试卷 2021年陕西省渭南市韩城市中考数学一模试卷

这是一份试卷 2021年陕西省渭南市韩城市中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
4．（3分）对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加3时，对应的函数值y减少6，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣0.5
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．3x﹣2x＝2
C．（x2）3＝x5D．x3÷x＝x2
6．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝2，则CD的长为（ ）
A．B．6C．5D．4
7．（3分）把直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．m＞1C．1＜m＜7D．3＜m＜4
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（ ）
A．3B．C．2D．
9．（3分）如图，△ABG内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝70°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．70°B．80°C．82°D．84°
10．（3分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，点C关于x轴的对称点为D点，若四边形ACBD为正方形，则m的值为（ ）
A．B．﹣C．±D．±
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）分解因式：2n2﹣8＝ ．
12．（3分）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ ．
13．（3分）如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，A（﹣5，0），且tanA＝，反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值是 ．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是 ．
三．解答题（共11小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
16．（5分）计算：1﹣．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，BD＝CD，求证：ED＝AE．
19．（7分）为了倡导绿色生态、健康环保的生活方式，提升城市文明程度，提升资源的回收利用率，营造人人知晓垃圾分类的良好氛围，某社区开展了“垃圾分类知识小测试”活动（满分100分）．社区管理员随机从某小区抽取20名业主的答卷成绩（单位：分，90分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，以下是部分信息．该小区20名业主的测试成绩：75，85，100，80，75，80，94，82，94，80，90，80，94，85，90，82，90，94，94，100．
绘制条形统计图如图；
该小区抽取的业主的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，填出本次所抽取业主的测试成绩的众数a＝ ．
（2）求该小区本次测试成绩的平均数m的值；
（3）若该小区共有1000名业主参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的业主有多少名？
20．（7分）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
21．（7分）富平柿饼，以其加工精细，味香醇厚等优点成为陕西畅销国内外的传统土产之一，小张家的柿子今年喜获丰收，根据经验小张预计可以制作3000盒柿饼，根据市场需求她将制作两种盒装的柿饼放在网站进行销售，每盒单价、制作成本、运输成本如表：
设销售精品盒装的柿饼x盒，小张所获得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据市场需求，精品盒装的数量不多于普通盒装的2倍，求小张销售完这些柿饼最多能获得总利润多少元？
22．（7分）迄今为止，我国在航天领域获得的成就可谓硕果累累，当前探月、高分、北斗等航天领域国家科技重大专项任务圆满收官．在第六个“中国航天日”来临之际，某班举办了《我的航天梦，我的中国梦》演讲大赛，现有6人报名参加比赛，其中女生4人，男生2人．
（1）若要从这6名选手中随机选择一位参赛，则选到女生的概率为 ；
（2）经过一轮预选，甲、乙两人的演讲水平不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，班委会计划通过摸球的方式选派一人参加学校的演讲大赛．规则如下：现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，B袋中装有4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，这些小球除数字外其余完全相同．先由甲从A袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；再由乙从B袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选甲去；若两个数字的和为偶数，则选乙去．请用列表法或画树状图的方法说明这个规则对双方是否公平．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．
24．（10分）如图，在同一直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣8，0）和点C，且经过点B（﹣2，12），若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称，点A的对应点为A'，点B的对应点为B'．
（1）求抛物线L2的表达式；
（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3，抛物线L3的顶点为M，抛物线L3的对称轴与x轴交于点N，试问：在x轴的下方是否存在一点M，使△MNA'与△ACB'相似？若存在，请求出抛物线的L3表达式；若不存在，说明理由．
25．（12分）[问题发现]
（1）如图1，已知线段AC和BC，AC＝2，BC＝5，则线段AB的最小值为 ．
[问题探究]
（2）如图2，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，分别连接AP、BP、CP，且PB＝3，延长CP交AB于点F，若BF＝1，求AP+PC的值；
[问题解决]
（3）如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在矮围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，AC＝4米，D为OB的中点．现要在上找一个出口E，沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路．已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元，则在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）
