福建省泉州市惠安第三中学 2020-2021学年九年级下学期 第一次月考数学试题（解析版）

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惠安三中2021年春初三年第一次月考

数 学 试 题
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）

注意事项：
1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2.答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3.可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．）
1. 下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 数据0.0125用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把小数点点在数字1的后面，得到a值为1.25，数出1的前面零的个数，取相反数即得到n值，求解即可．
【详解】∵0.0125＝，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值小于1的小数的科学记数法，熟练掌握a，n确定的方法是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a5÷a2＝a3 B. a2•a3＝a6 C. 2x2＋3x2＝5x4 D. （﹣3a）3＝﹣9a3
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A．a5÷a2=a3，故本选项符合题意；
B．a2•a3=a5，故本选项不合题意；
C.2x2+3x2=5x2，故本选项不合题意；
D．（-3a）3=-27a3，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4. 如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）

A. 圆柱体 B. 三棱锥 C. 球体 D. 圆锥体
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，因此，
由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．故选A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B. 一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D. 一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查，方差，中位数，众数以及概率的意义，逐项判断即可．
【详解】A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项错误，不符合题意．
B. 一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0，故该选项正确，符合题意．
C. 投掷一枚质地均匀硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，故该选项错误，不符合题意．
D. 一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数是7，众数是6和7．故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查抽样调查，方差，中位数，众数以及概率的意义，准确的把握概念的内涵是正确判断的前提．
6. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，
∴-2+m=−，
解得，m=-1，
故选B．
7. 如图，数轴上的点对应的数为，则数轴上与数对应的点可能是（ ）

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
【解析】
分析】根据符号、绝对值进行判断即可．
【详解】解：点C在原点的左侧，且到原点的距离接近1个单位，因此-2c在原点的右侧，且到原点的距离是点C到原点距离的2倍，
因此点E符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义，理解符号和绝对值是确定有理数的两个必要条件．
8. “按情就是命令，防控就是责任！”在去年新冠肺炎疫情爆发期间，我区教师发扬不畏艰险、无私奉献的精神，挺身而出，协助社区做好疫情监测、排查、防控等工作．现将50名教师参加社区工作时间（单位：天）的情况统计如下：
时间（天）
15
25
35
45

教师人数
4
6
7
13
20
下面是对这50名教师参加社区工作时间的推断：
①平均数一定在40~50之间；
②平均数可能在40~50之间；
③中位数一定是45；
④众数一定是50．
其中正确的推断是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先按平均数公式列出代数式，取最小值，当天时平均数大于50天，按中位数定义将数据排序，第25与26的平均数在45天，众数定义是t即可判断．
【详解】，
，
，
，
，
，
当天时平均数大于50天，
中位数：按表知数据已经排序，第25与26的平均数在45天，
众数：t()，
②平均数可能在40~50之间正确，③中位数一定是45正确．①平均数一定在40~50之间不正确，④众数一定是50不正确．
其中正确的推断是②，③
故选择：B．
【点睛】本题考查平均数，中位数，众数，掌握平均数，中位数，众数的定义，会根据具体内容确定平均数，中位数，以及众数是解题关键．
9. 如图，△ABC中，AB＝6，BC＝9，D为BC边上一动点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得点B的对应点E与A，C在同一直线上，若AF∥BC，则BD的长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】只要证明△BAD∽△BCA，推出＝，求出BD即可解决问题．
【详解】解：∵AF∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
∵∠BAD＝∠FAC，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BD＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形．
10. 在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，m－4），则AB＋OB的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式，把线段和的最小值转化为在x轴上确定一点，使其到两个定点的距离之和最小，求解即可．
【详解】∵点A（0，4），B（m，m－4），
∴AB＋OB=
=
=,
即在x轴上求点(m，0)到点（4，4）和（2，2）的距离之和最小，
∵（2，2）关于x轴的对称点为（2，-2），
∴设经过（4，4）和（2，-2）的直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，
解得，
∴解析式为y=3x-8，∴当m=x=时，有最小值，为
=4，
故选A．
【点睛】本题考查了坐标系中线段和的最小值，利用两点间的距离公式，把线段和的最小值转化为在ｘ轴上确定一点使得其到定点的距离之和最小是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：2a2+4a=_____．
【答案】2a（a+2）
【解析】
【分析】直接提取公因式2a，进而分解因式得出
【详解】解：2a2+4a=2a（a+2）．
考点：因式分解-提公因式法
12. 正八边形的一个内角的度数是____ 度．
【答案】135
【解析】
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.
【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°，
故答案为135.
13. 我市某校举行了“绿水青山就是金山银山”的知识竞赛，某班的学生成绩统计如图所示，则从该班学生中随机抽取一名学生的成绩是80分的概率是__________．

