前6名每人4分，共计24分；而成为二等奖后为原来的20人每人提高1分，共计20分，再加上他们本身每人的1分，共计4分．前后分数差为：24+20+4=48（分），因此48÷4=12（分），即原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
解答： 解：（4×6+1×20+1×4）÷4
=48÷4
=12（分）
答：原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
点评： 此题也可用方程解答．设原一等奖平均分为X分，原二等奖平均分为Y分，由于总分不变，得方程：10X+20Y=（10﹣4）（4+X）+（20+4）（1+Y），解得：X﹣Y=12，所以原来一等奖平均分比二等奖平均分多12分．
17．（2013•长沙）某次数学竞赛的女生与男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）分．
A． 82 B． 86 C． 87 D． 88
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 由人数比可假设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份，根据：平均分=总分数÷总人数，可以求出男生女生的总分数和为：82×4分，也可以求出男生的总分数：80×3分，二者相减就是女生的总分数，再除以女生人数的份数，即为女生的平均分．
解答： 解：假设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份；
则女生的平均分为：
=328﹣240
=88（分）
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评： 解决本题的关键是根据女生与男生人数的比是1：3，设总人数为4份，则女生为1份，男生为3份，进而求出总分数和男生的总分数．
18．有若干个从1开始的自然数：1，2，3，4，…现去掉其中一个后剩下的自然数的平均数为，则去掉的自然数是（ ）
A． 21 B． 22 C． 23 D． 24
考点： 平均数问题．
专题： 平均数问题．
分析： 由题意，我们从剩下的数的平均数是13，想到原来写出的数应比13的倍数多1，即为14或27．经过验算可排除14个数的可能，那么就是27个数，即原来写的数为：1，2，3…27．计算这个等差数列的和，擦掉的数就应该是数列的和减掉剩下数的平均数与所剩项数的积的差．（1+27）×27÷2﹣13×26=22．
解答： 解：由题意得，连续自然数：1，2，3，4…，后来擦掉其中的一个，剩下的数的平均数是13，
因为13=，那么原来写出的数应比13的倍数多1，即为14或27；
假设是14个数，则总和为：
（1+14）×14÷2=105，不符合题意．
则应为27个数，那么擦掉的自然数是：
[（1+27）×27÷2]﹣×26
=28×27÷2﹣178×2
=378﹣356，
=22．
答：擦掉的自然数是22．
故选：B．
点评： 这是一个难度较高的等差数列的数字题，解题思路是由所给缺项的等差数列的平均数，推出项数，然后求数列的和．再用它减掉所剩各项数的和，得数就是擦掉的数．
19．（2014•长沙）甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是9元，7.5元，7元．现把甲种糖果5千克，乙种糖果4千克，丙种糖果3千克混合在一起，那么用10元可买 1.25 千克这种混合糖果．
考点： 平均数问题．
分析： 根据题意，可以求出三种糖果混合的总价钱是多少，再求出混合后的糖果的单价，最后用总价除以单价，即可得到答案．
解答： 解：10÷[（9×5+7.5×4+7×3）÷（5+4+3）]
=10÷[96÷12]
=10÷8
=1.25（千克）；
答：用10元可买 1.25千克这种混合糖果；
故答案为：1.25．
点评： 解答此题的关键是，认真分析条件，根据总价，单价和数量三者的关系，确定计算方法，列式解答即可．
20．（2014•济南）老师在黑板上写了从11开始的若干个连续自然数，后来擦掉了其中一个数，剩下的数的平均数是，那么擦掉的那个自然数是 30 ．
考点： 平均数问题．
分析： 11、12、13、14，…，如果不擦掉的话，平均数应该是中间那个数或中间那两个数的平均数．
而擦掉一个之后平均数是，说明剩下的数的个数是13的倍数，平均数接近13的倍数26，所以，剩下的数的个数是26，那么原来就有27个数．
这26个数的和是：26×=618，
前27个数的和是：（11+37）×27÷2=648，
所以擦掉的数是：648﹣618=30．
解答： 解：由剩下数的平均数可以知道，剩下的数的个数是13的倍数，因为26接近平均数，所以，剩下的数的个数是26，那么原来就有27个数．
这26个数的和是：26×=618，前27个数的和是：（11+37）×27÷2=648，
所以擦掉的数是：648﹣618=30．
故答案为：30．
点评： 解答此题的关键是求出剩下的数的个数，以及原来数的和．
21．（2013•陕西）某班在一次数学测验中，全班同学的平均成绩是82分，男生平均成绩是80分，女生平均成绩是88分，这个班男、女生人数之比为（ ）
A． 3：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 3：1
考点： 平均数问题；比的意义．
