2021年高考数学复习之专题突破训1

这是一份2021年高考数学复习之专题突破训1，共86页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高考数学复习之专题突破训练《专题一：集合与常用逻辑用语》
一、选择题（共39小题）
1．（2019秋•东丽区校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是　　
A．某班个子较高的同学 B．大于2的整数
C．的近似值 D．长寿的人
2．（2019秋•思南县校级期中）设集合，则集合的子集个数为　　
A．3 B．4 C．8 D．16
3．（2018•芜湖模拟）已知集合，则集合的真子集个数为　　
A．31 B．32 C．3 D．4
4．（2018•西城区二模）若集合，，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
5．（2018春•东安区校级月考）设集合，，，，，，若，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
6．（2018秋•乃东区校级期末）设集合，，则等于　　
A． B．， C．，1， D．，，
7．（2018•丰台区二模）已知，，则　　
A．或 B． C． D．
8．（2018•兴庆区校级三模）已知集合，，0，，则　　
A． B． C．， D．
9．（2021•无锡模拟）设函数的定义域为，函数的定义域为，则　　
A． B．， C． D．，
10．（2020秋•松山区校级期末）设集合，，则　　
A． B．， C．， D．，
11．（2020秋•泰州期末）若集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|lgx＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，2） C．（0，1） D．（0，2）
12．（2020秋•徐州期末）已知全集，集合，2，，，则　　
A．，2， B． C．， D．，
13．（2021•西安一模）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
14．（2020秋•汕头期末）若集合，，则　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2021•江西模拟）已知集合，集合，则　　
A． B． C．，1，2， D．，2，
16．（2018秋•市中区校级月考）已知集合，则　　
A．， B．， C．， D．
17．（2020•七星区校级模拟）已知全集，集合，4，5，，则　　
A．， B．，2， C．，7， D．，2，7，
18．（2021•南昌模拟）若全集，2，3，4，5，，，3，，，3，，则集合　　
A．， B．，5， C．，5， D．，2，5，
19．（2021•宝鸡模拟）已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　）
A．{x|x＜0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x≥﹣1}
20．（2020秋•江阴市校级月考）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
21．（2018•马鞍山三模）命题：若，则，则命题的否命题为　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
22．（2020秋•桂林期末）命题“若，则”的否命题是　　
A．“若，则” B．“若，则”
C．“若，则” D．“若，则”
23．（2018秋•王益区期末）命题“若，则”的逆否命题是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
24．（2018秋•石家庄期末）下列说法中正确的是　　
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“若，则，全为0．”的逆否命题是“若，全不为0，则
D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
25．（2019•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（2020秋•绍兴期末）“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
27．（2020秋•扬中市校级期末）是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
28．（2020秋•大通县期末）“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
29．（2020秋•杨浦区期末）“，”是“”成立的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
30．（2020秋•张家界期末）设，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
31．（2020秋•通化县期末）“”是“直线和直线平行”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
32．（2019•绵阳模拟）已知命题，使得；命题，，则下列命题为真命题的是　　
A． B． C． D．
33．（2019春•沙坪坝区校级期末）命题：“关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1”
命题：“函数的定义域内为减函数”．
若为真命题，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
34．（2018秋•通化期末）已知命题，使得，命题，使得，则下列命题是真命题的是　　
A． B． C． D．
35．（2018•渭南二模）函数，若，，使得都有，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
36．（2020秋•青岛期末）命题“对，都有”的否定为　　
A．对，都有 B．对，都有
C．，使得 D．，使得
37．（2018春•大武口区校级期末）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
38．（2020秋•新乡期末）命题“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
39．（2021春•安徽月考）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（共26小题）
40．（2018•江苏二模）在平面直角坐标系中，设点的集合，，，且，则实数的取值范围是　　．
41．（2019秋•和平区校级月考）设，，集合，，，，，则　　．
42．（2018秋•吉林期中）设全集，3，5，7，，，，，，，则的值为　　．
43．（2020•江苏一模）已知集合，，则　　．
44．（2020•鼓楼区校级一模）集合，，，0，，若，则　　．
45．（2020秋•松江区期末）已知集合，，1，，则　　．
46．（2018秋•南昌期中）已知全集，4，，，，，则　　．
47．（2020•江苏模拟）已知全集，0，，集合，，则　　．
48．（2020•南通模拟）设全集，2，3，，集合，，，，则　 　．
49．（2019秋•滁州期末）已知全集，，0，1，，，则　　．
50．（2020•临朐县模拟）已知集合，，，，，，且，则　　．
51．（2019•思明区校级模拟）设，，命题“若，则”的逆否命题是　　．
52．（2018秋•青浦区期末）写出命题“若，则”的否命题　　．
53．（2018秋•东海县期中）命题：“若，则”的否命题是　　．
54．（2018•曲靖一模）若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是　 　．
55．（2020秋•南岗区校级期末）“”是“”的　　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
56．（2018秋•凉州区校级月考）已知命题，，命题，，若“”为假命题，则实数的取值范围为　 　．
57．（2021•大连模拟）命题“，”的否定是　　．
58．（2019秋•全国月考）若特称命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是　　．
59．（2018秋•东海县期中）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．
60．（2018春•淮安期末）若“，，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为　 　．
61．（2018•北京）能说明“若对任意的，都成立，则在，上是增函数”为假命题的一个函数是　　．
62．（2018秋•明山区校级期末）命题，的否定是　 　．
63．（2020秋•大通县期末）命题“，，”的否定为　　．
64．（2020秋•阜宁县期末）已知命题，，写出命题的否定：　　．
65．（2020秋•西青区期末）命题“，，使得”的否定形式是　 　．
三、解答题（共15小题）
66．（2020秋•赤峰期末）已知集合．
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
67．（2020秋•城关区校级期末）已知集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
68．（2020秋•利通区校级期末）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
69．（2020秋•深圳期末）设全集为，，．
（1）求及；
（2），且，求的取值范围．
70．（2020秋•中山市期末）已知集合，或．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
71．（2020秋•松山区校级月考）已知全集为，函数的定义域为集合，集合．
（1）求；
（2）若，，求实数的取值范围．
72．（2019秋•南昌期末）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求，求实数的取值范围．
73．（2019秋•金台区期末）写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
74．（2019秋•南关区校级月考）已知命题：若，则方程无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
75．（2020秋•株洲期末）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
76．（2020秋•城关区校级期末）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
77．（2020春•南关区期末）已知，．
（1）若是真命题，求对应的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
78．（2020秋•东湖区校级期末）已知：函数在其定义域上恒成立，：对任意，恒成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围．
79．（2019秋•高安市校级期中）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，，都，，使成立，求实数的取值范围．
80．（2019秋•上杭县校级月考）已知二次函数，为常数，且满足条件：，且方程有两相等实根．
（1）求的解析式；
（2）设命题：“函数在上有零点”，命题：“函数在上单调递增”；若命题“”为真命题，求实数的取值范围．