【答案】0.3
【解析】
【分析】利用频数直方图得到各分数的人数，然后用80分的人数除以总人数即可．
【详解】解：从该班学生中随机抽取一名学生的成绩是80分的概率＝．
故答案为0.3．
【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率＝这个事件发生的结果数除以总的结果数．
14. 已知一次函数y＝kx+2k+3(k≠0)，不论k为何值，该函数的图象都经过点A，则点A的坐标为______．
【答案】（﹣2，3）
【解析】
【详解】原函数可变形为：y=k(x+2)+3，
则当x=﹣2时，y=3，
故不论k为何值，该函数的图象都经过点A（﹣2，3）.
故答案为（﹣2，3）.
15. 我国古代数学著作《九章算术》有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其意思是“好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？”设好田买了x亩，坏田买了y亩，可列方程组为_______ ．
【答案】
【解析】
【分析】设好田买了亩，坏田买了亩，根据合买好田、坏田100亩共需10000钱，即可得出关于的二元一次方程组．
【详解】设好田买了亩，坏田买了亩，
依题意，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD＝，AB＝8，点E，F分别在边AB，AD上，△AEF与△GEF关于直线EF对称，点A的对称点G落在边DC上，则BE长的最大值为_________ ．

【答案】2
【解析】
【分析】过点D作DM⊥AB于M，求BE长的最大值，就是求AE长的最小值，而AE长的最小值，就是求GE长的最小值，GE长的最小值就是DC与AB的距离，即可求解．
【详解】过点D作DM⊥AB于M，则∠AMD= 90°，如图：

∵平行四边形ABCD中，∠ABC= 120° ，
AD//BC，
∠DAB= 180°-∠ABC= 180°- 120°= 60°
在Rt△ADM中，AD= 4，
∴AM=2,
∴DM =6
∵AB= 8，
∴当AE最短时，BE的长有最大值，
∵△AEF与△GEF关于直线EF对称，
∴GE= AE，.
∴当GE最短时，BE的长有最大值， ．
∵DC//AB，
∴当GE= DM = 6时，GE最短，BE的长有最大值，
最大值为：AB- AE= AB- GE=8-6= 2．
∴BE长的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、特殊角的三角函数数值、翻折变换、勾股定理，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别把两个不等式的解集求出来，再借助数轴求出两个解集的公共部分，即得不等式组的解集．
【详解】解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
两个解集在数轴上表示如下：

∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解不等式组及利用数轴求不等式组的解集．
18. 先化简，再求值：，其中x＝2
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：

．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19. 如图，AB，CD为两条射线，AB∥CD，连接AC．
（1）尺规作图：在CD上找一点E，使得AE平分∠BAC，交CD于点E．(不写作法，保留作图痕迹)．
（2）在题（1）所作的图形中，若∠C＝120°，求∠CEA的度数．

【答案】（1）图见解析；（2）30°．
【解析】
【分析】（1）利用尺规作∠CAB的角平分线即可．
（2）利用平行线的性质求出∠CAB，再利用角平分线的定义求出∠BAE即可．
【详解】解：（1）如图，射线AE即为所求．

（2）∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠CAB＝60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAB＝30°，
∴∠AEC＝∠BAE＝30°．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20. 某中学为推动“时刻听党话 永远跟党走”校园主题教育活动，计划开展四项活动：A：党史演讲比赛，B：党史手抄报比赛，C：党史知识竞赛，D：红色歌咏比赛．校团委对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：

（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）将图1的统计图补充完整；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的4个学生中只有1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）40;(2)图形见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）用A组的人数除以其所占百分比即可求出调查的总人数；
（2）先求出B项活动的人数即可补全直方图；
（3）根据题意用列表法得出所有可能的情况，再用概率公式进行求解.
【详解】（1）本次调查的学生总人数为6÷15%＝40人，
故答案为40；
（2）B项活动的人数为40﹣（6+4+14）＝16，
补全统计图如下：

（3）列表如下：

男
男
男
女
男

（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）

（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）

（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）


由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有6种，所以抽到一名男生和一名女生的概率是，即．
【点睛】此题主要考查统计调查，解题的关键是能够从统计图中得到有用信息及用列表法求概率.
21. 甲，乙两人从一条长为的笔直栈道两端同时出发，各自匀速走完该栈道全程后就地休息．图1是甲出发后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲，乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象．

（1）求甲，乙两人的速度；
（2）求，的值．
【答案】（1）甲的速度是，乙的速度是；（2），
【解析】
【分析】（1）根据图1中数据，可以计算出甲的速度，然后图2中的数据，可以计算出乙的速度，本题得以解决；
（2）根据题意，可知a是甲走完全程用的时间，b是乙走完全程用的时间，然后根据（1）中的结果和全程为200m，即可计算出a和b的值，本题得以解决．
【详解】解：（1）由图1可得甲的速度是．
由图2可知，当时，甲，乙两人相遇，
故，
解得．
答：甲的速度是，乙的速度是．
（2）由图2可知：乙走完全程用了，甲走完全程用了，
∴，
．
∴的值为，的值为．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 为了做好开学准备，某校共购买了20桶A、B两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知A种消毒液300元/桶，每桶可供2 000米2的面积进行消杀，B种消毒液200元/桶，每桶可供1 000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A种消毒液x桶，购买消毒液的费用为y元，写出y与x之间的关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）在现有资金不超过5 300元的情况下，求可消杀的最大面积．
【答案】（1）y=(0 【解析】
【分析】（1）根据题意中的等量关系列出解析式即可；
（2）先根据已知条件得出x的取值范围，然后由题意得出关于消杀面积的解析式，即可求得最大面积．
【详解】解：（1）
=
=(0 （2）由题意可得，
解得:，
设消杀的面积为wm2，
则