专题： 平均数问题．
分析： 设该班男生有x人，女生有y人，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“出男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，根据等式的性质进行整理，得出：x=3y，进而解决问题．
解答： 解：设该班男生有x人，女生有y人，根据题意可知：
80x+88y=（x+y）×82
80x+88y=82x+82y
2x=6y
x=3y
所以x：y=3：1
答：这个班级男生与女生的人数之比3：1．
故选：D．
点评： 解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式列出方程，进而根据比例基本性质逆运算进行解答即可．
难点四、植树问题
22．（2014•广州）时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，（ ）秒钟敲完．
A． 10 B． 12 C． 14 D． 18
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 时钟3点敲3下，时间间隔数是：3﹣1=2个，共用了6秒，那么经过一个间隔数用：6÷2=3（秒）；如果，7点敲7下的时间间隔数是：7﹣1=6个，要用：6×3=18（秒）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
6÷（3﹣1）×（7﹣1），
=3×6，
=18（秒）；
答：7点敲7下，18秒钟敲完．
故选：D．
点评： 本题考查了植树问题，知识点是：时间间隔数=敲钟下数﹣1．
23．（2013•郑州）将一个底面为正方形的长方体若锯成4个小长方体需要9分钟，那么若锯成7段，需要（ ）分钟．
A． 21 B． 18 C． 15.75 D． 20
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 根据题意，锯成4个小长方体，也就是锯了4﹣1=3次，那么锯每次的时间是9÷3=3分钟，若锯成7段，需要锯7﹣1=6次，再乘上锯每次的时间即可．
解答： 解：锯每次的时间是：9÷（4﹣1）=3（分钟）；
锯成7段的时间是：（7﹣1）×3=18（分钟）．
答：需要18分钟．
故答案选：B．
点评： 关键是求出锯一次的时间，再根据锯的次数比锯成的段数少1，进一步解答即可．
24．（2013•陕西）一只大钟敲三下要用3秒，这只大钟敲七下要用（ ）秒．
A． 7 B． 9 C． 10 D． 14
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 敲响3下，经历了3﹣1=2个时间间隔，由此可以求出1个时间间隔是3÷2=1.5秒，那么敲响7下，经历了7﹣1=6个时间间隔，再乘以6即可．
解答： 解：3÷（3﹣1）×（7﹣1）
=3÷2×6
=9（秒）
答：敲7下要9秒；
故选：B．
点评： 敲钟问题中，抓住敲的下数﹣1=时间间隔数，先求出1个时间间隔，即可解到此类问题．
25．（2013•广州模拟）小明要到一栋楼的第15层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要（ ）秒．
A． 200 B． 250 C． 300 D． 350
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 由题意，从1层走到5层走的楼梯层数是5﹣1=4个，走一个楼层用时为100÷4=25秒，那么他用同样的速度走到15层，所走的楼梯层数是15﹣1=14个，要用时为：14×25=350秒，进而求出还需的时间，据此解答．
解答： 解：100÷（5﹣1）×（15﹣1），
=100÷4×14，
=350（秒），
350﹣100=250（秒），
答：用同样的速度走到15层，还要250秒；
故选：B．
点评： 本题考查了植树问题，用到的知识点是：间隔数=楼的层数﹣1；本题还需要注意：小明走的楼梯层数就是间隔数，而不是楼的层数．
26．（2013•广州）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆．她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走．当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟．那么小兰是走到第（ ）根电线杆是开始往回走的．
A． 30 B． 31 C． 32 D． 33
E． 34
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 从第1根电线杆走到第15根电线杆，共经过15﹣1=14个间隔，用7分钟．因此1分钟走14÷7=2个间隔；当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走了30×2=60个间隔；走到第X根电线杆时开始往回走，开始往回走的时，走了X﹣1个间隔，回来时走了X﹣5个间隔，然后列出方程进行解答即可．
解答： 解：他1分钟走的间隔数：（15﹣1）÷7=2（个）；
当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走的间隔数是：30×2=60（个）；