2021年高考数学复习之专题突破训练《专题一：集合与常用逻辑用语》
参考答案与试题解析
一、选择题（共39小题）
1．（2019秋•东丽区校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是　　
A．某班个子较高的同学 B．大于2的整数
C．的近似值 D．长寿的人
【答案】
【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性
【专题】21：阅读型
【分析】题目中给出了用自然语言描述的四类对象，要判断哪一个描述能够构成集合，就要紧扣集合中元素的确定性，描述的对象是确定的，可以构成集合，描述的对象不确定则不能构成集合．
【解答】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合．这种描述方法描述的对象不确定，因为没有规定身高多高为个子较高，所以构不成集合；
“大于2的整数”能够构成集合．它是一个明确的数集，集合中的元素都是大于2的整数；
“的近似值”不能构成集合．因为没有给出精确程度，所以没法判定．根据确定性的需要，你必须给出近似值的一个描述，即指明哪些数属于的近似值，因为“的近似值”这一说法是比较含糊的，所以不能构成集合；
“长寿的人”不能构成集合．因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合．
所以，构成集合的是“大于2的整数”．
故选：．
【点评】本题考查了集合中元素的确定性，集合中元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性，确定性的考查主要体现在判断用自然语言描述的对象能否构成集合问题，解答时只要仔细斟酌应该不会出错，此题是基础题．
2．（2019秋•思南县校级期中）设集合，则集合的子集个数为　　
A．3 B．4 C．8 D．16
【考点】16：子集与真子集
【专题】34：方程思想；11：计算题；35：转化思想；：集合；65：数学运算
【分析】根据题意，求出集合，分析其元素的数目，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，集合，0，1，，有4个元素，
其子集有个，
故选：．
【点评】本题考查集合的子集，关键是求出集合，属于基础题．
3．（2018•芜湖模拟）已知集合，则集合的真子集个数为　　
A．31 B．32 C．3 D．4
【考点】16：子集与真子集
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合
【分析】求出集合，，由此能求出集合的真子集的个数．
【解答】解：集合，，
集合的真子集个数为．
故选：．
【点评】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．（2018•西城区二模）若集合，，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用
【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；：集合
【分析】先分别求出集合和，由此能求出结果．
【解答】解：集合，
，
．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（2018春•东安区校级月考）设集合，，，，，，若，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
【考点】19：集合的相等
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合；65：数学运算
【分析】利用集合中元素的性质直接求解．
【解答】解：集合，，，，，，，
，解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查代数式求值，考查集体相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（2018秋•乃东区校级期末）设集合，，则等于　　
A． B．， C．，1， D．，，
【答案】
【考点】：并集及其运算
【专题】11：计算题；65：数学运算
【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出与，找出既属于又属于的元素，即可得出两集合的并集．
【解答】解：由集合中的方程，分解因式得：，
解得：或，即，；
由集合中的方程，分解因式得：，
解得：或，即，，
则，1，．
故选：．
【点评】此题属于以一元二次方程的解法为平台，考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
7．（2018•丰台区二模）已知，，则　　
A．或 B． C． D．
【考点】：并集及其运算
【专题】37：集合思想；：定义法；：集合
【分析】解不等式得出集合，根据并集的定义写出．
【解答】解：，
，
则．
故选：．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
8．（2018•兴庆区校级三模）已知集合，，0，，则　　
A． B． C．， D．
【考点】：交集及其运算
【专题】：集合
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：，，0，，
则，，
故选：．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
9．（2021•无锡模拟）设函数的定义域为，函数的定义域为，则　　
A． B．， C． D．，
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用
【分析】利用函数的定义域分别求出集合，，由此能求出．
【解答】解：函数的定义域为，函数的定义域为，
，
．
，．
故选：．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、函数性质的合理运用．
10．（2020秋•松山区校级期末）设集合，，则　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【考点】交集及其运算
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】可解方程组即可得出的元素，从而得出．
【解答】解：由得，或，
，．
故选：．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
11．（2020秋•泰州期末）若集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|lgx＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，2） C．（0，1） D．（0，2）
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【答案】C
【分析】求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x＜2}，
B＝{x|lgx＜0}＝{x|0＜x＜1}，
∴A∩B＝（0，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
12．（2020秋•徐州期末）已知全集，集合，2，，，则　　
A．，2， B． C．， D．，
【考点】：交集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；：集合；65：数学运算
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：，2，，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
13．（2021•西安一模）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{﹣1，0，1，2，3，5}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
14．（2020秋•汕头期末）若集合，，则　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】：交集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；：集合；65：数学运算
【分析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
15．（2021•江西模拟）已知集合，集合，则　　
A． B． C．，1，2， D．，2，
【考点】：交集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合；65：数学运算
【分析】求出集合，集合，由此能求出．
【解答】解：集合，
集合，
，2，，
故选：．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（2018秋•市中区校级月考）已知集合，则　　
A．， B．， C．， D．
【考点】：补集及其运算
【专题】11：计算题；49：综合法；65：数学运算；37：集合思想；：集合
【分析】可以求出集合，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：，
，．
故选：．
【点评】考查描述法、区间的定义，以及补集的运算．
17．（2020•七星区校级模拟）已知全集，集合，4，5，，则　　
A．， B．，2， C．，7， D．，2，7，
【考点】：补集及其运算
【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：集合；65：数学运算
【分析】可求出集合，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：全集，3，4，5，6，，，4，5，；
，．
故选：．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．
18．（2021•南昌模拟）若全集，2，3，4，5，，，3，，，3，，则集合　　
A．， B．，5， C．，5， D．，2，5，
【考点】：交、并、补集的混合运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合；65：数学运算
【分析】求出，5，，，5，，由此能求出集合．
【解答】解：全集，2，3，4，5，，，3，，，3，，
，5，，，5，，
集合，2，5，．
故选：．
【点评】本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（2021•宝鸡模拟）已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁RB）＝（　　）
A．{x|x＜0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x≥﹣1}
【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．
【答案】D
