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2020--2021年福建省福州市鼓楼区屏东中学中考数学适应性试卷（二） 解析版
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这是一份2020--2021年福建省福州市鼓楼区屏东中学中考数学适应性试卷（二） 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）实数，π+1，﹣0.010010001，中，无理数是（ ）
A．B．π+1
C．﹣0.010010001D．
2．（4分）某区师生在为武改举行的爱心捐款活动中总计捐款约18万元，把18万用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．18×104C．1.8×104D．18×105
3．（4分）如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．3a2b﹣3ab2＝0
C．a2•a4＝a6D．（）2＝
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．（4分）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能等确定
7．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A．4πcm2B．6πcm2C．9πcm2D．12πcm2
9．（4分）2019年以来，中美贸易摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述不正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2019年进口增速最快
10．（4分）抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤3
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）有两个检查组各随机抽取辖区内某两个小区中的一个进行“垃圾分类”检查，则两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是 ．
13．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，则顶点C的坐标是 ．
14．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
15．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 ．
三、简答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：
18．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，求证：△ABE≌△ADF．
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x），其中x＝+1．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
21．（8分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个
科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场40名考生的两科考试成绩的数据统计如下表所示．
（1）若等级A，B．C，D，E分别对应50分，40分，30分，20分，10分，请以平均分为依据，判断该考场考生“数学与逻辑”、“阅读与表达”这两个科目哪个成绩更好；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
22．（10分）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电．
（1）求焚烧一吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）若A、B两个发电厂共焚烧100吨的垃圾，其中A发电厂焚烧量超过60吨，B发电厂改进工艺后每焚一吨垃圾，多发a度电（0＜a＜20），当这两个发电厂的总发电量达到28800度时，求a的取值范围．
23．（10分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）判断BD是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE＝6，sin∠BFA＝，求⊙O的直径长．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，＝，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）GF与AE之间的位置关系是： ，的值是： ，请证明你的结论；
（2）连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．
2020--2021年福建省福州市鼓楼区屏东中学中考数学适应性试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）实数，π+1，﹣0.010010001，中，无理数是（ ）
A．B．π+1
C．﹣0.010010001D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
﹣0.010010001是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
π+1是无理数．
故选：B．
2．（4分）某区师生在为武改举行的爱心捐款活动中总计捐款约18万元，把18万用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．18×104C．1.8×104D．18×105
【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．
【解答】解：18万＝180000＝1.8×105，
故选：A．
3．（4分）如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，上边是一个小矩形，两矩形没有邻边，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．3a2b﹣3ab2＝0
C．a2•a4＝a6D．（）2＝
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．（a2）5＝a10，故本选项不合题意；
B.3a2b与﹣3ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a2•a4＝a6，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，
多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900°﹣360°＝540°，
∴多边形的边数是：
540°÷180°+2
＝3+2
＝5．
故选：B．
6．（4分）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能等确定
【分析】先根据点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，求得y1，y2的值，进而可得出y1，y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣1y1＝﹣2y2＝3，
∴y1＝﹣3，y2＝﹣1.5，
∴y1＜y2，
故选：C．
7．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：D．
8．（4分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A．4πcm2B．6πcm2C．9πcm2D．12πcm2
【分析】根据圆锥的计算公式即可求出答案．
【解答】解：由弧长公式可知：＝＝4π
∴底面圆的周长为4π，
设底面圆的半径为CD＝r，
∴4π＝2πr
∴r＝2，
∴圆锥的底面积为π×22＝4π，
故选：A．
9．（4分）2019年以来，中美贸易摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述不正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2019年进口增速最快