设走到第X根电线杆时开始往回走，
（X﹣1）+（X﹣5）=60，
2X﹣6=60，
2X=66，
X=33．
答：小兰是走到第33根电线杆是开始往回走的．
故答案选：D．
点评： 考查了两端植树问题中，植树棵数比间隔数多1，求出共走的间隔数，然后再进一步解答即可．
27．（2014•萝岗区）小红家住在9楼，她每上一层楼要30秒，她从一楼到家要走 240 秒，也就是 4 分．
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 从1楼到9楼共要爬9﹣1=8层，用一层的时间乘8即可，把秒换算成分钟数，除以进率60即可．
解答： 解：30×（9﹣1），
=30×8，
=240（秒），
=4分钟，
答：她从一楼到家要走240秒，也就是4分．
故答案为：240；4．
点评： 本题要结合实际情况来求解，到的层数减1才是要走的层数．
28．（2013•吉州区校级模拟）某人到十层大楼的第七层办事，不巧停电，电梯停开．如果从一层走到四层要48秒，那么以同样的速度往上走到七层，还需要 48 秒才能到达．
考点： 植树问题．
专题： 压轴题．
分析： “从一层走到四层”，实际上是爬了3层楼梯，共需要48秒，从四楼走到七楼又需要爬7﹣4=3层楼梯，所以还需要48秒，由此即可解答．
解答： 解：“从一层走到四层”，实际上是爬了3层楼梯，共需要48秒，
从四楼走到七楼又需要爬7﹣4=3层楼梯，所以还需要48秒，
故答案为：48．
点评： 爬的层数=楼层数之差，由此即可解答此类问题．
29．（2014•萝岗区）同学们在全长100米的小路两边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）．一共需要多少棵树苗？
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 先求出小路一旁植树棵数：两端都要栽时，植树棵数=间隔数+1，由此先求出间隔数为：100÷5=20，再加上1就是小路一旁植树棵数，再乘2即可．
解答： 解：（100÷5+1）×2
=21×2
=42（棵）
答：一共需要42棵树苗．
点评： 此题是植树问题中的两端都要栽的情况，抓住植树棵数=间隔数+1即可解答，这里要注意两旁，不要忘记乘2．
30．（2014•萝岗区）车站楼顶上的大钟6时敲6下，10秒敲完．10时敲响了10下，需要多长时间？
考点： 植树问题．
专题： 植树问题．
分析： 敲6下，需要10秒完成；要经历6﹣1=5个间隔，那么每个间隔所经历的时间是：10÷5=2秒；由此即可求得敲10下需要的时间．
解答： 解：6时敲响6下，间隔数是：6﹣1=5（次），
每次间隔时间是：10÷5=2（秒），
敲响10下，间隔数是：10﹣1=9（次），
需要的时间是：9×2=18（秒）；
答：10时敲响了10下，需要18秒．
点评： 在求敲钟用的时间时要弄清敲的次数与间隔数的关系．
难点五、和倍问题
31．（2013•广州）甲、乙、丙三数之和是2013，甲数比乙数的2倍还少3，乙数是丙数的2倍，甲数是（ ）
A． 288 B． 576 C． 1149 D． 1152
E． 1155
考点： 和倍问题．
专题： 和倍问题．
分析： 根据题意，甲数加上3就是乙数的2倍，又乙数是丙数的2倍，那么甲数是丙数的2×2=4倍，这时它们的和是2013+3=2016，是丙数的4+2+1倍，由和倍公式进行一步解答即可．
解答： 解：由和倍公式可得：
丙数：（2013+3）÷（2×2+2+1）=288；
甲数：288×4﹣3=1149．
故选：C．
点评： 关键是找出甲数与乙数、丙数的倍数关系，再根据和倍公式进一步解答．
32．（2014•长沙）甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是 4 ．
考点： 和倍问题．
分析： 根据题意，可设乙数为x．在有余数的除法中，商×除数+余数=被除数，根据甲数除以乙数，或丙数除以甲数，结果都是商6余2，可得甲数为甲数为6x+2，丙数为6（6x+2）+2=36x+14．再根据甲、乙、丙三数的和是188，列出方程解答即可．
解答： 解：设乙数为x，则甲数为6x+2，丙数为6（6x+2）+2=36x+14．根据题意可得，
x+（6x+2）+（36x+14）=188，
43x=172，
x=4；
故答案为：4．
点评： 根据有余数的除法，商×除数+余数=被除数，找出它们之间的等量关系，列方程解答即可．
33．（2014•济南）甲、乙、丙、丁四个数的和是175，甲加上4，乙减去4，丙乘上4，丁除以4后，四个数就相等了，则甲= 24 ，乙= 32 ，丙= 7 ，丁= 112 ．
考点： 和倍问题．
分析： 由于此题的对应的“和”及“倍数”不是很明显，但数量关系比较明显，如果设甲为x，则乙为（x+8），丙为（x+4）÷4，丁为4×（x+4），再根据甲、乙、丙、丁四个数的和是175，列方程解答即可．
解答： 解：设甲为x，则乙为（x+8），丙为（x+4）÷4，丁为4（x+4），则：
x+（x+8）+（x+4）÷4+4×（x+4）=175，
9x+36+16x+64=700，
25x=600，
x=24；
乙是：x+8=24+8=32，
丙是：（x+4）÷4=（24+4）÷4=7，
丁是：4×（x+4）=4×（24+4）=112；
故答案为：24，32，7，48．
点评： 解答此题的关键是，根据题意找出数量关系等式，列方程解答即可．