【分析】求出集合A，B，得到∁RB，由此能求出A∪（∁RB）．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，
∴∁RB＝{x|x≥0}，
∴A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}．
故选：D．
【点评】本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2020秋•江阴市校级月考）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【考点】交、并、补集的混合运算
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算
【分析】可求出集合，，然后进行交集和补集的运算即可．
【解答】解：或，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
21．（2018•马鞍山三模）命题：若，则，则命题的否命题为　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【考点】四种命题
【专题】阅读型；逻辑推理
【分析】本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若，则．否命题为：若，则．我们易得答案．
【解答】解：根据否命题的定义：
若原命题为：若，则．否命题为：若，则．
原命题为“若，则”
否命题为：若，则
故选：．
【点评】此题是基础题．若原命题为：若，则．逆命题为：若，则．否命题为：若，则．逆否命题为：若，则．
22．（2020秋•桂林期末）命题“若，则”的否命题是　　
A．“若，则” B．“若，则”
C．“若，则” D．“若，则”
【考点】25：四种命题间的逆否关系
【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑；62：逻辑推理
【分析】由四种命题的写法知，“若，则”的否命题为“若，则”，写出即可．
【解答】解：命题“若，则”的否命题是“若，则”．
故选：．
【点评】本题考查了四种命题中否命题的写法，注意与命题的否定的区别，属于基础题．
23．（2018秋•王益区期末）命题“若，则”的逆否命题是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【考点】25：四种命题间的逆否关系
【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑
【分析】根据命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，写出它的逆否命题即可．
【解答】解：根据命题与逆否命题之间的关系，得；
命题“若，则”的逆否命题是
“若，则”．
故选：．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题目．
24．（2018秋•石家庄期末）下列说法中正确的是　　
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“若，则，全为0．”的逆否命题是“若，全不为0，则
D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
【考点】26：四种命题的真假关系
【专题】：定义法；：简易逻辑；38：对应思想
【分析】根据一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，判断正确；
根据题意判断充分性与必要性是否成立，得出错误；
根据“若，则”的逆否命题是“若，则”，判断错误；
根据一个命题的逆命题与它的逆否命题真假性不同，判断错误．
【解答】解：对于，一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，它们的真假性相同，正确；
对于，“”时“”成立，
“”时“”也成立，是充要条件，错误；
对于，“若，则，全为0”的逆否命题是
“若，不全为0，则”， 错误；
对于，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，错误．
故选：．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题．
25．（2019•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】：函数奇偶性的性质与判断；29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】11：计算题；33：函数思想；：定义法；：简易逻辑；65：数学运算
【分析】“” “为偶函数”，“ 为偶函数” “”，由此能求出结果．
【解答】解：设函数为常数），
则“” “为偶函数”，
“为偶函数” “”，
函数为常数），
则“”是“为偶函数”的充分必要条件．
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
26．（2020秋•绍兴期末）“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【专题】规律型
【分析】先判断由能否推出“”，再判断由“”成立能否推出“ “成立，利用充要条件的定义判断出结论．
【解答】解：当成立则“”一定成立
反之，当“”成立则即不一定成立
“”是“”的充分不必要条件
故选：．
【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者，后者成立是否推出前者成立，利用充要条件的定义加以判断．
27．（2020秋•扬中市校级期末）是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【专题】转化法；简易逻辑；对应思想
【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由，得：，
解得：或，
故是成立的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．
28．（2020秋•大通县期末）“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：“，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
29．（2020秋•杨浦区期末）“，”是“”成立的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】36：整体思想；49：综合法；：简易逻辑；65：数学运算
【分析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论．
【解答】解：，
，，
“，”是“”成立的充分非必要条件，
故选：．
【点评】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．
30．（2020秋•张家界期末）设，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件、必要条件、充要条件
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑
【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】解：“”解得或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．
31．（2020秋•通化县期末）“”是“直线和直线平行”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】：简易逻辑
【分析】若“”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到或；利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：若“”成立，则两直线的方程分别是与，两直线平行；
反之，当“直线与直线平行”成立时，有，且，所以或；
所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：．
【点评】题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．
32．（2019•绵阳模拟）已知命题，使得；命题，，则下列命题为真命题的是　　
A． B． C． D．
【考点】：逻辑联结词“或”、“且”、“非”
【专题】11：计算题；62：逻辑推理；：简易逻辑；38：对应思想；：转化法
【分析】先判断，的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．
【解答】解：命题，使得，
，
，
命题为假命题，
命题，，是真命题，
为假命题，为假命题，为假命题，真命题，
故选：．
【点评】本题考查符合命题真假性的判断．一般化为组成符合命题的基本命题真假性．考查逻辑推理，运算求解能力．
33．（2019春•沙坪坝区校级期末）命题：“关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1”
命题：“函数的定义域内为减函数”．
若为真命题，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【考点】：复合命题及其真假
【专题】49：综合法；53：导数的综合应用；33：函数思想；：简易逻辑
【分析】求出命题为真命题的的范围，再由导数研究函数的单调性，可得命题为假命题，由为真命题，得为真命题，由此可得的范围．
【解答】解：由关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，
得，则，
即；
由，得．
当时，，
当时，令，，
若时，，若时，，
在上单调递增，在上单调递减．
，即．
在上为单调减函数，在上为单调减函数．
命题为假命题．
要使为真命题，则命题为真命题，即．
实数的取值范围是．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查复合命题的真假判断，考查计算能力，属中档题．
34．（2018秋•通化期末）已知命题，使得，命题，使得，则下列命题是真命题的是　　
A． B． C． D．
【考点】：复合命题及其真假
【专题】11：计算题；：简易逻辑
【分析】由配方法得：，即命题为真命题，，即命题为假命题，得解
【解答】解：由，，即命题为真命题，
由，
即无解，
即命题为假命题，
故选：．
【点评】本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题
35．（2018•渭南二模）函数，若，，使得都有，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【考点】：全称量词和全称命题
【专题】35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用
【分析】问题 等价于，
当时，，又（a），，
令（a），（a），利用导数求解．
【解答】解：，，使得都有，
则，
当时，，，

