北师大版八年级数学下册期中考试复习1 三角形的证明 复习

11 .1     全等三角形

(1)能够________的两个图形叫做全等形．

(2)能够________的两个三角形叫做全等三角形，用____表示

2．全等三角形的对应元素

两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点称为

__________ ， 重 合 的 边 称 为 __________ ， 重 合 的 角 称 为___________．

3．全等三角形的性质

全等三角形的对应边________，对应角________．

4如图 3，已知△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出它们的对应边和对应角．

11.2    三角形全等的判定

第 1 课时  三角形全等的判定 ( 一 )(SSS)

1．判定两个三角形全等的方法(SSS)

三条边__________的两个三角形全等，简写成“边边边”或“______”．

2．利用“SSS”证明两个三角形全等的书写格式

(1)写出要证全等的两个三角形．

(2)写出所需的三个条件，并用大括号括在一起．

(3)写出结论，标明根据．

               边边边(SSS)(重点)

例题：如图 1，已知 AB、CD 相交于 O，且 AB＝CD，AD＝CB.求证：∠A＝∠C

第 2 课时    三角形全等的判定(二)(SAS)

两边和它们的________ 对应相等的两个三角形全等( 可以简写成“边角边”或“SAS”)．

边角边(SAS)(重点)

例题：如图 1，AE＝AC，AB＝AD，∠EAB＝∠CAD，求证：∠B＝∠D.

第 3 课时   三角形全等的判定(三)(ASA和AAS)

 1．判定两个三角形全等的方法(ASA)

  两角和它们的______ 对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．

2．判定两个三角形全等的方法(AAS)

两个角和其中一个角的______对应相等的两个三角形全等

(可以简写成“角角边”或“AAS”)．

                         角边角(ASA)

例 1：如图 1，AB∥CD，点 E 和点 F 在 AC 上，AE＝CF，DE∥BF.求证：BF＝DE.

第 4 课时    直角三角形全等的判定

1．“HL”定理

________ 和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

2．两直角三角形全等的判定方法

(1)SAS，即两直角边对应相等的两个直角三角形全等．

(2)HL，即斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．

(3)ASA 或 AAS，即有一条直角边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形全等．

(4)AAS，即斜边和一锐角分别对应相等的两个直角三角形全等．

(5)SSS，三边对应相等的两个直角三角形全等一般不用．

直角三角形全等的判定(重点)

例 1：如图 1，已知 AD 是△ABC 边 BC 上的高，E 为 AC 上

一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC.

11．3       角的平分线的性质

1．角平分线的定义

    从角的顶点引出将一个角分成两个相等角的一条射线，叫做这

个角的角平分线．

2．角平分线的性质定理

角平分线上的点到角的两边的距离______．

3．角平分线的判定定理

到角的两边的距离相等的点，在角的________上．

4．如图 7，BD＝CD，BF⊥AC 于 F，CE⊥AB 于 E，求证：D 点在∠BAC 的平分线上

线段的垂直平分线性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

注：①由性质得AC=BC，得△ABC为等腰三角形，进而应用等腰三角形的性质。

②会用尺规做已知线段的垂直平分线。

③三角形三边垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

注：证垂直平分①需要说明两个点在垂直平分线上

                ②用等腰三角形三线合一定理。

等腰三角形的性质：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一定理）

特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.

       （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

       （3）等腰三角形边角计算问题，

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

.

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

注：①此性质只适用于直角三角形中。

②用于证明线段倍数问题（或计算直角三角形中边的问题）

③

1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有         条．

2．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．

4．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．

5．已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B关于轴对称．

6．坐标平面内，点A和B关于轴对称，若点A到轴的距离是3，则点B到轴的距离是_________．

***0、等腰三角形的两边的边长分别为20和9，则第三边的长是__________．

****0、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为                     ．

7.（5分）已知点M，N关于轴对称，求的值．

8．（5分）已知AB=AC，BD=DC，AE平分∠FAB，问：AE与AD是否垂直？为什么？

9．（5分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 cm，求BC的长．

10．（5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．

（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？

（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？

请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．                                                     

  .B

                                    A .

11．（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．

12．（6分）如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．

13．（7分）已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，试说明△ADF是等腰三角形的理由．

14．如图7－15所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边

上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

15．如图14－14，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B度数．

16、已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．

求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE是CD的垂直平分线．

17、已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F．求证：BE+CF=EF．