【分析】结合条形图对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：A．这五年，2015年出口额最少，此选项正确，不符合题意；
B．2015年进出口总额相当，其他年份出口总额均大于进口总额，所以这五年，出口总额比进口总额多，此选项正确，不符合题意；
C．这五年，出口增速前三年逐年下降，此选项错误，符合题意；
D．这五年，2019年进口增速最快，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
10．（4分）抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤3
【分析】求得抛物线的对称轴，根据点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，即可得到0＜|1+|≤，解得a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：4﹣a＝m，得到a＝4﹣m，所以4﹣m≥1，解得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣，
∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，
∴0＜|1+|≤，
∴0＜≤，
∴a≥1，
把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：
a+1﹣2a+3＝m，
∴4﹣a＝m，
∴a＝4﹣m，
∴4﹣m≥1，
∴m≤3，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据分母不为0、二次根式的被开方数是非负数进行解答．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
12．（4分）有两个检查组各随机抽取辖区内某两个小区中的一个进行“垃圾分类”检查，则两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是 ．
【分析】将三个小区分别记为A、B，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：将三个小区分别记为A、B，
列表如下：
由表可知，共有4种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有2种，
∴两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是＝，
故答案为：．
13．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，则顶点C的坐标是 （2，﹣1） ．
【分析】根据菱形的性质解答即可．
【解答】解：∵菱形OABC，顶点O、A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，
∴C与A关于x轴对称，
所以点C的坐标是（2，﹣1）；
故答案为：（2，﹣1）．
14．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 1200（﹣1） 米（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【解答】解：由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°
∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B＝
∴HB＝＝
＝＝1200（米）．
∴AB＝HB﹣HA
＝1200﹣1200
＝1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
15．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
16．（4分）如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 +1 ．
【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝，CD＝，
∴OC＝OM+DM+CD＝+1，
故答案为：+1．
三、简答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＞4，
故不等式组的解集为：x＞4．
18．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，求证：△ABE≌△ADF．
【分析】根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，由等角的补角性质得∠ABE＝∠ADF，最后根据SAS证明即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x），其中x＝+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线，分别交BC于E，交AD于F，连接AE，CF，则四边形AECF是菱形；
（2）依据勾股定理即可得到AE和AO的长，再根据勾股定理即可得出OE的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EF＝2OE．
【解答】解：（1）如图所示，菱形AECF即为所求；
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∵Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∴Rt△AOE中，OE＝＝，
∵AE＝CE，OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵AF∥CE，
∴∠CEO＝∠AFO，
∴∠AEO＝∠AFO，
∴AE＝AF，
又∵AO⊥EF，
∴O是EF的中点，
∴EF＝2OE＝．
21．（8分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个
科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场40名考生的两科考试成绩的数据统计如下表所示．
（1）若等级A，B．C，D，E分别对应50分，40分，30分，20分，10分，请以平均分为依据，判断该考场考生“数学与逻辑”、“阅读与表达”这两个科目哪个成绩更好；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
【分析】（1）分别计算该考场考生“数学与逻辑”和“阅读与表达”的平均分进行比较即可得出结果；
（2）求出成绩为A的共4人，设这4人分别为：甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩均为A的考生，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两人恰好两科成绩均为A的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该考场考生“数学与逻辑”的平均分为：＝29，
该考场考生“阅读与表达”的平均分为：＝31.75，
∵31.75＞29，
∴“阅读与表达”科目成绩更好；
（2）∵两科考试中，共有6个A，又恰有两人的两科成绩均为A，
∴还有2人只有一个科目成绩为A，
设这4人分别为：甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩均为A的考生，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两人恰好两科成绩均为A的结果为2种，
∴这两人的两科成绩均为A的概率＝＝．
22．（10分）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电．
（1）求焚烧一吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）若A、B两个发电厂共焚烧100吨的垃圾，其中A发电厂焚烧量超过60吨，B发电厂改进工艺后每焚一吨垃圾，多发a度电（0＜a＜20），当这两个发电厂的总发电量达到28800度时，求a的取值范围．