又（a），
，，
令（a），（a），可得，
可得（a），
．
故选：．
【点评】本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．
36．（2020秋•青岛期末）命题“对，都有”的否定为　　
A．对，都有 B．对，都有
C．，使得 D．，使得
【答案】
【考点】全称量词和全称命题；命题的否定
【专题】规律型；简易逻辑
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，
命题“对，都有”的否定为：，使得；
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，熟练掌握全称命题“，”的否定为特称命题“，”是解题的关键．
37．（2018春•大武口区校级期末）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【考点】：命题的否定
【专题】11：计算题；49：综合法；：简易逻辑
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题“，”的否定是：，；
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，考查计算能力．
38．（2020秋•新乡期末）命题“，”的否定是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】命题的否定
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学抽象
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，
则否定是：，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础题．
39．（2021春•安徽月考）命题“，”的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【考点】命题的否定
【专题】定义法；逻辑推理；对应思想；简易逻辑
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到命题“，”的否定．
【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，
可知“，”的否定为“， “．
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
二、填空题（共26小题）
40．（2018•江苏二模）在平面直角坐标系中，设点的集合，，，且，则实数的取值范围是　，　．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用
【专题】11：计算题；：简易逻辑
【分析】①当时显然满足题意，
②当时，因为，由圆与直线的位置关系可知：圆与直线，，的位置如图所示，又圆心到直线的距离为：，圆心到直线的距离为：，由图得：，即，综合①②可得解．
【解答】解：①当时显然满足题意，
②当时由图可知：
圆
与直线，，的位置如图，
圆心到直线的距离为：，
圆心到直线的距离为：，
由图得：，
即，
综合①②得：
实数的取值范围是：，
故答案为：，