34．（2014秋•云县期末）学校数学小组和语文小组共有学生60人，数学小组的人数是语文小组的1.5倍，两个小组各有多少人？
考点： 和倍问题．
分析： 设语文小组有x人，则数学小组就有1.5x人，根据等量关系：数学小组和语文小组共有60人，列出方程即可解决问题．
解答： 解：设语文小组有x人，则数学小组就有1.5x人，根据题意可得方程：
x+1.5x=60，
2.5x=60，
x=24，
1.5×24=36（人），
答：数学小组有36人，语文小组有24人．
点评： 此题是典型的和倍问题，一般都是用倍数的等量关系设出未知数，用和的等量关系列出方程即可解决此类问题．
35．（2014•萝岗区）在地震灾害捐款中，参加捐款的成人人数是儿童的3倍，如果在华诚超市一共有652人参加捐款，儿童有多少人？
考点： 和倍问题．
专题： 和倍问题．
分析： 根据“一共有652人参加捐款”，可找出数量之间的相等关系式为：成人人数+儿童的人数=652，再根据“成人人数是儿童的3倍”，设儿童有x人，那么成人就有3x人，据此列出方程并解方程即可．
解答： 解：儿童有x人，成人有3x人，由题意得：
x+3x=652
4x=652
x=163
答：儿童有163人．
点评： 此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
难点六、盈亏问题
36．（2013•广州）幼儿园老师给小班的小朋友分糖果，如果每人分7颗，则还差6颗；如果每人分6颗，则又多出7颗，那么共有糖果（ ）颗．
A． 85 B． 84 C． 83 D． 82
E． 81
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，第二次比第一次每人多（7﹣6）=1颗，因此每人多1颗，两次的分配差额是（6+7）=13颗，可以用“总差额÷每人两次差额=人数”求出总人数，列式为：（6+7）÷（7﹣6）=13人，则糖果数为：7×13﹣6=85颗，据此解答．
解答： 解：（6+7）÷（7﹣6），
=13÷1，
=13（人）；
13×7﹣6=85（颗）；
答：这些糖果共有85颗．
故选：A．
点评： 此题在求人数时，运用了关系式：（盈数+亏数）÷两次分物数量的差=分物份数（人数）．
37．（2012•广州）四年级一些同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐7人，如果每条船坐9人，则有3条空船．共有（ ）名同学去划船．
A． 118 B． 122 C． 126 D． 130
E． 134
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 两次的总差额是：7+3×9=34（人），两次每条船载人的差额是：9﹣7=2（人），那么船的条数是：34÷2=17（条）；则总人数：7×（17+1）=126（人）；据此解答．
解答： 解：船：（7+3×9）÷（9﹣7），
=34÷2，
=17（条）；
共带：7×（17+1）=126（人）；
答：共有126名同学去划船．
故选：C．
点评： 盈亏问题的解答思路是：通过比较已知条件，找出两个相关的差数，再根据盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每条分配数的差）=船的条数解答．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
38．（2011•福州）有一批正方形砖，如拼成一个长与宽之比为5：4的大长方形，则余38块，如改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则少53块，那么，这批砖共有（ ）块．
A． 1838 B． 2038 C． 1853 D． 2053
考点： 盈亏问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 如图所示：如果改拼成长与宽各增加1块的大长方形，则需要砖多出：53+38=91（块），那么去掉右下角的一块，剩下的块数（91﹣1）=90块，就相当于沿原来长方形的一条长和一条宽上的块数和，然后按5：4的比例分配即可求出原来沿长和宽的块数，列式为：长：90÷（5+4）×5=50（块），宽：90÷（5+4）×4=40（块）；所以求这批砖的总块数，列式为：50×40+38=2038（块）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
53+38﹣1=90（块），
长：90÷（5+4）×5=50（块），
宽：90÷（5+4）×4=40（块）；
砖的总块数：50×40+38=2038（块）；
答：这批砖共有2038块．
故选：B．
点评： 本题是数形结合的盈亏问题与按比例分配问题的综合应用，比较难；关键是根据“长与宽之比为5：4”找到分配的数量和，即结合图形确定原来沿一条长和一条宽的块数和．
39．（2014•长沙）有若干个苹果和梨子，如果5个苹果和3个梨子做成一袋的话，还余4个苹果；梨恰好装完，如果7个苹果和3个梨子装成一袋的话，则还余12个梨子，苹果恰好装完，请问苹果和梨子各多少个？
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨多12只，相当于把原来装好的袋拿出了12÷3=4袋，抽出其中的苹果4×5=20只和原来剩下的4只（共20+4=24只）苹果，添加到其余原来装好的袋子中去．每袋添加2只，添加了24÷2=12袋刚好装完．所以，原来装了12+4=16袋，苹果有16×5+4=84只，梨有16×3=48只．