【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电m度，B发电厂发电n度，根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电”列方程组解答即可；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（100﹣x）吨垃圾，根据这两个发电厂的总发电量达到28800度，列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电m度，B发电厂发电n度，
根据题意得：，
解得．
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（100﹣x）吨垃圾，依题意有
300x+（260+a）（100﹣x）＝28800，
解得x＝，
由题意得60＜x＜100，即60＜＜100，
∵0＜a＜20，
∴40﹣a＞0，
解得a＜10，
∴a的取值范围是0＜a＜10．
23．（10分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）判断BD是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE＝6，sin∠BFA＝，求⊙O的直径长．
【分析】（1）连接BO，根据三角形的内角和定理可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD＝90°，BD是⊙O的切线；
（2）过点B作BH⊥AE于H．如图，根据已知条件得到△ABO为等边三角形，求得∠AOB＝60°，根据圆周角定理得到∠E＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB 如图，
∵AB＝AD＝AO，
∴∠DBA＝∠D，∠ABO＝∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB＝180°，
∴∠DBA+∠ABO＝90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：过点B作BH⊥AE于H．如图，
∵AB＝AO，AO＝OB，
∴AB＝AO＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝30°，
∵∠E＝∠C，
∴∠E＝30°，
∵BE＝6，
∴BH＝BE＝3，EH＝BE＝3，
在Rt△BHF中，BH＝3，sin∠BFA＝，
∴BF＝，
在Rt△ABF中，∵sin∠BFA＝＝，
∴设AB＝x，AF＝3x，
∴BF＝＝2x＝，
∴x＝，
∴AB＝，
∴⊙O的直径长为9．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，＝，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）GF与AE之间的位置关系是： GF⊥AE ，的值是： ，请证明你的结论；
（2）连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
【分析】（1）由折叠性质得，∠AOF＝∠EOF，进而得AE⊥GF；过G作GM⊥AB于M，证明△ABE∽△GMF，便可得出
．；
（2）延长BC与GP，两延长线交于点L，过P作PK⊥CL于点K，得∠BFE＝∠PEL＝∠CGL，借助已知函数值，得出BE与BF的关系，在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程求得各边长度，在Rt△PEK中求出各边长，进而在Rt△CPK中由勾股定理求得结果．
【解答】解：（1）GF⊥AE，．理由如下：
由折叠性质可知，∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴AE⊥GF；
过G作GM⊥AB于M，如图，得矩形ADGM，
则AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，
∵∠MFG+∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵∠B＝∠FMG＝90°，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝2，
∴，
故答案为：AE⊥GF；；
（2）延长BC与GP，两延长线交于点L，过P作PK⊥CL于点K，如图，
由折叠知，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠PEL+∠L＝90°，
∵∠BCD＝∠DCL＝90°，
∴∠CGP+∠L＝90°，
∴∠PEL＝∠CGL，
∵∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠PEL＝90°，
∴∠BFE＝∠PEL＝∠CGL，
∵tan∠CGP＝，
∴tan∠bBFE＝，
不妨设BE＝3x，则BF＝4x，
∴AF＝EF＝，
∴AB＝9x，
∵AE＝2FG，GF＝2，
∴AG＝4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
81x2+9x2＝160，
解得x＝，
∴AB＝9×＝12，BE＝4，
∴EP＝AD＝＝6，CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∵tan∠PEK＝，
不妨设PK＝3y，EK＝4y，
在Rt△PEK中，由勾股定理得16y2+9y2＝62，
解得，y＝，
∴PK＝，EK＝，
∴CK＝EK﹣EC＝，
∴CP＝．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出直线BC解析式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），可得PF＝﹣x2+3x，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，分别求出点D，点E，点A，点B的坐标，由锐角三角函数可得tan∠BDH＝tan∠HAE＝，可得∠HAE＝∠BDH，即可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣3），
∵点B（3，0），点C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
如图1，过点P作PF⊥x轴，交BC于F，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△PBC＝×（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PBC的面积最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）DB⊥AE，
理由如下：如图2，连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
∴点A（，0），点B（，0），
∵直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，
∴1＝x2+bx+c，
∴x＝，
∴点D（，1），
∵点E与点D关于x轴对称，
∴点E（，﹣1），点H（，0），DH＝HE＝1，
∴AH＝﹣＝，BH＝﹣＝，
∵tan∠BDH＝＝，tan∠HAE＝＝＝，
∴tan∠BDH＝tan∠HAE，
∴∠HAE＝∠BDH，
又∵∠ABH＝∠DBH，
∴∠ANB＝∠AHD＝90°，
∴DB⊥AE．
等级
A
B
C
D
E
人数（数学与逻辑）
3
10
15
4
8
人数（阅读与表达）
3
15
12
6
4
A
B
A
（A，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
等级
A
B
C
D
E
人数（数学与逻辑）
3
10
15
4
8
人数（阅读与表达）
3
15
12
6
4
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）实数，π+1，﹣0.010010001，中，无理数是（ ）
A．B．π+1
C．﹣0.010010001D．
2．（4分）某区师生在为武改举行的爱心捐款活动中总计捐款约18万元，把18万用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．18×104C．1.8×104D．18×105
3．（4分）如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．3a2b﹣3ab2＝0
C．a2•a4＝a6D．（）2＝