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系及集合的包含关系，属中档题．
41．（2019秋•和平区校级月考）设，，集合，，，，，则　　．
【考点】19：集合的相等
【专题】：定义法；37：集合思想；：集合；11：计算题；62：逻辑推理
【分析】由题意可，则，于是可得，即可求出，，问题得以解决．
【解答】解：由，，，，，
，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了集合相等，以及集合中元素的特征，属于基础题．
42．（2018秋•吉林期中）设全集，3，5，7，，，，，，，则的值为　2或8　．
【考点】：集合关系中的参数取值问题
【专题】1：常规题型
【分析】根据题意，结合补集的性质，可得两相等集合，即得，解出即可．
【解答】解：由于全集，3，5，7，，，，依据补集的性质
则有，3，，，，即，解得：或8．
故答案为：2或8．
【点评】本题考查了集合的交、补运算和集合相等，属于基础题．
43．（2020•江苏一模）已知集合，，则　　．
【考点】：并集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；：集合
【分析】进行并集的运算即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
【点评】考查描述法、区间的定义，以及并集的运算．
44．（2020•鼓楼区校级一模）集合，，，0，，若，则　0　．
【考点】：并集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合
【分析】推导出，，从而，由此能求出结果．
【解答】解：因为集合，，，0，，，
所以，又，所以，所以．
故答案为：0．
【点评】本题考查实数值的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
45．（2020秋•松江区期末）已知集合，，1，，则　，　．
【考点】：交集及其运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；：集合；65：数学运算
【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：，，1，，
，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
46．（2018秋•南昌期中）已知全集，4，，，，，则　　．
【考点】：补集及其运算
【专题】：集合
【分析】由全集，，以及的补集，得到，即可求出的值．
【解答】解：全集，4，，，，，
，，即，
解得：或，
当时，，，，4，，，不合题意，舍去，
则．
故答案为：
【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
47．（2020•江苏模拟）已知全集，0，，集合，，则　　．
【考点】：补集及其运算
【专题】37：集合思想；：定义法；：集合
【分析】运用集合的补集定义：且，即可得到所求．
【解答】解：全集，0，，集合，，
由补集的定义可得．
故答案为：．
【点评】本题考查集合的运算，主要是补集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．
48．（2020•南通模拟）设全集，2，3，，集合，，，，则　　．
【考点】：交、并、补集的混合运算
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：集合
【分析】先求出，再根据交集的运算法则计算即可
【解答】解：全集，2，3，，集合，，
，
，，