解答： 解：（12÷3）×5+4=24（只），
5只苹果和3只梨装一袋，共装了24÷2+4=16（袋），
所以苹果有：16×5+4=84（只），梨有16×3=48（只）；
答：苹果有84只，梨有48只．
点评： 解答此题的关键是明白，7只苹果和3只梨装一袋比5只苹果和3只梨装一袋多了2只苹果，梨从刚好到多12只，相当于把原来装好的袋拿出了12÷3=4袋，从而求得问题的答案．
40．（2014•济南）把一袋糖分给小朋友，如果每人分10颗，正好分完，如果每人分16颗，就有3个分不到糖，这袋糖有多少颗？
考点： 盈亏问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 如果每个小朋友分16粒，就有3个小朋友分不到糖，说明少48粒；每个小朋友分10粒，正好分完．说明每个小朋友分16粒比每个小朋友分10粒多分16﹣10=6（粒）．每个小朋友多分6个时差48粒，可知，小朋友的数量为48÷6=8（个），那么这袋糖共有10×8=80（粒）．
解答： 解：小朋友的数量：
16×3÷（16﹣10）
=48÷6
=8（个）
这袋糖果共有：
10×8=80（粒）
答：这袋糖有80粒．
点评： 解答此题用关系式“亏数÷两次分物数量的差=人数”来解答．
难点七、逆推问题
41．（2012•黄冈）池塘里某种水草生长极快，当天的水草数量是它前一天的2倍，又知10天长满池塘，（ ）天长了池塘的？
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
考点： 逆推问题．
专题： 还原问题．
分析： 此题采用逆推法解答．当天的水草数量是它前一天的2倍，又知道10天长满池塘，那么9天长到池塘的，则8天长到池塘的，据此解答．
解答： 解：因为当天的水草数量是它前一天的2倍，且10天长满池塘，
那么9天长到池塘的，
则8天长到池塘的，
故选：C．
点评： 此题如果按常规来做，会很麻烦，也不易推出答案，因此一改常规，从后先前推算，很容易得出结果．
42．（2012•广州）抽屉里有若干个玻璃杯，小军每次拿出其中的一半再放回一个，这样一共拿了2012次，抽屉里还有2个玻璃球．原来抽屉里有（ ）个玻璃球．
A． 2 B． 12 C． 22 D． 32
E． 42
考点： 逆推问题．
专题： 还原问题．
分析： 每次拿出其中的一半再放回一个球，也就是每次拿出其中的一半少1个；最后剩2个球，则第2012次拿之前的小球数为：2×（2﹣1）=2（个），同理推出第2011次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），…由此得出第一次拿之前的小球数．
解答： 解：第2012次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
第2011次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
第2010次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2（个），
…，据此可得
第1次拿之前的小球数：2×（2﹣1）=2 （个）；
答：袋中原来有2个球．
故选：A．
点评： 解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前逐步推算，推出初始数据．
难点八、牛吃草问题
43．（2014•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天；可供8头牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所用的草，问增加了 10 头牛．
考点： 牛吃草问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天”，草的生长速度为：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）=5份，原有草的份数为：12×9﹣5×12=48份，4头牛前6天一共吃了：4×6=24份，还剩下48+5×6﹣24=54份，后六天一共吃的草的份数为：54+5×6=84份，6天吃完所有草需要牛的头数是：84÷6=14头，增加了14﹣4=10头牛．据此解答即可．
解答： 解：设每头牛每天吃一份的草，
草的生长速度为：
（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）
=20÷4
=5（份）
原有草的份数为：
12×9﹣5×12
=108﹣60
=48（份）
4头牛前6一共吃了：4×6=24（份）
还剩下：48+5×6﹣24=54（份）
后六天一共吃的草的份数为：54+5×6=84（份）
增加牛的头数是：84÷6﹣4=10（头）．
答：增加了10头牛．
故答案为：10．
点评： 本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．
44．（2011•长沙）一片草地以均匀速度增长，10头牛可以吃40天，15头牛可以吃20天，那么25头牛可以吃 10 天．