2021年陕西省渭南市韩城市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一-个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣的倒数是（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数，据此求解即可．
【解答】解：的倒数是．
故选：A．
2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图的意义结合各个选项的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面看这个几何体，根据各个位置图形的形状，可知选项A中的图形符合题意，
故选：A．
3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20°B．30°C．50°D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
4．（3分）对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加3时，对应的函数值y减少6，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣0.5
【分析】由于自变量x增加3，y的值减小6，则y﹣6＝k（x+3），然后把y＝kx代入可求出k的值．
【解答】解：根据题意得y﹣6＝k（x+3），
即y﹣6＝kx+3k，
而y＝kx，
所以kx﹣6＝kx+3k
3k＝﹣6
解得：k＝﹣2．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2B．3x﹣2x＝2
C．（x2）3＝x5D．x3÷x＝x2
【分析】根据完全平方公式计算，合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法的运算法则进行判断即可．
【解答】解：A、原式＝x2+2xy+y2，不符合题意．
B、原式＝x，不符合题意．
C、原式＝x6，不符合题意．
D、原式＝x2，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝2，则CD的长为（ ）
A．B．6C．5D．4
【分析】根据角平分线的定义得出∠CBD＝∠DBA，根据线段垂直平分线的性质得出CD＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠CBD，求出∠C＝∠CBD＝∠DBA＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD即可．
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∴∠C＝∠CBD，
∴∠C＝∠CBD＝∠DBA，
∵∠A＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝∠DBA＝90°＝30°，
∵AD＝2，
∴BD＝2AD＝4，
∴CD＝BD＝4，
故选：D．
7．（3分）把直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4B．m＞1C．1＜m＜7D．3＜m＜4
【分析】直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣5x+3+m，求出直线y＝﹣5x+3+m与直线y＝2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【解答】解：直线y＝﹣5x+3向上平移m个单位后可得：y＝﹣5x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选：B．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】利用菱形的对角线互相平分且垂直，即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出DH的长，再由勾股定理即可求出BH的长．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，
∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，
∴AB＝＝＝3，
∵DH×AB＝AC×BD，
∴DH＝＝2，
∴BH＝＝＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，△ABG内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝70°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．70°B．80°C．82°D．84°
【分析】延长AD交⊙O于E，连接CE，根据圆周角定理得到∠E＝∠B＝70°，∠ACE＝90°，求得∠CAE＝90°﹣70°＝20°，根据三角形内角和即可得到结论．
【解答】解：延长AD交⊙O于E，连接CE，
则∠E＝∠B＝70°，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∵∠B＝70°，∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAE＝40°，
∴∠ADB＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
故选：A．
10．（3分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C，点C关于x轴的对称点为D点，若四边形ACBD为正方形，则m的值为（ ）
A．B．﹣C．±D．±
【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（4，0），得到抛物线的对称轴为直线x＝＝，设顶点C的坐标为（，a），根据已知条件列方程即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝m （x﹣1）（ x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点，
∴A（1，0），B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线直线x＝＝，
设顶点C的坐标为（，a），
∵四边形ACBD为正方形，
∴|a|＝，
∴C（，）或C（，﹣），
把C点的坐标代入得：＝（﹣1）（ ﹣4）m或﹣＝（﹣1）（ ﹣4）m，
解得：m＝±，
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）分解因式：2n2﹣8＝ 2（n+2）（n﹣2） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（n2﹣4）
＝2（n+2）（n﹣2）．
故答案为：2（n+2）（n﹣2）．
12．（3分）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝ 7 ．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
【解答】解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：7．
13．（3分）如图，直角坐标系原点O为Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，A（﹣5，0），且tanA＝，反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值是 12 ．
【分析】连接OC，作CE⊥OB于E，易证得OA＝OC＝5，AB＝10，解直角三角形求得＝，然后根据三角形相似证得＝＝，即可得到BC＝AB＝2，利用勾股定理求得C的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：连接OC，作CE⊥OB于E，