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．（4分）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能等确定
7．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A．4πcm2B．6πcm2C．9πcm2D．12πcm2
9．（4分）2019年以来，中美贸易摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述不正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2019年进口增速最快
10．（4分）抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤3
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）有两个检查组各随机抽取辖区内某两个小区中的一个进行“垃圾分类”检查，则两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是 ．
13．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，则顶点C的坐标是 ．
14．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
15．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 ．
三、简答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：
18．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，求证：△ABE≌△ADF．
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x），其中x＝+1．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
21．（8分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个
科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场40名考生的两科考试成绩的数据统计如下表所示．
（1）若等级A，B．C，D，E分别对应50分，40分，30分，20分，10分，请以平均分为依据，判断该考场考生“数学与逻辑”、“阅读与表达”这两个科目哪个成绩更好；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
22．（10分）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电．
（1）求焚烧一吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）若A、B两个发电厂共焚烧100吨的垃圾，其中A发电厂焚烧量超过60吨，B发电厂改进工艺后每焚一吨垃圾，多发a度电（0＜a＜20），当这两个发电厂的总发电量达到28800度时，求a的取值范围．
23．（10分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）判断BD是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE＝6，sin∠BFA＝，求⊙O的直径长．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，＝，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）GF与AE之间的位置关系是： ，的值是： ，请证明你的结论；
（2）连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．
2020--2021年福建省福州市鼓楼区屏东中学中考数学适应性试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）实数，π+1，﹣0.010010001，中，无理数是（ ）
A．B．π+1
C．﹣0.010010001D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
﹣0.010010001是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
π+1是无理数．
故选：B．
2．（4分）某区师生在为武改举行的爱心捐款活动中总计捐款约18万元，把18万用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．18×104C．1.8×104D．18×105
【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，10的指数n比原来的整数位数少1．
【解答】解：18万＝180000＝1.8×105，
故选：A．
3．（4分）如图所示的工件是由两个长方体构成的组合体，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，上边是一个小矩形，两矩形没有邻边，
故选：A．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．3a2b﹣3ab2＝0
C．a2•a4＝a6D．（）2＝
【分析】分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．（a2）5＝a10，故本选项不合题意；
B.3a2b与﹣3ab2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a2•a4＝a6，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和总共是900°，则此多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】本题需先根据已知条件，再根据多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，
多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900°﹣360°＝540°，
∴多边形的边数是：
540°÷180°+2
＝3+2
＝5．
故选：B．
6．（4分）点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能等确定
【分析】先根据点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，求得y1，y2的值，进而可得出y1，y2的大小关系．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣1y1＝﹣2y2＝3，
∴y1＝﹣3，y2＝﹣1.5，
∴y1＜y2，
故选：C．
7．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：D．
8．（4分）如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A．4πcm2B．6πcm2C．9πcm2D．12πcm2
【分析】根据圆锥的计算公式即可求出答案．
【解答】解：由弧长公式可知：＝＝4π
∴底面圆的周长为4π，
设底面圆的半径为CD＝r，
∴4π＝2πr
∴r＝2，
∴圆锥的底面积为π×22＝4π，
故选：A．
9．（4分）2019年以来，中美贸易摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述不正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少
B．这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降
D．这五年，2019年进口增速最快
【分析】结合条形图对各选项逐一判断即可得．
【解答】解：A．这五年，2015年出口额最少，此选项正确，不符合题意；
B．2015年进出口总额相当，其他年份出口总额均大于进口总额，所以这五年，出口总额比进口总额多，此选项正确，不符合题意；
C．这五年，出口增速前三年逐年下降，此选项错误，符合题意；
D．这五年，2019年进口增速最快，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