考点： 牛吃草问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（40×10﹣15×20）÷（40﹣20）=5（份）；然后求出草地原有的草的份数：10×40﹣5×40=200（份）；再让25头牛中的5头吃生长的草，剩下的20头牛吃草地原有的200份草，可吃：200÷20=10（天）．
解答： 解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（40×10﹣15×20）÷（40﹣20）
=100÷20
=5（份）
草地原有的草的份数：
10×40﹣5×40
=400﹣200
=200（份）
每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的25﹣5=20头牛吃200份草：
200÷（25﹣5）
=200÷20
=10（天）
答：这片草地可供25头牛吃10天．
故答案为：10．
点评： 牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．
45．（2014•长沙）两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．那么，井深多少米？
考点： 牛吃草问题．
分析： 一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，白天爬；20×5=100（分米）；另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底，白天爬：15×6=90（分米）．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的．说明，每夜下滑：100﹣90=10（分米）．那么井深就是：（10+20）×5=150（分米）=15（米），或：（15+10）×6=150（分米）=15（米）．
解答： 解：（20×5﹣15×6+20）×5，
=30×5，
=150（分米）
=15（米）．
答：井深15米．
点评： 此题按牛吃草问题来处理，考查了学生的思维和推理能力．
46．（2014•济南）有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余8根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）．如果把8根出水管全部打开，需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管，需6小时把池内的水全部排光．问要想在4.5小时内把池内的水全部排光，需同时打开几个出水管？
考点： 牛吃草问题．
分析： 假设打开一根出水管每小时可排水“1份”，那么8根出水管开3小时共排出水8×3=24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6=30（份）；两种情况比较，可知3小时内进水管放进的水是30﹣24=6（份）；进水管每小时放进的水是6÷3=2（份）；在4.5小时内，池内原有的水加上进水管放进的水，共有8×3+（4.5﹣3）×2=27（份）．由此解答即可．
解答： 解：设打开一根出水管每小时可排出水“1份”，8根出水管开3小时共排出水8×3=24（份）；5根出水管开6小时共排出水5×6=30（份）．
30﹣24=6（份），这6份是“6﹣3=3”小时内进水管放进的水．
（30﹣24）÷（6﹣3）=6÷3=2（份），这“2份”就是进水管每小时进的水．
[8×3+（4.5﹣3）×2]÷4.5
=[24+1.5×2]÷4.5
=27÷4.5
=6（根）
答：需同时打开6根出水管．
点评： 此题属于牛吃草问题，解答关键是把打开一根出水管每小时可排水“1份”，进一步分析推理求解．
难点九、差倍问题
47．（2014•楚州区）甲乙两数之差是79.2，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，甲数是 88 ．
考点： 差倍问题．
专题： 文字叙述题．
分析： 根据题意，甲数的小数点向左移动一位后，正好和乙数相等，可得甲数是乙数的10倍，再根据甲乙两数之差是79.2，由差倍公式进一步解答．
解答： 解：乙数：79.2÷（10﹣1）=8.8；
甲数：8.8×10=88．
答：甲数是88．
故答案为：88．
点评： 关键是求出甲数与乙数的倍数关系，然后再根据它们的差，由差倍公式进一步解答．
48．（2012•长沙）一个数的小数点向右移动一位，则新数比原数大56.34，则原数是 6.26 ．
考点： 差倍问题．
专题： 文字叙述题．
分析： 一个小数的小数点向右移动一位，相当于此数扩大了10倍，原数是1份数，现在的数就是10份数，现在的数比原数大9份数，再根据这个数就比原数大56.34，进一步求出原数即可．
解答： 解：56.34÷（10﹣1）
=56.34÷9
=6.26
答：原数是6.26．
故答案为：6.26．
点评： 此题考查小数点的位置移动引起小数大小变化的规律：一个数的小数点向右（或向左）移动一位、两位、三位…，这个数就扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍…，反之也成立．
49．（2014•岳麓区）两辆汽车分别从AB两地同时出发，在距中点40千米处相遇，甲行全程需10小时，乙行全程需15小时．求AB两地距离．（用多种方法解答）
