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试卷 北师大版八年级下册数学期末考试试题及答案
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这是一份试卷 北师大版八年级下册数学期末考试试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级下册数学期末考试试卷
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y）
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．霾 B．大雪 C．拂尘 D．大雨
3．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
9．方程﹣=0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
13．若方程组的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知，则= ．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
18．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= ．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 厘米．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．
三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
23．解方程：．
24．先化简，再求值．
（1）（1+）÷，其中x=﹣5．
（2）÷（m+2﹣），其中m2+3m+1=0．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y）
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．霾
B．大雪
C．拂尘
D．大雨
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1=0且x﹣1≠0，
解得 x=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA=PQ，可求得PQ=2．
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=2，
故选B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【考点】分式方程的解．
【分析】由题意分式方程的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范围．注意最简公分母不为0．
【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分母不为0．
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确；
D、4+6=10，不能够成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，关键是掌握三角形第三边大于两边之差小于两边之和．平行四边形的对角线互相平分．
9．方程﹣=0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】行程问题．
【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得， =．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的长．
【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=3，
∴EC=CD﹣ED=5﹣3=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
13．若方程组的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】本题可将两式相加，得到4x+4y=k+4，根据x+y的取值，可得出k的值．
【解答】解：两式相加得：4x+4y=k+4
∵x+y＞0
∴4x+4y=4（x+y）＞0
即k+4＞0
k＞﹣4
故选B．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y的形式，再根据x+y＞0求得k的取值．
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的．
【解答】解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以：
第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为×=（）2；
第4个三角形对应的周长为××=（）3；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1；
所以第2015个三角形对应的周长为（）2014．
故选：D．
【点评】此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的的规律，进行分析解决题目．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【考点】平行四边形的性质．
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”得
4x=6（20﹣x），解得x=12，
∴平行四边形ABCD的面积=4x=4×12=48．故选D．
【点评】本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积=底×高，可用两种方法表示．
二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知，则= ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得的值．
【解答】解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴==．
故答案为：
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
解得n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ± ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±．
【点评】解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= m（m+2n） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】根据平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）分解即可．
【解答】解：原式=（m+n+n）（m+n﹣n）
=m（m+2n）．
故答案为m（m+2n）．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式：平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 4 厘米．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可知OA=AC，OB=BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24厘米，
∴OB+0A=（AC+BD）=12厘米，
∵△OAB的周长是20厘米，
∴AB=20﹣12=8厘米，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=4厘米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC===5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜2．
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
在数轴上可表示为：．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
23．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．
24．先化简，再求值．
（1）（1+）÷，其中x=﹣5．
（2）÷（m+2﹣），其中m2+3m+1=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=•=，
当x=﹣5时，原式=；
（2）原式=÷=•=，
由m2+3m+1=0，得到m2+3m=﹣1，
则原式=﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，根据用300元，400元为老人们购买的甲、乙两种粽子共260个，列方程求解．
【解答】解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得， +=260，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙种粽子的单价为2.5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=3，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF，
∴AG=AC=3，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=4﹣3=1．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= t ；DP= 12﹣t ；BQ= 15﹣2t ；CQ= 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【考点】平行四边形的判定．
【专题】动点型．
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
北师大版八年级下册数学期末考试试卷
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y）
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．霾 B．大雪 C．拂尘 D．大雨
3．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
9．方程﹣=0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
13．若方程组的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知，则= ．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 ．
18．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= ．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 厘米．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 ．
三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
23．解方程：．
24．先化简，再求值．
（1）（1+）÷，其中x=﹣5．
（2）÷（m+2﹣），其中m2+3m+1=0．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= ；DP= ；BQ= ；CQ= ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共45分．在四个选项中只有一项是正确的．
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y）
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【分析】分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．
【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；
C、xy﹣x=x（y﹣1），正确；
D、2x+y无法因式分解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．
2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．霾
B．大雪