∵A（﹣5，0），
∴OA＝5，
∵OC是Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴OA＝OC＝5，AB＝10，
∵tanA＝＝，
∴OD＝，
∴AD＝＝，
∴sinA＝＝，
∵∠OAD＝∠CAB，∠AOD＝∠ACB＝90°，
∴△OAD∽△CAB，
∴＝＝，
∴BC＝AB＝2，
∵OC2﹣OE2＝BC2﹣BE2，
∴52﹣OE2＝（2）2﹣（5﹣OE）2，
∴OE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴C（3，4），
∵反比例函数y＝（k≠0）经过点C，
∴k＝3×4＝12，
故答案为12．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是 2﹣2 ．
【分析】由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，可证AE⊥DF，可得点P的路径是一段以AD为直径的弧，则当点P在QC上时，CP有最小值，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°．
∴AE⊥DF，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
如图，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，
∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，
故答案为2﹣2．
三．解答题（共11小题，计78分解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3，
解不等式≤x+1，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3．
16．（5分）计算：1﹣．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝．
17．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，请利用尺规作图法，在AB，AC边上分别求作点E、点F，使四边形AEDF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，则可证明AD和EF互相垂直平方，于是可判断四边形AEDF是菱形．
【解答】解：如图，四边形AEDF为所作．
18．（5分）如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，BD＝CD，求证：ED＝AE．
【分析】由“SSS”可证△ADB≌△ADC，进而利用平行线的性质和全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：在△ADB与△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴AE＝DE．
19．（7分）为了倡导绿色生态、健康环保的生活方式，提升城市文明程度，提升资源的回收利用率，营造人人知晓垃圾分类的良好氛围，某社区开展了“垃圾分类知识小测试”活动（满分100分）．社区管理员随机从某小区抽取20名业主的答卷成绩（单位：分，90分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，以下是部分信息．该小区20名业主的测试成绩：75，85，100，80，75，80，94，82，94，80，90，80，94，85，90，82，90，94，94，100．
绘制条形统计图如图；
该小区抽取的业主的测试成绩的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图，填出本次所抽取业主的测试成绩的众数a＝ 94分 ．
（2）求该小区本次测试成绩的平均数m的值；
（3）若该小区共有1000名业主参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩优秀的业主有多少名？
【分析】（1）由题干所提供的数据得出94分的人数，从而补全图形，再根据众数的定义即可得出a的值；
（2）根据中位数的定义可得m的值；
（3）用总人数乘以样本中测试成绩优秀的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由题意知94分的有5人，
补全条形图如下：
本次所抽取业主的测试成绩的众数a＝94分，
故答案为：94分；
（2）该小区本次测试成绩的平均数m＝87.2（分）；
（3）∵从调查的数据看，该小区10人的成绩优秀，
∴参加此次测试活动成绩优秀的业主有1000×＝500（人）．
20．（7分）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，FH＝1.6米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，构造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度即可．
【解答】解：过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，
由题意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．
∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，
∴△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，
∴＝，＝．
∴＝，＝．
∴AB＝8.8（米）．
答：这棵樱花树AB的高度是8.8米．
21．（7分）富平柿饼，以其加工精细，味香醇厚等优点成为陕西畅销国内外的传统土产之一，小张家的柿子今年喜获丰收，根据经验小张预计可以制作3000盒柿饼，根据市场需求她将制作两种盒装的柿饼放在网站进行销售，每盒单价、制作成本、运输成本如表：
设销售精品盒装的柿饼x盒，小张所获得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）根据市场需求，精品盒装的数量不多于普通盒装的2倍，求小张销售完这些柿饼最多能获得总利润多少元？
【分析】（1）根据等量关系“销售利润＝（市场价格﹣制作成本﹣运输成本）×数量”列出函数关系式；
（2）根据“精品盒装的数量不多于普通盒装的2倍”列出不等式和一次函数的性质求出即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：y＝（40﹣14.5﹣10.5）x+（30﹣10.5﹣9.5）（3000﹣x）＝5x+30000；
（2）据题意可得：x≤2（3000﹣x），
解得：x≤2000，
∵在y＝5x+30000中，5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2000时，小张销售完这些柿饼所获得的利润最大，最大利润y＝5×2000+30000＝40000（元），
答：小张销售完这些柿饼最多能获得总利润40000元．
22．（7分）迄今为止，我国在航天领域获得的成就可谓硕果累累，当前探月、高分、北斗等航天领域国家科技重大专项任务圆满收官．在第六个“中国航天日”来临之际，某班举办了《我的航天梦，我的中国梦》演讲大赛，现有6人报名参加比赛，其中女生4人，男生2人．
（1）若要从这6名选手中随机选择一位参赛，则选到女生的概率为 ；