10．（4分）抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤3
【分析】求得抛物线的对称轴，根据点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，即可得到0＜|1+|≤，解得a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：4﹣a＝m，得到a＝4﹣m，所以4﹣m≥1，解得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣，
∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，
∴0＜|1+|≤，
∴0＜≤，
∴a≥1，
把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：
a+1﹣2a+3＝m，
∴4﹣a＝m，
∴a＝4﹣m，
∴4﹣m≥1，
∴m≤3，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】根据分母不为0、二次根式的被开方数是非负数进行解答．
【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
12．（4分）有两个检查组各随机抽取辖区内某两个小区中的一个进行“垃圾分类”检查，则两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是 ．
【分析】将三个小区分别记为A、B，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：将三个小区分别记为A、B，
列表如下：
由表可知，共有4种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有2种，
∴两个检查组同时抽查到同一个小区的概率是＝，
故答案为：．
13．（4分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O，A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，则顶点C的坐标是 （2，﹣1） ．
【分析】根据菱形的性质解答即可．
【解答】解：∵菱形OABC，顶点O、A的坐标分别是（0，0），（2，1），点B在x轴正半轴上，
∴C与A关于x轴对称，
所以点C的坐标是（2，﹣1）；
故答案为：（2，﹣1）．
14．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 1200（﹣1） 米（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
【解答】解：由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°
∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B＝
∴HB＝＝
＝＝1200（米）．
∴AB＝HB﹣HA
＝1200﹣1200
＝1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
15．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
16．（4分）如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 +1 ．
【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝，CD＝，
∴OC＝OM+DM+CD＝+1，
故答案为：+1．
三、简答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＞4，
故不等式组的解集为：x＞4．
18．（8分）如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F，满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，求证：△ABE≌△ADF．
【分析】根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，由等角的补角性质得∠ABE＝∠ADF，最后根据SAS证明即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）．
19．（8分）先化简，再求值：÷（﹣x），其中x＝+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝．
20．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8．
（1）请利用直尺和圆规作菱形AECF，点E、F分别在BC、AD上（不写作法，仅保留作图痕迹）；
（2）求EF的长．
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线，分别交BC于E，交AD于F，连接AE，CF，则四边形AECF是菱形；
（2）依据勾股定理即可得到AE和AO的长，再根据勾股定理即可得出OE的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EF＝2OE．
【解答】解：（1）如图所示，菱形AECF即为所求；
（2）设AE＝CE＝x，则BE＝8﹣x，
∵∠B＝90°，
∴Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，
∵Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∴Rt△AOE中，OE＝＝，
∵AE＝CE，OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵AF∥CE，
∴∠CEO＝∠AFO，
∴∠AEO＝∠AFO，
∴AE＝AF，
又∵AO⊥EF，
∴O是EF的中点，
∴EF＝2OE＝．
21．（8分）在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个
科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场40名考生的两科考试成绩的数据统计如下表所示．
（1）若等级A，B．C，D，E分别对应50分，40分，30分，20分，10分，请以平均分为依据，判断该考场考生“数学与逻辑”、“阅读与表达”这两个科目哪个成绩更好；
（2）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
【分析】（1）分别计算该考场考生“数学与逻辑”和“阅读与表达”的平均分进行比较即可得出结果；
（2）求出成绩为A的共4人，设这4人分别为：甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩均为A的考生，画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两人恰好两科成绩均为A的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该考场考生“数学与逻辑”的平均分为：＝29，
该考场考生“阅读与表达”的平均分为：＝31.75，
∵31.75＞29，
∴“阅读与表达”科目成绩更好；
（2）∵两科考试中，共有6个A，又恰有两人的两科成绩均为A，
∴还有2人只有一个科目成绩为A，
设这4人分别为：甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩均为A的考生，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两人恰好两科成绩均为A的结果为2种，
∴这两人的两科成绩均为A的概率＝＝．
22．（10分）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电．
（1）求焚烧一吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）若A、B两个发电厂共焚烧100吨的垃圾，其中A发电厂焚烧量超过60吨，B发电厂改进工艺后每焚一吨垃圾，多发a度电（0＜a＜20），当这两个发电厂的总发电量达到28800度时，求a的取值范围．