考点： 差倍问题；分数除法应用题；相遇问题．
分析： 根据题意，可知甲乙相遇时，甲比乙用的时间少，也就是说甲行驶的距离比乙行驶的距离长，也就是说，甲行驶到中点又行驶了40千米，而乙行驶的还差40千米到中点．解法一是把全程看作单位一，求出行驶时间，再根据时间×速度=路程，列出方程解答；解法二是根据相遇时间相等，由路程÷速度=时间，列出方程解答．
解答： 解：方法一：设A、B两地的距离为x千米，则甲的速度为，乙的速度为，
行驶的时间：1÷（+）=6（小时）；
由题意得，﹣40=+40，
=80，
18x﹣12x=80×30，
6x=2400，
x=400；
方法二：设距离为y千米，甲的速度为，乙的速度为．
在距离中点40千米处相遇时时间相等，可列出方程，
（﹣40）÷=（+40）÷，
（﹣40）×=（+40）×，
15×（﹣40）=10×（+40），
7.5y﹣5y=400+600，
2.5y=1000，
y=400；
答：A、B两地的距离为400千米．
点评： 这是一道相遇问题，只要把握好他们的相遇时间一样，他们所走的路程和就是全程，根据题意，列出方程解答即可．
50．（2013•鹤山市）学校合唱队学生人数是乒乓球队的3倍，如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等．原来两个队各有学生多少人？（列方程解）
考点： 差倍问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意，设乒乓球队有x人，则合唱队就有3x人，根据“如果从合唱队调24人到乒乓球队，两个队的学生人数就正好相等”列方程解答即可．
解答： 解：设乒乓球队有x人，则合唱队就有3x人，
3x﹣24=x+24
2x=48
x=24
24×3=72（人）
答：原来乒乓球队有24人，合唱队就有72人．
点评： 解答此题关键是正确表示出后来两队的人数，利用人数相等来列方程．
难点十、方阵问题
51．（2013•二七区）有一堆棋子，排列成n×n的正方形方阵，多余出3只棋子；如果在这个正方形方阵横纵两个方向各增加一行，则缺少8只棋子．则这堆棋子有 28 只．
考点： 方阵问题．
专题： 方阵问题．
分析： 先求出现在最外层每边的棋子数：（3+8+1）÷2=6（只），然后根据“实方阵的总点数=每边的点数×每边的点数”，求出原来这堆棋子有多少只即可．
解答： 解：（3+8+1）÷2=6（枚），
6×6﹣8，
=36﹣8，
=28（枚）；
答：这堆棋子有28只．
故答案为：28．
点评： 本题关键是求出最外边的棋子数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，每边的人数=四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数．
52．（2012•仪征市）小华坐在班上的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4）这个班共 49 人．
考点： 方阵问题；数对与位置．
分析： 因为小华坐的位置，无论从哪个方向用数对表示都是（4，4），所以他应该坐在教室的最中间位置．
画出示意图比较好理解，如图，A点就是小华坐的位置．所以这个班共有学生：7×7=49（人）．
解答： 解：由分析可得，小华坐在教室的最中间位置，且他的前后左右都有3个同学，
即全班同学有7行7列：7×7=49（人）．
答：这个班共49人．
故答案为：49．
点评： 此题考查了数对的知识，以及对方阵问题的分析与理解能力，解答此类问题一般要画出图形帮助理解．
难点十一、和差问题
53．（2012•北京自主招生）今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共 41 千克，四种菜共 81 千克．
考点： 和差问题．
专题： 压轴题．
分析： 由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克，把它们加起来就是这四种菜的总千克数；求出总的千克数去掉花菜与白菜的千克数就可以求出包菜与菠菜的千克数．
解答： 解：由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克可知：
四种菜共重：53+28=81（千克）
那么由花菜和白菜共40千克可求出，
包菜与菠菜共重：81﹣40=41（千克）
故答案为：41，81．
点评： 本题主要是把题意分析好，根据题目给出的条件，不难求出要求的结果．
54．（2011•越秀区）一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋 10 元．
考点： 和差问题．
分析： 把外衣和帽子的价钱看成一个整体，由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，这样就可以根据和差公式求出鞋的价钱是多少．
解答： 解：由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得，
鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元）
故答案：10．
点评： 有三个或更多物体时，可以把其中两个或几个看成一个整体，再根据题意，由和差公式就可以求出答案．