（2）经过一轮预选，甲、乙两人的演讲水平不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，班委会计划通过摸球的方式选派一人参加学校的演讲大赛．规则如下：现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，B袋中装有4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，这些小球除数字外其余完全相同．先由甲从A袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；再由乙从B袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选甲去；若两个数字的和为偶数，则选乙去．请用列表法或画树状图的方法说明这个规则对双方是否公平．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，再由概率公式求出各自的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）若要从这6名选手中随机选择一位参赛，则选到女生的概率为＝，
故答案为：；
（2）这个规则对双方公平，理由如下：
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个数字的和为奇数、偶数的结果各有6个，
∴P（和为奇数）＝＝，P（和为偶数）＝＝，
∴P（和为奇数）＝P（和为偶数），
∴这个规则对双方公平．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．
（1）若∠BAD＝80°，求∠DAC的度数；
（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD，则可得出答案．
（2）连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AC的长．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAC＝∠BAD＝×80°＝40°；
（2）连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∵AD＝6，AB＝8，
∴，
∴AC＝4．
24．（10分）如图，在同一直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣8，0）和点C，且经过点B（﹣2，12），若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称，点A的对应点为A'，点B的对应点为B'．
（1）求抛物线L2的表达式；
（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3，抛物线L3的顶点为M，抛物线L3的对称轴与x轴交于点N，试问：在x轴的下方是否存在一点M，使△MNA'与△ACB'相似？若存在，请求出抛物线的L3表达式；若不存在，说明理由．
【分析】（1）将A（﹣8，0），B（﹣2，12）分别代入y＝ax2+bx+8即可求解抛物线L1的解析式，确定抛物线L2的顶点为（3，），即可求解；
（2）分△AB′C∽△A′MN、△AB′C∽△MA′N两种情况，由比例线段分别求出线段MN的长即可得出答案．
【解答】解：（1）将A（﹣8，0），B（﹣2，12）分别代入y＝ax2+bx+8中得，，
解得，，
∴抛物线L1的解析式为y＝﹣（x+3）2+，
则：顶点为（﹣3，），
∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称，顶点也关于y轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同，
∴抛物线L2的顶点为（3，），
∴抛物线L2的解析式为y＝﹣＝﹣+3x+8．
故抛物线L2的解析式为y＝﹣+3x+8．
（2）如图1，存在点M，使△MNA′与△ACB′相似．
由题意得：A′（8，0），B′（2，12），C（2，0），N（3，0），
∴AC＝10，B'C＝12，A'N＝5，
∵∠A′NM＝∠ACB'＝90°，
∴△A′MN与△AB′C相似，可以分两种情况：
①当△AB′C∽△A′MN时，则，
∴MN＝6，
即点M（3，﹣6），
此时，抛物线L3的表达式为y＝﹣（x﹣3）2﹣6＝﹣．
②当△AB′C∽△MA′N时，
同理可得：点M（3，﹣）；
此时，抛物线L3的表达式为y＝﹣（x﹣3）2﹣＝﹣x2+3x﹣，
故：函数L3的解析式为：y＝﹣x2+3x﹣或y＝﹣x2+3x﹣．
25．（12分）[问题发现]
（1）如图1，已知线段AC和BC，AC＝2，BC＝5，则线段AB的最小值为 3 ．
[问题探究]
（2）如图2，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，分别连接AP、BP、CP，且PB＝3，延长CP交AB于点F，若BF＝1，求AP+PC的值；
[问题解决]
（3）如图3是某街心花园的一角，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在矮围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，AC＝4米，D为OB的中点．现要在上找一个出口E，沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路．已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元，则在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）
【分析】（1）由线段的和差直接求出答案即可；
（2）证明△ABP∽△PBF，由相似三角形的性质得出PF＝AP，由勾股定理可求出答案；
（3）铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，推出QE＝2DE，所以CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，可求出CQ的长度及总造价最小值；作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直线OB的距离．
【解答】解：（1）∵AC＝2，BC＝5，
∴当点A在线段BC上时，线段AB的最小值为BC﹣AC＝5﹣2＝3，
故答案为：3；
（2）∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，
∴，
又∵∠ABP＝∠PBF，
∴△ABP∽△PBF，
∴PF＝AP，
∴AP+PC＝PF+PC＝CF＝＝＝5；
（3）如图，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，
在△EOD和△QOE中，∠EOD＝∠QOE，且，
∴△EOD∽△QOE，
∴，
即QE＝2DE．
∴铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE）＝200（CE+QE），则求CE+QE的最小值即可，
连接CQ，交于点E'，当点E与E'重合时，CE+QE取得最小值为CQ．
在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，
∴CQ＝＝8，
故总造价的最小值为1600元．
过点E'作E'H⊥OB，垂足为H，连接OE'，
∴，
故设E'H＝x（米），则QH＝3x（米），
∵OH2+HE'2＝OE'2，
∴（24﹣3x）2+x2＝122，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴铺设小路CE和DE的总造价最低为1600元，出口E距直线OB的距离为米．
平均数/分
众数/分
中位数/分
m
a
87.5
每盒单价（元）
制作成本（元/盒）
运输成本（元/盒）
普通盒装
30
10.5
9.5
精品盒装
40
14.5
10.5
平均数/分
众数/分
中位数/分
m
a
87.5
每盒单价（元）
制作成本（元/盒）
运输成本（元/盒）
普通盒装
30
10.5
9.5
精品盒装
40
14.5
10.5