【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电m度，B发电厂发电n度，根据“每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧40吨垃圾比B焚烧50吨垃圾少发1000度电”列方程组解答即可；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（100﹣x）吨垃圾，根据这两个发电厂的总发电量达到28800度，列出方程解答即可．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电m度，B发电厂发电n度，
根据题意得：，
解得．
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（100﹣x）吨垃圾，依题意有
300x+（260+a）（100﹣x）＝28800，
解得x＝，
由题意得60＜x＜100，即60＜＜100，
∵0＜a＜20，
∴40﹣a＞0，
解得a＜10，
∴a的取值范围是0＜a＜10．
23．（10分）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）判断BD是否是⊙O的切线，请说明理由；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BE＝6，sin∠BFA＝，求⊙O的直径长．
【分析】（1）连接BO，根据三角形的内角和定理可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD＝90°，BD是⊙O的切线；
（2）过点B作BH⊥AE于H．如图，根据已知条件得到△ABO为等边三角形，求得∠AOB＝60°，根据圆周角定理得到∠E＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB 如图，
∵AB＝AD＝AO，
∴∠DBA＝∠D，∠ABO＝∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB＝180°，
∴∠DBA+∠ABO＝90°，
∴OB⊥BD，
∵点B在⊙O，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：过点B作BH⊥AE于H．如图，
∵AB＝AO，AO＝OB，
∴AB＝AO＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝30°，
∵∠E＝∠C，
∴∠E＝30°，
∵BE＝6，
∴BH＝BE＝3，EH＝BE＝3，
在Rt△BHF中，BH＝3，sin∠BFA＝，
∴BF＝，
在Rt△ABF中，∵sin∠BFA＝＝，
∴设AB＝x，AF＝3x，
∴BF＝＝2x＝，
∴x＝，
∴AB＝，
∴⊙O的直径长为9．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，＝，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）GF与AE之间的位置关系是： GF⊥AE ，的值是： ，请证明你的结论；
（2）连接CP，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．
【分析】（1）由折叠性质得，∠AOF＝∠EOF，进而得AE⊥GF；过G作GM⊥AB于M，证明△ABE∽△GMF，便可得出
．；
（2）延长BC与GP，两延长线交于点L，过P作PK⊥CL于点K，得∠BFE＝∠PEL＝∠CGL，借助已知函数值，得出BE与BF的关系，在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程求得各边长度，在Rt△PEK中求出各边长，进而在Rt△CPK中由勾股定理求得结果．
【解答】解：（1）GF⊥AE，．理由如下：
由折叠性质可知，∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴AE⊥GF；
过G作GM⊥AB于M，如图，得矩形ADGM，
则AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，
∵∠MFG+∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵∠B＝∠FMG＝90°，
∴△ABE∽△GMF，
∴＝2，
∴，
故答案为：AE⊥GF；；
（2）延长BC与GP，两延长线交于点L，过P作PK⊥CL于点K，如图，
由折叠知，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠PEL+∠L＝90°，
∵∠BCD＝∠DCL＝90°，
∴∠CGP+∠L＝90°，
∴∠PEL＝∠CGL，
∵∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠PEL＝90°，
∴∠BFE＝∠PEL＝∠CGL，
∵tan∠CGP＝，
∴tan∠bBFE＝，
不妨设BE＝3x，则BF＝4x，
∴AF＝EF＝，
∴AB＝9x，
∵AE＝2FG，GF＝2，
∴AG＝4，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
81x2+9x2＝160，
解得x＝，
∴AB＝9×＝12，BE＝4，
∴EP＝AD＝＝6，CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∵tan∠PEK＝，
不妨设PK＝3y，EK＝4y，
在Rt△PEK中，由勾股定理得16y2+9y2＝62，
解得，y＝，
∴PK＝，EK＝，
∴CK＝EK﹣EC＝，
∴CP＝．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．
（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；
（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出直线BC解析式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），可得PF＝﹣x2+3x，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；
（3）连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，分别求出点D，点E，点A，点B的坐标，由锐角三角函数可得tan∠BDH＝tan∠HAE＝，可得∠HAE＝∠BDH，即可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣3），
∵点B（3，0），点C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
如图1，过点P作PF⊥x轴，交BC于F，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则F（x，x﹣3），
∴PF＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∴S△PBC＝×（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△PBC的面积最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）DB⊥AE，
理由如下：如图2，连接DB并延长交AE于N，设DE交x轴于H，
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
∴点A（，0），点B（，0），
∵直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，
∴1＝x2+bx+c，
∴x＝，
∴点D（，1），
∵点E与点D关于x轴对称，
∴点E（，﹣1），点H（，0），DH＝HE＝1，
∴AH＝﹣＝，BH＝﹣＝，
∵tan∠BDH＝＝，tan∠HAE＝＝＝，
∴tan∠BDH＝tan∠HAE，
∴∠HAE＝∠BDH，
又∵∠ABH＝∠DBH，
∴∠ANB＝∠AHD＝90°，
∴DB⊥AE．
等级
A
B
C
D
E
人数（数学与逻辑）
3
10
15
4
8
人数（阅读与表达）
3
15
12
6
4
A
B
A
（A，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
等级
A
B
C
D
E
人数（数学与逻辑）
3
10
15
4
8
人数（阅读与表达）
3
15
12
6
4
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