故答为：
【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题
49．（2019秋•滁州期末）已知全集，，0，1，，，则　，　．
【考点】：交、并、补集的混合运算
【专题】11：计算题
【分析】求出集合中方程的解得到的值，确定出集合，由全集为，找出整数集中不属于的部分，确定出的补集，找出补集与的公共元素，即可确定出所求的集合．
【解答】解：由集合中的方程，解得或1，
，，又全集，
，且，，
，．
故答案为：，
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
50．（2020•临朐县模拟）已知集合，，，，，，且，则　0或　．
【考点】交、并、补集的混合运算
【专题】计算题
【分析】利用集合交并运算的定义寻求，的关系是解决本题的关键．再根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数值．注意元素互异性的应用．
【解答】解：由知，又根据集合元素的互异性，
所以有或，解得或，
故或．
答案：0或
【点评】本题考查学生等价转化的思想，集合相等的转化，集合中元素的互异性．考查学生列方程求解未知数的思想．
51．（2019•思明区校级模拟）设，，命题“若，则”的逆否命题是　若，则　．
【考点】四种命题间的逆否关系
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑
【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．
【解答】解命题“若，则”的逆否命题是：
若，则，
故答案为：若，则
【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．
52．（2018秋•青浦区期末）写出命题“若，则”的否命题　若，则　．
【考点】25：四种命题间的逆否关系
【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑
【分析】根据否命题的定义即可求出．
【解答】解：命题“若，则”的否命题为若，则，
故答案为：若，则
【点评】本题考查了四种命题之间的关系，属于基础题
53．（2018秋•东海县期中）命题：“若，则”的否命题是　若，则　．
【考点】25：四种命题间的逆否关系
【专题】38：对应思想；：定义法；：简易逻辑
【分析】根据命题：“若，则”的否命题是“若，则”，写出即可．
【解答】解：命题：“若，则”的否命题是
“若，则”．
故答案为：“若，则”．
【点评】本题考查了命题与它的否命题应用问题，是基础题．
54．（2018•曲靖一模）若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是　，　．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】35：转化思想；：定义法；59：不等式的解法及应用
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．
【解答】解：由得或，
若“”是“”成立的充分不必要条件，
则，
即实数的取值范围是，，
故答案为：，
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
55．（2020秋•南岗区校级期末）“”是“”的　必要不充分　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】15：综合题
【分析】由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．
【解答】解：若“”，则“”不成立，反之，“”时“”，成立，
故答案为：必要不充分．
【点评】本题主要考查四种条件的判断，属于基础题
56．（2018秋•凉州区校级月考）已知命题，，命题，，若“”为假命题，则实数的取值范围为　　．
【考点】：复合命题及其真假
【专题】：简易逻辑
【分析】先分别求出，是假命题的条件，再 两部分取公共部分即可．
【解答】解：若 为假命题，则，均为假命题．
命题，，则，当时，为假命题．①
命题，，若为假命题，即：，，
△，或，②
由①②可得的取值范围为：，
故答案为：．
【点评】本题考查复合命题真假性的条件．此类问题一般转化为简单命题真假性解决，考查转化、计算、逻辑思维能力．
57．（2021•大连模拟）命题“，”的否定是　，　．
【考点】：全称量词和全称命题；：命题的否定
【专题】11：计算题
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
【点评】本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．
58．（2019秋•全国月考）若特称命题：“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是　，　．
【考点】：存在量词和特称命题
【专题】11：计算题；37：集合思想；：定义法；：简易逻辑；65：数学运算
【分析】此题等价为全称命题：“，成立”是真命题．当时，原不等式化为“ “，当时，只需，由此能求出结果．
【解答】解：此题等价为全称命题：“，成立”是真命题．
当时，原不等式化为“”， 显然成立；
当时，只需，
解得．
综上，得．
故答案为：，．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查特称命题的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
59．（2018秋•东海县期中）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　．
【考点】：存在量词和特称命题
【专题】35：转化思想；47：判别式法；：简易逻辑
【分析】写出特称命题的否定，再由判别式法求解．
【解答】解：命题“，”的否定为：“，”．
由“，”是假命题，得“，”是真命题．
△，即．
实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查特称命题的否定，考查恒成立问题的求解方法，是基础题．
60．（2018春•淮安期末）若“，，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为　，　．
【考点】：存在量词和特称命题
【专题】35：转化思想；：转化法；59：不等式的解法及应用
【分析】根据“，，不等式成立”是假命题，
求出“，，使得成立”是假命题时的最小值，
即可求出实数的取值范围．
【解答】解：若“，，使得成立”是假命题，
即“，，使得成立”是假命题，
由，，当时，函数，
取最小值；
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了特称命题，不等式恒成立问题以及函数的图象和性质的应用问题，是中档题．
61．（2018•北京）能说明“若对任意的，都成立，则在，上是增函数”为假命题的一个函数是　　．
【考点】：命题的否定
【专题】11：计算题；38：对应思想；：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如，
尽管对任意的，都成立，
当，上为增函数，在，为减函数，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．
62．（2018秋•明山区校级期末）命题，的否定是　，　．
【考点】：命题的否定
【专题】：简易逻辑
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，的否定是：，；
故答案为：，．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
63．（2020秋•大通县期末）命题“，，”的否定为　，，　．
【考点】命题的否定
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，，”的否定为：，，．
故答案为：，，．
【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
64．（2020秋•阜宁县期末）已知命题，，写出命题的否定：　，　．
【考点】：命题的否定
【专题】11：计算题；49：综合法；35：转化思想；：简易逻辑
【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
【解答】解： “全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
命题，，的否定是：，．
故答案为：，．
【点评】本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
65．（2020秋•西青区期末）命题“，，使得”的否定形式是　，，使得　．
【考点】：命题的否定
【专题】11：计算题；38：对应思想；：定义法；：简易逻辑
【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题“，，使得”，
则否定形式：“，，使得”，
故答案为：，，使得”
【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．
三、解答题（共15小题）
66．（2020秋•赤峰期末）已知集合．
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．
【考点】元素与集合关系的判断
【专题】综合题
【分析】（1）由中有两个元素，知关于的方程有两个不等的实数根，由此能求出实数的取值范围．
（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时．由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）中有两个元素，
关于的方程有两个不等的实数根，
△，且，即所求的范围是，且；（6分）
（2）当时，方程为，
集合；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则也只有一个元素，此时；
若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，
综合知此时所求的范围是，或．（12分）
【点评】本题考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．
67．（2020秋•城关区校级期末）已知集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用；：交、并、补集的混合运算
【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：集合
【分析】（1）当时，求出集合，即可求；
（2）若，分类讨论，建立不等式，即可求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，合，，；