∵
∴w随x的增大面增大，
∴当x取最大值13时，最大消杀面积为1000×13+20000=33000m2．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
23. 如图，在Rt△ABC与Rt△EFC中，∠ACB＝∠ECF＝90°，点E在AB边上，∠A＝∠CEF．

（1）求证：；
（2）若∠A＝30°，CE三等分∠ACB，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）或2
【解析】
【分析】（1）证明△ABC∽△EFC，由相似三角形的性质得出，证明△ACE∽△BCF，则可得出；
（2）①当∠ACE＝∠BCE时，过点E作EH⊥AC，垂足为H，由锐角三角函数的定义可求出答案；②当∠ACE＝2∠BCE时，则∠ACE＝∠ACB＝60°，由直角三角形的性质及锐角三角函数可求出答案．
【详解】（1）证明：在△ABC和△CEF中，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，∠A＝∠CEF，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
在△ACE和△CBF中，
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACB−∠ECB＝∠ECF−∠ECB，
即∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∴；
（2）解：①当∠ACE＝∠BCE时，
则∠ACE＝∠ACB＝30°，
∵∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
过点E作EH⊥AC，垂足为H，

∴CH＝AC，
在Rt△HCE中，cos∠ECH＝
∴；
②当∠ACE＝2∠BCE时，则∠ACE＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠AEC＝90°，
∴cos∠ECA＝＝，
∴．
综合以上可得的值为或2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24. 在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F．

（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；
（2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）相切，见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由AB是直径，得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，证明∠EDC=∠BAC=2∠DAC，只需证明∠CAF=∠DAC即可；
（2）证明∠BAF=90°即可；
（3）连接BE，则cos∠ABE= cos∠ADE==，求得AE，EC，后利用勾股定理表示BC，代入计算即可．
【详解】（1）∵AB是直径，∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵A，B，D，E四点共圆，
∴∠EDC=∠BAC，∠DEC=∠ABC，
∴∠EDC==2∠DAC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∵AF⊥DE，
∴∠CAF=90°-∠AEF=90°-∠DEC=90°-∠ACD=∠DAC，
∴∠EDC==2∠CAF；

（2）直线AF与⊙O的相切．
理由如下：∵AB=BC，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，∠BAC=60°，
∵∠BAD=∠CAD，由（1）得∠BAD=∠CAD=∠CAF=30°，
∴∠BAF=3∠BAD=90°，
∵AB是直径，
∴直线AF与⊙O的相切；
（3）如图，连接BE，则∠ABE= ∠ADE ，
∴cos∠ABE= cos∠ADE==，设AB=25k，则BE=24k，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∴AE==7k，
∵AB=AC，
∴AC=25k，EC=AC-AE=25k-7k=18k，
在直角三角形BEC中，BC==30k，
∴==．

【点睛】本题考查了圆的内接四边形外角等于内对角，等腰三角形的性质，直径上的圆周角是直角，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定，等边三角形的判定，熟记切线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
25. 已知抛物线的图像过点A（3，m）．

（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；
（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；
（3）如图，直线交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD⊥x轴交直线 l于点D，作QE⊥y轴于点E，连接DE．设∠QED＝b，当时，b 恰好满足，求a的值．
【答案】（1）（1，4）；（2）t＜－1或t＞3；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；
（2）利用抛物线的增减性和对称性解答；
（3）将点Q（x，y）代入抛物线解析式得到：y=ax2-2ax+c．结合一次函数解析式推知：D（x，kx+c）．则由两点间距离公式知QD=ax2-2ax+c-（kx+c）=ax2-（2a+k）x．在Rt△QED中，由锐角三角函数的定义推知．所以tanβ随着x的增大而减小．结合已知条件列出方程组，解该方程组即可求得a的值．
【详解】解：（1）当a＝－1，m＝0时，，A点的坐标为（3，0），
∴－9＋6＋c＝0.
解得 c＝3
∴抛物线的表达式为．
即．
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）．
（2）∵的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）．
∵，
∴当，y随x的增大而增大； 当，y随x的增大而减小．
又∵n＜m，
∴当点P在对称轴左边时，t＜－1；
当点P在对称轴右边时，t＞3.
综上所述：t的取值范围为t＜－1或t＞3；
（3）∵点Q（x，y）在抛物线上，
∴．
又∵QD⊥x轴交直线 于点D ，
∴D点的坐标为（x，kx＋c）．
又∵点Q是抛物线上点B，C之间的一个动点，
∴．
∵QE＝x，
∴在Rt△QED中，．
∴是关于x的一次函数，
∵a＜0，
∴随着x的增大而减小．
又∵当时，恰好满足，且随着的增大而增大，
∴当x＝2时，＝60°；当x＝4时，＝30°．
∴
解得
∴．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数解析式的三种性质，一次函数的性质，锐角三角函数的定义等知识点，综合性较强，难度较大．