55．（2011•汉阳区）街道一则的大厦从1开始按顺序编号，直到街尾，然后从对面街上的大厦开始往回继续编号，到编号为1的大厦对面结束，每栋大厦都与对面的大厦恰好相对，若编号为134的大厦在编号为295的大厦对面，那么比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是 214 ．
考点： 和差问题．
专题： 和差问题．
分析： 根据题意，相对的两个大厦的编号之和为134+295=429，要求比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是多少，根据和差问题的解法，从429里面减去1，再除以2即可．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
解答： 解：（134+295﹣1）÷2，
=428÷2，
=214；
答：比对面大厦编号恰好小1的大厦的编号是214．
故答案为：214．
点评： 解答此题的关键是求出相对的两个大厦的编号之和，然后根据关系式：（和﹣差）÷2列式解答．
56．（2013•黎平县）有两瓶饮料，第一瓶有460克，第二瓶有350克，要使两瓶饮料同样多，应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料？
考点： 和差问题．
专题： 和差问题．
分析： 要求应该从第一瓶倒入第二瓶多少克饮料，才使两瓶饮料同样多，应先求出两瓶饮料的平均数，即：（460+350）÷2=405（克），所以应该从第一瓶倒入第二瓶460﹣405，计算解决问题．
解答： 解：（460+350）÷2，
=810÷2，
=405（克）；
460﹣405=55（克）；
答：应该从第一瓶倒入第二瓶55克饮料．
点评： 此题解答的关键是先求出两瓶饮料的平均数，进一步解决问题．
57．（2012•上海）小亚和小巧一共打了486个字，小亚比小巧多打了56个字，小亚打了多少个字？小巧打了多少个字？
考点： 和差问题．
分析： 由题意知两人打字的和与差，则根据大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，即可求出问题．
解答： 解：小亚打字个数为：
（486+56）÷2，
=542÷2，
=271（个）；
小巧打字个数为：
486﹣271=215（个），
答：小亚打了271个字，小巧打了215个字．
点评： 此题属和差问题，大数=（和+差）÷2，小数=和﹣大或小数=（和﹣差）÷2，或小数=大数﹣差．
58．（2012•广州校级自主招生）某次大会安排代表住宿，若每间2人，则有12人没有床位；若每间3人，则多出2个空床位．问宿舍共有几间？代表共有几人？
考点： 和差问题．
分析： 根据题意，当每个房间增加3﹣2=1个人的时候，原来12个没有床位的人都有了床位，还多出2个床来，也就是说，每个房间增加一个床位，就会多出12+2=14个床，所以一共有（12+2）÷（3﹣2）=14（间）房，再根据题意就可求出总人数．
解答： 解：根据题意可得宿舍的间数是：（12+2）÷（3﹣2）=14（间）；
那么代表的人数是：14×2+12=40（人）．
答：宿舍共有14间，代表共有40人．
点评： 根据题意，弄清题目给出的条件和问题，进一步解答即可．
难点十二、归一归总问题
59．（2011•越秀区）一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排 14 人淘水．
考点： 归一归总问题．
分析： 从题意中我们不知道船舱原来有多少水，也不知道每小时进多少水和每人每小时淘多少水，为了便于计算我们就要设定其中一个量，将一人一小时淘出的水量定为1．我们可以分别求出3小时和8小时水的总量，即10人和5人淘水的量：
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
3小时和8小时之间水的总量的差距就可以求出每小时的进水量：
每小时的进水量 （40﹣30）/（8﹣3）=2
从2小时到3小时，有进水1小时，即进水量为2那么：
2小时的总水量 30﹣2=28，
用2小时水的总量28除以时间2小时，再除以一人一小时淘出的水量1，就是需要的人数．
即28÷2÷1=14．
解答： 解：设一人一小时淘出的水量定为1，
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
每小时的进水量 （40﹣30）÷（8﹣3）=2
2小时的总水量 30﹣2=28
需要的人数28÷2÷1=14（人）．
故答案为：14．
点评： 本题较难理解，题目中没有给出任何水的量，我们就由数学常用的设定量法来分析，设定每人每小时淘水量为1．然后再逐步分析解答．
60．（2012•文昌）
照这样计算，1000吨铁矿石可以炼铁多少吨？
考点： 归一归总问题．
分析： 根据题意，每10吨铁矿石可以炼铁6.05吨，可以求出1吨铁矿石可以炼铁吨数是：6.05÷10=0.605（吨），再根据题意，就可以求出1000吨铁矿石可以炼铁的吨数．
解答： 解：由题意可得1吨铁矿石可以炼铁吨数是：6.05÷10=0.605（吨），
那么1000吨铁矿石可以炼铁的吨数是：0.605×1000=605（吨）．
答：1000吨铁矿石可以炼铁605吨．
点评： 根据题意，先求出1吨铁矿石可以炼铁的吨数，再根据题目给出的条件和问题进一步解答即可．
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