（2）若，则
①，，
②，则且，，．
综上所述，或．
【点评】此题考查了交、补集的混合运算，考查集合的关系，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
68．（2020秋•利通区校级期末）已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【考点】：交、并、补集的混合运算
【专题】37：集合思想；：定义法；59：不等式的解法及应用
【分析】（1）时求出集合，，再根据集合的运算性质计算和；
（2）根据，讨论和时的取值范围，从而得出实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
或，
或；
又，
；
（2），
当，即时，，满足题意；
当时，应满足，此时得；
综上，实数的取值范围是．
【点评】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，是中档题．
69．（2020秋•深圳期末）设全集为，，．
（1）求及；
（2），且，求的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合
【分析】（1）由全集为，，，先求出，，由此能求出和．
（2）由，，且，得，由此列出方程组，能求出的取值范围．
【解答】解：（1）全集为，，，
，或，
或，
．
（2），，且，
，
，解得．
的取值范围是，．
【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
70．（2020秋•中山市期末）已知集合，或．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算
【专题】计算题
【分析】（1）将代入中确定出，求出与的交集，根据全集求出的补集，找出与补集的并集即可；
（2）由，，以及两集合的交集为空集，列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出的范围．
【解答】解：（1）将代入中的不等式得：，即，
或，，
或，，
则；
（2），或，且，
，
解得：．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
71．（2020秋•松山区校级月考）已知全集为，函数的定义域为集合，集合．
（1）求；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）实数的取值范围是：．
【考点】：交、并、补集的混合运算；：交集及其运算
【专题】32：分类讨论；49：综合法；：集合；65：数学运算
【分析】（1）求出函数的定义域，化简集合，计算；
（2）根据集合，讨论与时，求出对应的取值范围．
【解答】解：（1）由得，函数的定义域，
，，得或，
，
（2），，
当时，满足需求，
此时，解得；
当时，要，
则，
解得；
由、得，实数的取值范围是：．
【点评】本题考查了求函数的定义域与集合的化简、运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题目．
72．（2019秋•南昌期末）已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求，求实数的取值范围．
【考点】：子集与交集、并集运算的转换
【专题】：集合
【分析】（1）由集合，，若，则，则，且，解得实数的取值范围；
（2）由集合，，若，则，分当时和当时，两种情况分别求出实数的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；
【解答】解：（1）集合，．
若，则，
则，且，
解得：，，
即此时实数的取值范围为，；
（2）若，则，
①当时，，解得，满足条件，
②当时，若，则，
此时不等式组无解，
综上所述此时实数的取值范围为
【点评】本题考查的知识点是子集与交集，并集的运算转换，难度不大，属于基础题．
73．（2019秋•金台区期末）写出命题“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【考点】21：四种命题
【专题】：简易逻辑
【分析】根据原命题“若，则”，写出它的逆命题若，则，否命题若，则与逆否命题若，则，并判断真假性．
【解答】解：原命题是“若，则且”，
它的逆命题是：若且，则，是真命题；（3分）
否命题是：若，则或，是真命题；（3分）
逆否命题是：若或，则，是真命题．（4分）
【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
74．（2019秋•南关区校级月考）已知命题：若，则方程无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
【考点】26：四种命题的真假关系
【专题】35：转化思想；14：证明题；：简易逻辑；62：逻辑推理
【分析】根据四种命题的关系，将原命题中的条件、结论互换得到逆命题；将原命题的条件、结论同时否定得到否命题、将原命题的条件、结论否定再交换得到逆否命题，判断其真假可得答案．
【解答】解：逆命题：若方程无实根，则，假命题．
否命题：若，则方程有实根，假命题．
逆否命题：若方程有实根，则，真命题．
【点评】本题考查四种命题，命题的真假判定，考查复合命题的真假判定．本题属于基础题．
75．（2020秋•株洲期末）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【考点】交集及其运算；充分条件、必要条件、充要条件
【专题】计算题；转化思想；转化法；集合；简易逻辑；数学运算
【分析】（1）时化简集合，根据交集的定义写出；
（2）根据若，且“”是“”的充分不必要条件，得出关于的不等式，求出的取值范围即可
【解答】解：（1）当时，集合，
或，
或；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，
，，
，则
解得．
故的取值范围是：．
【点评】本题考查了集合的定义与充分条件与必要条件得应用问题，属于基础题．
76．（2020秋•城关区校级期末）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】11：计算题；35：转化思想；：定义法；：转化法；51：函数的性质及应用；：简易逻辑；62：逻辑推理；65：数学运算
【分析】（Ⅰ）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，求出的范围．
（Ⅱ）设对应集合，对应集合，“是的充分不必要条件”即，求出的范围
【解答】解：由题意命题：“，不等式成立”是真命题．
在恒成立，即，；
因为，所以，即，所以实数的取值范围是；
由得，设，由得，设，因为是的充分不必要条件；
所以，但推不出，；
所以，即，
所以实数的取值范围是，．
【点评】本题考查了不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；还考查了充分必要条件的转化，属于中档题．
77．（2020春•南关区期末）已知，．
（1）若是真命题，求对应的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；：简易逻辑；62：逻辑推理
【分析】（1）由是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出的取值范围．
（2）由，，是的必要不充分条件得到：当时，，当时，，当时，，利用分类讨论思想能求出的取值范围．
【解答】解：（1）是真命题，
，，
解得，
的取值范围是，．
（2）由（1）知：，
，
是的必要不充分条件
当时，，故满足，即，
当时，，满足条件；
当时，，故满足，即．
综上所述的取值范围是，．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要不充分条件、含绝对值不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
78．（2020秋•东湖区校级期末）已知：函数在其定义域上恒成立，：对任意，恒成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围．
【考点】：复合命题及其真假
【专题】：转化法；35：转化思想；：简易逻辑
【分析】（1）根据不等式恒成立转化为判别式△，进行求解即可．
（2）求出命题，为真命题的等价条件，根据复合命题真假关系进行求解即可．
【解答】解：（1）若为真，则恒成立，
所以△，即，
解得，即的取值范围为，．
（2）若为真，令，则．
因为，所以，
所以．
当且仅当，即时取“”，
，故．
若“且”为假，“或”为真，
则命题，一真一假，
若真假，则，此时无解，
若假真，则，得或，
综上所以实数的取值范围为，．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
79．（2019秋•高安市校级期中）已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若，，都，，使成立，求实数的取值范围．
【考点】：存在量词和特称命题
【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数学运算
【分析】（1）由函数的解集得不等式转化为方程的两根，进而求出的值；
（2）由题意可得在区间的最小值，大于等于的在区间的最小值，转化为求的最小值问题，讨论对称轴在区间的哪侧，函数的单调性的函数最小值与的关系进而求出的范围．
【解答】解：（1）证明：由得：，整理得：，因为解集为，所以，
所以方程的根是，，，；
所以实数的值是；
（2）由题意可得，，
，，在区间，为增函数，，为减函数，（2），（4），
所以函数在区间，上的最小值是（4）；
函数开口向上，且对称轴，
①当，即，（2），解得：；
②当，即，或，
所以；
③，即，（4），解得：，所以；
综上所述，的取值范围：，．
【点评】考查函数的最值问题，属于中难度题．
80．（2019秋•上杭县校级月考）已知二次函数，为常数，且满足条件：，且方程有两相等实根．
（1）求的解析式；
（2）设命题：“函数在上有零点”，命题：“函数在上单调递增”；若命题“”为真命题，求实数的取值范围．
【考点】：命题的真假判断与应用
【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用；：简易逻辑
【分析】（1）方程有两等根，通过△，解得；求出函数图象的对称轴．求解，然后求解函数的解析式．
（2）求出两个命题是真命题时，的范围，利用真，转化求解即可．
【解答】解：（1）方程有两等根，即有两等根，
△，解得；
，得，
是函数图象的对称轴．
而此函数图象的对称轴是直线，，，
故（6分）
（2），
真则；
；
若真，则，
；
若真，则．（12分）
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的解析式的求法，考查函数与方程的综合应用，考查计算能力．