C．拂尘
D．大雨
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
4．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．
【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=75°，
∴∠C′CA=∠CAB=75°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=30°．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为零：分子等于零但分母不等于零．
【解答】解：依题意得 x2﹣1=0且x﹣1≠0，
解得 x=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA=PQ，可求得PQ=2．
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=2，
故选B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
【考点】分式方程的解．
【分析】由题意分式方程的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范围．注意最简公分母不为0．
【解答】解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
【点评】此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分母不为0．
8．平行四边形的一边长为10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．20cm和30cm D．8cm和12cm
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
C、10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确；
D、4+6=10，不能够成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，关键是掌握三角形第三边大于两边之差小于两边之和．平行四边形的对角线互相平分．
9．方程﹣=0解是（ ）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】多边形内角与外角．
【专题】常规题型．
【分析】由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握多边形的外角和定理是关键．
11．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】行程问题．
【分析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，根据用相同的时间甲走40千米，乙走50千米，列出方程．
【解答】解：设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时，
由题意得， =．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
12．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC=AD=DE=3，又有CD=AB=5，可求EC的长．
【解答】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD=AB=5，AD=BC=3．
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED=∠BAE，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED．
∴ED=AD=3，
∴EC=CD﹣ED=5﹣3=2．
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
13．若方程组的解为x，y，且x+y＞0，则k的取值范围是（ ）
A．k＞4 B．k＞﹣4 C．k＜4 D．k＜﹣4
【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】本题可将两式相加，得到4x+4y=k+4，根据x+y的取值，可得出k的值．
【解答】解：两式相加得：4x+4y=k+4
∵x+y＞0
∴4x+4y=4（x+y）＞0
即k+4＞0
k＞﹣4
故选B．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解的性质，通过化简得到x+y的形式，再根据x+y＞0求得k的取值．
14．如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的．
【解答】解：△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以：
第2个三角形对应周长为；
第3个三角形对应的周长为×=（）2；
第4个三角形对应的周长为××=（）3；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1；
所以第2015个三角形对应的周长为（）2014．
故选：D．
【点评】此题考查中位线定理，解决此题关键是找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的的规律，进行分析解决题目．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
【考点】平行四边形的性质．
【分析】已知平行四边形的高AE、AF，设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设BC=xcm，则CD=（20﹣x）cm，根据“等面积法”得
4x=6（20﹣x），解得x=12，
∴平行四边形ABCD的面积=4x=4×12=48．故选D．
【点评】本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积=底×高，可用两种方法表示．
二、填空题：每题4分，共24分．
16．已知，则= ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，设x=3k，y=5k，代入即可求得的值．
【解答】解：由题意，设x=3k，y=5k，
∴==．
故答案为：
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°=3×360°﹣180°，
解得n=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ± ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得
x﹣2（x﹣3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得m=±．
【点评】解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．分解因式：（m+n）2﹣n2= m（m+2n） ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【专题】计算题．
【分析】根据平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）分解即可．
【解答】解：原式=（m+n+n）（m+n﹣n）
=m（m+2n）．
故答案为m（m+2n）．
【点评】本题考查了运用公式法分解因式：平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
20．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF= 4 厘米．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可知OA=AC，OB=BD，结合AC+BD=24厘米，△OAB的周长是20厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC、BD的中点，
∵AC+BD=24厘米，
∴OB+0A=（AC+BD）=12厘米，
∵△OAB的周长是20厘米，
∴AB=20﹣12=8厘米，
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=4厘米，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．
21．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC===5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题：共7小题，满分51分．解答应写出文字说明过程或演算步骤．
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】本题考查不等式组的解法，首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．
【解答】解：解不等式①，得x≥﹣1．
解不等式②，得x＜2．
所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2．
在数轴上可表示为：．
【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
23．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
【解答】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．
24．先化简，再求值．
（1）（1+）÷，其中x=﹣5．
（2）÷（m+2﹣），其中m2+3m+1=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=•=，
当x=﹣5时，原式=；
（2）原式=÷=•=，
由m2+3m+1=0，得到m2+3m=﹣1，
则原式=﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．端午节期间，滕州市某敬老院分别用300元，400元为老人们购买了他们最爱吃的甲、乙两种粽子共260个，已知甲种粽子的单价比乙种粽子的单价高20%，求乙种粽子的单价是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，根据用300元，400元为老人们购买的甲、乙两种粽子共260个，列方程求解．
【解答】解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为（1+20%）x元，
由题意得， +=260，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙种粽子的单价为2.5元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
26．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=3，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF，
∴AG=AC=3，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=4﹣3=1．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．
【解答】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP= t ；DP= 12﹣t ；BQ= 15﹣2t ；CQ= 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【考点】平行四边形的判定．
【专题】动点型．
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP=t，CQ=2t，PD=12﹣t，BQ=15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t=15﹣2t，解得t=5．
∴运动5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP=tcm，CQ=2tcm，
∵AD=12cm，BC=15cm，
∴PD=AD﹣AP=12﹣t，
如图1当PQ∥CD，且PQ=CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴12﹣t=2t，
解得t=4s，
即当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中，解题的关键是把握“化动为静”的解题思想．
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