考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立 …（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．集合的确定性、互异性、无序性
【知识点的认识】
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
3．子集与真子集
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．

2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
4．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
5．集合的相等
【知识点的认识】
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．

【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．

【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
6．集合关系中的参数取值问题
【知识点的认识】
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．

【解题方法点拨】
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．

【命题方向】
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
7．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
8．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
9．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．

【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
10．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
11．子集与交集、并集运算的转换
【知识点的认识】
观察两个集合之间的关系如图

子集与交集、并集运算的转换的基本运算的一些结论：
A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A （CUA）∪A＝U，（CUA）∩A＝∅
若A∩B＝A，则A⊆B，反之也成立．
若A∪B＝B，则A⊆B，反之也成立．
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B．

【解题方法点拨】
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

【命题方向】
考纲要求：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．明确子集与集合的并、交、补是集合间的基本运算．
12．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．

【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
13．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
四种命题的关系：


【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．

【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．
14．四种命题的真假关系
【知识点的认识】
一．四种命题的间的关系：
二．四种命题间的真假关系
（一）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（二）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．


【解题方法点拨】
“正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判断过程降低判断难度，如：“若x≠2或y≠3，则x+y≠5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题为“若x+y＝5，则x＝2且y＝3”，容易判断此命题是一个假命题．

【命题方向】
命题的真假判断是本考点中试题的考察重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考察的主要方式．
15．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
16．逻辑联结词“或”、“且”、“非”
【或】
一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．
规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．
例如：“2≤2”、“27是7或9的倍数”等命题都是 pⅤq的命题．

解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p或q表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p真q假②q真p假③p真q真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q或r表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．
“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．

命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．

【且】
一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．
规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替． 例1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：
（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；
（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；
（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．

解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p且q表示两个简单命题两个都成立，就是p真并且q真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．

命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．

【非】
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．
规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
￢p
真
假
假
真
解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．

命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．
17．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
18．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．

【全称命题】
含有全称量词的命题．“对 xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题 xM，p（x）
特称命题 xM，p（x）

表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立
②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立
③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立
④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立
⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．

命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
19．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．


【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题x∈M，p（x）
特称命题x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在∃x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．

常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
20．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
21．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
22．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．